Réduction dendomorphismes (corrigé niveau 2)

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PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 07 : Réduction d’endomorphismes (Exercices : corrigé niveau 2) - 1 - Réduction d'endomorphismes (corrigé niveau 2) Valeurs propres, vecteurs propres, spectre 41 On peut ici développer directement χA puisqu’il n’y a pas de transformation simple du déterminant

Réduction des endomorphismes - univ-rennes1fr

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Algèbre-III Réduction des endomorphismes

Réduction des endomorphismes Alexis Tchoudjem Université Lyon I 10 octobre 2011 2 Danscecours estuncorpsquipeutê tre Q,Rou C Tabledesmatières

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3 Caract´erisation des endomorphismes diagonalisables Proposition 8 – Soit λ ∈ K On note Eλ = Ker(f −λId) = {x ∈ E; f(x) = λx} Eλ est un sous-espace vectoriel de E, appel´e espace propre associ´e `a λ L’espace Eλ est stable par f D´emonstration : Eλ est le noyau d’un endomorphisme donc c’est un sous-espace vectoriel

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Réduction d"endomorphismes (corrigé niveau 2).

Valeurs propres, vecteurs propres, spectre.

41. On peut ici développer directement

Ac puisqu"il n"y a pas de transformation simple du déterminant.

On trouve :

)1.()2(4.3)(223+-=+-=xxxxxAc. On trouve, en résolvant les systèmes associés : 674

2VectAE,

342

1VectAE.

On remarque que

A n"est pas diagonalisable, f non plus, et :

))6,7,4(()(2-=VectfE, et : ))3,4,2(()(1-=-VectfE.

42. a. Si

s désigne une telle symétrie dans un K-espace vectoriel E, alors : Eids=2, alors 12-X est annulateur pour s et étant scindé à racines simples (dans ou dans ), s est diagonalisable. b. La linéarité de f est évidente.

De plus : "

1.2 0 n kk k

XaP, on a : ∑∑∑

1.2 0

1.21.2

01.2 1.2 01.2 ..1..)( n ii inn kkn kn k kkn

XaXaXaXPfÎ 2.n+1[X].

f est donc bien un endomorphisme de

2.n+1[X].

On remarque par ailleurs que :

P Î 2.n+1[X], )()(.1.1)(.))(()(1.21.21.22XPXPXXXPXPPnnn= +++ffff.

Donc f est une symétrie de

2.n+1[X], donc est diagonalisable et ses seules valeurs propres possibles

sont ±1. Pour déterminer les espaces propres de f, on peut repartir de l"expression au-dessus et : 1.2 0 n kk k XaP, (PP=)(f) Û (" 1.20+££nk, kknaa=-+1.2) Û (∑ n kknk k XXaP

01.2).().

Une base de

)(1fE est ainsi (nkXXknk££+-+0),(1.2) et : 1))(dim(1+=nEf. 1.2 0 n kk k XaP, (PP-=)(f) Û (" 1.20+££nk, kknaa-=-+1.2) Û (∑ n kknk k XXaP

01.2).().

Une base de

)(1f-E est ainsi (nkXXknk££--+0),(1.2) et : 1))(dim(1+=nEf.

43. a. On écrit donc :

120

10000001

=nnAaxaaxx x

LLLOOOMMOOOL

c, et en développant suivant la dernière ligne : 1 121
212
121

01).(.)1).(.()1(....)1).(.()1()1).(.()1()(-

--+-+-+-+---++---+---=n nn nnnnnnn

Axaxxaxaaxc,

soit : )(......)(1 12

210xPxxaxaxaaxnn

nn nA=+-----=- -c. b. Si l est une valeur propre de

A, alors :

--lll l120

10000001

nnnaaaIA

LLLOOOMMOOOL

, et les 1-n

dernières colonnes de cette matrice sont libres puisque échelonnées avec des pivots non nuls.

Donc :

1).(-³-nIArgnl.

Mais puisque l est valeur propre de

A, nIA.l- n"est pas inversible et : 1).(-£-nIArgnl.

PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes (Exercices : corrigé niveau 2). - 2 -

Finalement : 1).(-=-nIArgnl, et avec le théorème du rang : 1)).dim(ker(=-nIAl.

Donc chaque espace propre de

A est de dimension 1.

c. On sait que A est diagonalisable (en général) si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K et si la somme des dimensions des sous-espaces propres vaut n.

Or pour la matrice

A de l"exercice, la somme des dimensions des sous-espaces propres est égale au nombre de valeurs propres de

A dans K.

Donc

A est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est P est scindé à racines

simples dans K. d. Pour le cas proposée,

P s"écrit : 1.2....)(1----=-xxnxxPnn

Pour :

1=n, on a : 1)(1-=xxP, qui s"annule une unique fois sur ]0,+¥) en : 1=x.

Pour :

2³n, il est clair que : " x Î ]0,1], 01.2)(2<--£xxxPn,

et on va restreindre l"étude qui suit à l"intervalle ]1,+¥).

On remarque alors que : "

1>x, 1.2....1+++-xxnn, est la dérivée de : 1

11...1

2 x xxxxn n

Donc :

212

21)1(1).2().2(

)1()1()1.().1()(--+++-=----+-= xxnxnx xxxxnxxP nnnnn n n et nP s"annule si et seulement si son numérateur N s"annule.

Enfin : "

1>x, )).(1.().2().).1().(2()("111nxxxnxnxnxnxNnnnn--+=++-+=--+.

