[PDF] Expos~ IV RELEVEMENT DES SURFACES K3 EN CARACTERISTIQUE NULLE

ROC : Restitution organisées des connaissances

Donc a divise c Propriété 1 : Soit a, b et c trois entiers non nuls Si b et c divise a et si b et c sont premiers entre eux alors bc divise a Démonstration : Si b et c divise a, il existe (k,k′)∈ Z2 tel que : a =kb =k′c c divise donc kb et comme b et c sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, c divise k Il existe

Terminale S – Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES

Alors il existe un entier p tel que r p ≠ 0 et, pour tout n > p, r n = 0 On a alors rp = PGCD(a ;b) ; Démonstration La division euclidienne de a par b s’écrit a = bq 1 + r 1, avec 0 ≤ r 1 < b • Si ba, alors r 1 = 0 et donc le processus s’arrête avec p = 0 • Si b ne divise pas a, la division euclidienne de b par r1 s’écrit :

Algorithmes - Accromath

mier p divise le produit de deux nombres entiers b et c, alors p divise b ou c ( l ments , proposition VII 30) Lemme de Gauss Si un nombre entier a divise le produit de deux autres nombres entiers b et c, et si a est pre - mier avec b , alors a divise c

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Alors 2 divise2q2 mais 4 ne divise pas2q2 On en d duit quep 2ne peut pas tre gal 2q (2) soitpest impair Sipest impair alorsp 2aussi Comme2q est pair, il ne peuvent pas tre gaux En conclusion, pour tousp, qdes entiers non nuls, sipetqsont premiers entre eux alors p q " 2 "=2 Il nÕexiste donc pas de fractions dont le carr est 2

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conservation, diffusion, monstration) » (Couchot, 2003 : 36) Cette nette distinction avec l’art produit jusqu’alors amène des critiques comme Hans Ulrich Reck, historien d’art et auteur de The Myth of Media Art (2006), à considérer – comme le nom de son ouvrage l’indique – que les

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modulo un nombre premier p, on obtient alors l'équation d'une courbe sur le corps Z =p Z Si p ne divise pas le discriminant de f , on obtient une courbe elliptique sur ce corps et on dé nit un entier a p = a p (E ) par la formule a p = p +1 # E (Z =p Z ): Ici E (Z =p Z ) est l'ensemble des points dans le plan projectif sur Z =p Z

Expos~ IV RELEVEMENT DES SURFACES K3 EN CARACTERISTIQUE NULLE

(1 5), p ne divise pas f Cela signifie encore que E(L O) ne contient pas la r~duction S O de S mod p , i e que L ° ne peut se prolonger au-dessus de ~×S So La d~monstration de 1 6 sera donn~e au n°2 Nous terminerons ce num~ro par quelques consequences de 1 6 COROLLAIRE 1 7

[PDF] si a divise b alors ac divise bc

[PDF] si a divise b et a divise c alors

[PDF] a divise b exemple

[PDF] 1 hm en m

[PDF] 3 5 dam en m

[PDF] 45 hm en cm

[PDF] 1 dam en m

[PDF] 1 dam en cm

[PDF] 1 dam en km

[PDF] 1546 mm en m

[PDF] 1hm en m

[PDF] conversion dm3 en litre

[PDF] 1m3 en dm3

[PDF] 1cm3 en ml

[PDF] 1 dm3 en m3

Expos~ IV

RELEVEMENT DES SURFACES K3 EN CARACTERISTIQUE NULLE par

P. DELIGNE

(r~dig& par Luc ILLUSIE) (~) Rudakov et Shafarevitch [14] (cf. aussi Nygaard [12~) ont ~tabli que les surfaces K3 n'admettent pas de champs de vecteurs non nuls. L'objet de cet expos~ est de prouver, ~ partir de 14, que toute surface K3 polaris&e en car. p> 0 se rel~ve en car. nulle (1.8). La d~monstra- tion repose sur le fait que le r~sultat de Rudakov-Shafarevitch entra~ne, pour les surfaces K3, l'existence d'une bonne th~orie de d~formations, permettant notamment de "contrSler" le lieu de la vari~t~ formelle verselle o~ se d~forme un faisceau inversible non trivial donn~. Les seuls ingr&dients utilis~s sont d'une part les relations habituelles, pour la cohomologie de de Rham, entre la connexion de Gauss-Manin et l'op~ration de Kodaira-Spencer, d'autre part l'existence d'une classe de Chern cristalline pour les faisceaux inversibles. On d~signe par k un corps alg~briquement clos de car. p > O , et l'on note W=W(k) l'anneau des vecteurs de Witt sur k . (~) Equipe de Recherche Associ~e au C.N.R.S. n ° 653 59

1. ENONC~. DU THF.OR~ME DE RELEVEMENT

Dans ce num~ro, X d~signe une surface K3 sur k . O

PROPOSITION i.i a) La suite spectrale de Hodqe

o xo/~ d6q~,n~re en E 1 , et la matrice des nombres de Hodqe h ij = dimkHJ(Xo,~ ) est Xo/k