Donc N décroît strictement sur ]1,n], et croît strictement sur [n,+¥). Comme N est nul en 1, N est strictement négatif en n et tend vers +¥ en +¥. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit que

N (et donc )(xPn) s"annule une unique fois sur

]1,+¥) et donc sur ]0,+¥). 44.

u est évidemment un endomorphisme de E, et f est vecteur propre associé à l si et seulement si :

f Î E, 0¹f,

· l Î ,

ffu.)(l=, soit : " x Î , )(.)("xfxfl=. Or ce dernier problème a toujours des solutions, pour tout l réel, qui sont : " x x Î , )(..)(.xyAeAxyx ll==, où on a posé : " l Î , " x Î , xexy.)(l l=, qui est bien une fonction non nulle.

En conclusion, on a :

=)(uSp , et : " l Î , )()(llyVectuE=, qui est donc une droite.

45. a. Par linéarité de la dérivation des fonctions, f est linéaire et associe bien à tout élément de E un élément

de E.

Donc : f Î L(E).

b. Soient : f Î E, et : l Î .

Alors : (

ff.)(lf=) Û (" xÎ , )(.)(.)("xfxfxxfl=-) Û (f solution sur de : 0).("=+-yxyl). Or toutes ces équations différentielles ont des solutions sur et : )(fSp = ,

· " l Î ,

)()(llfyVectE=, où ly est défini par : " x Î , xxexy .2 2 l l+=. En particulier, tous les sous-espaces propres de f sont des droites. c. Tout d"abord : )()()ker(00yVectE==ff, et : " x Î , 20 2 x exy=.

Puis : "

f Î E, (0)(2=ff) Û (0))((=fff) Û )ker()(ffÎf).

Autrement dit c"est équivalent à : $

A Î , " x Î , 20

2 x eAxyAxfxxf==-. On utilise alors la méthode de variation de la constante en posant : " xÎ , )().()(0xyxCxf=, où C est une fonction dérivable sur , et f est solution de la nouvelle équation sur si et seulement si :

PSI Dupuy de Lôme - Chapitre 07 : Réduction d"endomorphismes (Exercices : corrigé niveau 2). - 3 -

" xÎ , AxC=)(" , soit : $ B Î , " xÎ , BxAxC+=.)(, et donc : )()..()(0xyBxAxf+=).

On a ainsi montré que :

=)ker(2f {Î+),(),()..(0BAxyBxAxa2}.

46. a. On peut calculer le polynôme caractéristique de

A et montrer que 1 est toujours racine de Ac (par

exemple en ajoutant à la première colonne toutes les autres, ce qui permet de factoriser l-1.

On peut aussi remarquer que si on note

X la matrice colonne dont tous les termes valent 1, on a : XXXA.1.==, en développant le produit matriciel.

1 est bien valeur propre de

A. b. On peut remarquer que

0i existe bien puisqu"on cherche le maximum d"un nombre fini de réel et

puisque

X est non nul, 0ix est non nul.

Si on développe le produit :

XXA..l=, alors en examinant la ligne 0i, on obtient : 00.. 1,in j jjixxal=∑ , et donc : ∑∑∑∑ n j ijin j jjin j jjin j jjiiiquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

[PDF] Réduction dendomorphismes (corrigé niveau 2)

Valeurs propres, vecteurs propres, spectre.

41. On peut ici développer directement

On trouve :

2VectAE,

1VectAE.

On remarque que

A n"est pas diagonalisable, f non plus, et :

42. a. Si

De plus : "

XaP, on a : ∑∑∑

1.21.2

XaXaXaXPfÎ 2.n+1[X].

2.n+1[X].

On remarque par ailleurs que :

Donc f est une symétrie de

2.n+1[X], donc est diagonalisable et ses seules valeurs propres possibles

01.2).().

Une base de

01.2).().

Une base de

43. a. On écrit donc :

10000001

LLLOOOMMOOOL

01).(.)1).(.()1(....)1).(.()1()1).(.()1()(-

Axaxxaxaaxc,

210xPxxaxaxaaxnn

A, alors :

10000001

LLLOOOMMOOOL

Donc :

1).(-³-nIArgnl.

Mais puisque l est valeur propre de

Donc chaque espace propre de

A est de dimension 1.

Or pour la matrice

A dans K.

P s"écrit : 1.2....)(1----=-xxnxxPnn

Pour :

1=n, on a : 1)(1-=xxP, qui s"annule une unique fois sur ]0,+¥) en : 1=x.

Pour :

2³n, il est clair que : " x Î ]0,1], 01.2)(2<--£xxxPn,

On remarque alors que : "

1>x, 1.2....1+++-xxnn, est la dérivée de : 1

11...1

Donc :

21)1(1).2().2(

Enfin : "

1>x, )).(1.().2().).1().(2()("111nxxxnxnxnxnxNnnnn--+=++-+=--+.

N (et donc )(xPn) s"annule une unique fois sur

· l Î ,

En conclusion, on a :

45. a. Par linéarité de la dérivation des fonctions, f est linéaire et associe bien à tout élément de E un élément

Donc : f Î L(E).

Alors : (

· " l Î ,

Puis : "

Autrement dit c"est équivalent à : $

A Î , " x Î , 20

On a ainsi montré que :

46. a. On peut calculer le polynôme caractéristique de

A et montrer que 1 est toujours racine de Ac (par

On peut aussi remarquer que si on note

1 est bien valeur propre de

0i existe bien puisqu"on cherche le maximum d"un nombre fini de réel et

X est non nul, 0ix est non nul.

Si on développe le produit :