1 0 1

0 20 0

1 0 1

b) Soit T = TXo/k = (~o/k)V le fibr~ tanqent ~ X ° . On a Hi(Xo,T) = O ski i = O ou 2 , e_~t dimkHl(Xo,T) = 20 . c) Les W-modules de cohomoloqie cristalline Hi(Xo/W) sont libres, de ranq 1,0,22,0,1 pour i= O,1,2,3,4 . D'apr~s [14], H°(X ,T) = 0 . Par d~finition d'une surface K3 , o /k est trivial, donc on a ( 1. i. i) TXo A ~ ~o/k , o ~o/k ) , H 2 et par suite H (X O, = 0 donc (X O, /k ) = 0 par dualit~ de o ~ Serre. D'autre part, on a HI(Xo,O) = 0 et H2(Xo,O) ~ k par d~finition d'une surface K3 . Le tableau des nombres de Hodge h 13 , pour (i,j) ~ (i,i) , est donc celui donn~ en i.i a). Iien r~sulte que la suite spectrale de Hodge d~g~n~re en E 1 . Rappelons par ailleurs (SGA 5 VII 4.11) que

E(_l)i+JhiJ = c 2

et que c 2 = 24 par Riemann-Roch. Donc h II = 20 , d'o~ b), compte tenu de i.i.I. II r~sulte de a) que les espaces H~R(Xo/k) sont de dimension 60

1,0,22,0,1 pour i= 0,1,2,3,4 . L'assertion c) en d6coule gr[ce ~ la

suite exacte "des coefficients universels" [2, VII i.i.i13 : Hi(Xo/W) ®k ~ ~HiR(Xo/k) ~ T°rW(Hi+I(Xo/W)'k)l ~ 0 0 m COROLLAIRE 1.2. L~ varlet6 formelle verselle s des d6formations d__ee X O sur les W-alq6bres artiniennes locales de corps r~siduel k [15] est universelle, et formellement lisse de dimension 20 , i.e.

W-isomorphe ~ Spf(W[[t I ..... t20]]).

C'est une cons6quence imm6diate de i.i b).

Dans la suite de ce num~ro, on notera

(1.3) ~/s la d~formation universelle de X sur S . o

1.4. Soit L O un faisceau inversible sur X ° . Notons Def(Xo,L o)

le foncteur sur la categorie A des W-alg~bres artiniennes locales de corps r~siduel k associant ~ chaque objet A de A l'ensemble des classes d'isomorphie de couples (X,L) form, s d'une d~formation plate (donc lisse) X de X sur A et d'un prolongement de L en un o o faisceau inversible L sur X . Notons d'autre part Def(X o) le fonc- teur associant ~ chaque A60b A l'ensemble des classes d'isomorphie de d~formations plates de X sur A : d'apr~s 1.2, ce foncteur est o (pro-)repr~sent~ par S . On a un morphisme "oubli du prolongement de L " O (1.4.1)

Def(Xo,Lo) ~ Def(Xo)

PROPOSITION 1.5. Le foncteur Def(Xo,L o) est pro-representable, et le morphisme 1.4.1 est une immersion ferm~e, d~finie par une ~quation. La premiere assertion signifie qu'il existe un plus grand sous- schema formel ferm~ (1.5.0) E(Lo) c S 61
tel que L se prolonge en un faisceau inversible au-dessus de o

×sZ(Lo) , et que ce prolongement est unique.

On v~rifie ais~ment que le foncteur De___f(Xo,L o) satisfait aux conditions de Schlessinger d'existence d'une enveloppe. On dispose donc d'un schema formel S' = Spf(R') , o~ R' est une W-alg~bre locale noeth~rienne compl~te de corps r~siduel k , et d'une d~formation (X',L') de (Xo,L o) sur S' telle que, pour tout AE Ob A , la fl~che associ~e (1.5.1) Hom(R',A) ~ Def(Xo,Lo)(A) soit surjective, et bijective pour A =k[~ , ~2 = O . Soit R l'anneau de S . Comme S pro-repr~sente Def(X O) , X' d~finit un homomorphisme u : R ~ R' tel que le compos~ (1.5.2) Hom(R',A) 1.5.{ Def(Xo,Lo)(A ) 1.4. 5 Def(Xo)(A) = Hom(R,A) soit Hom(u,A). Pour ~tab!ir la premiere assertion de 1.5, il suffit donc de prouver que u est surjectif, car alors 1.5.2 sera injectif, donc 1.5.1 bijectif. D'apr~s un lemme bien connu [15,1.11, il revient au m~me de prouver que, si m (resp. m') est l'id~al maximal de R (resp. R'), l'application m/pR+m 2 ~ m'/pR' +m '2 induite par u est surjective, ou encore que l'application lin~aire tangente ~ l'origine

1.4.1,

(1.5.3) Hom(u,k[e~) : Def(Xo,Lol(k[Z~) ~ De f(Xol(k[¢ ]1 est injective. Soit T' le faisceau sur X des automorphismes de la o d&formation triviale de (Xo,L o) au-dessus de k[~. On a une suite exacte (1.5.4) 0 ~ ~X ~ T' ~ T ~ 0 , O O~ T' ~ T est d~fini par oubli de L O , T= T X ~tant consid~r~ comme o faisceau des automorphismes de la d~formation triviale de X au-dessus o de k[~ . Ii est standard que 1.5.3 s'identifie canoniquement ~ la 62
fl~che HI(Xo,T ') ~ HI(Xo,T) d~duite de T' ~ T . Comme HI(Xo,~) = 0 l la suite exacte de cohomologie de 1.5.4 montre donc que 1.5.3 est injective. Ii reste ~ prouver que l'immersion ferm~e S' ~ S est d~fi- nie par une seule ~quation, i.e. que l'id~al I =Ker(u) est monog~ne. Pour cela, eonsid~rons S" = Spf(R/mI) ; c'est un ~paississement de S' dans S , d'id~al de carr~ nul I/ml . L'obstruction ~ ~tendre le fais- ceau L' d~fini plus haut au-dessus de ~×S S" est un ~l~ment E H2(Xo,I/mI) = H2(Xo,~) ® I/ml , qu'on regardera comme un ~l~ment de a I/mI par le choix d'une base de H2(Xo,~). Soit Z = Spf(R/mI + (f)) o~ fE I rel~ve a • On a donc S' c Ec S"C S , et par construction (et fonctorialit~ de l'obstruction), L' se prolonge ~ ~×S Z " Mais la propri~t~ universelle de S' entra~ne que S' =E , i.e. mI + (f) = I . Donc, par Nakayama, f engendre I , ce qui ach~ve la d~monstration. Nous pouvons maintenant ~noncer le r~sultat principal de l'expos~ : THEOR~ME 1.6. Soi% L ° un faisceau inversible non trivial sur X ° . Alors, avec les notations , de 1.5, le schema formel Z(L o) , prorepr~- sentant Def(Xo,L O) , est plat sur W , de dimension relative 19. En d'autres termes, si f est une ~quation de Z(L O) dans S (1.5), p ne divise pas f . Cela signifie encore que E(L O) ne contient pas la r~duction S O de S mod p , i.e. que L ° ne peut se prolonger au-dessus de ~×S So La d~monstration de 1.6 sera donn~e au n°2 . Nous terminerons ce num~ro par quelques consequences de 1.6. COROLLAIRE 1.7. Soit L un faisceau inversible non trivial sur o X ° . Ii existe un trait T fini su r W , une d~formation de X o e__nn un schema formel X plat sur T , et un prolonqement de L en un o faisceau inversible L sur X . 63
I1 s'agit de prouver qu'il existe un W-morphisme T ~ Z(L o) , o~ T est un trait fini sur W . Comme p est non diviseur de z~ro dans l'anneau R' de E(L o) , il existe (EGA Oiv 16.4.1) des ~l~ments x I ..... x n de l'id~al maximal de R' formant avec p un syst~me de param~tres de R' (donc n= 19). Le quotient B= R'/(x I ..... x n) est quasi-fini sur W , donc fini sur W . Ii existe par suite un W-homomorphisme local de B dans un anneau de valuation discrete complet C fini sur W , et l'homomorphisme compos~ R' ~ B ~ C r~pond ~ la question. Appliquant le th~or~me d'alg~brisation de Grothendieck (EGA III

5.4.5), on d6duit de 1.7 le th~or~me de rel~vement annonc~ :

COROLLAIRE 1.8. Soit L ° un faisceau inversible ample sur X ° Ii existe un trait T fini sur W , une d~formation de X en un o schema propre et lisse X sur T , et un prolonqement de L en un o faisceau inversible ample L sur X . REMARQUE 1.9. On ignore si toute surface K3 sur k se rel~ve en un schema propre et lisse sur W . Ogus [13, §2~ montre que : a) toute surface K3 sur k se rel~ve sur W sauf peut-~tre dans le cas "supersp~cial", non elliptique, qui en fait n'existe pas si l'on admet la conjecture d'Artin [11 ; b) si p> 2 , toute surface K3 sur k se rel~ve sur W[~. Pour l'instant donc, seul le cas particulier de 1.8 o~ p= 2 et X ° est supersp~ciale n'est pas absorb~ par ces r~sultats. Signalons d'autre part que l'article d'Ogus pr~cit~ contient des com- pl~ments int~ressants sur la structure de E(L O) , cf. aussi l'expos~ suivant pour le cas o~ X est ordinaire. o COROLLAIRE i.iO. S__~i k est la clSture alq~brique d'un corps fini sur lequel la surface X ° est d~finie, le Frobenius correspondant aqit faqon semi-simple sur H2(X^,~)~ (~ premier ~ p). de 64
Cela r~sulte de [5] : avec les notations de 1.8, la fibre g~n~- rique de X est une surface K3 (le fait pour une surface d'etre une surface K3 est stable par g~n~risation, car il s'exprime par "K alg~briquement ~quivalent ~ z~ro et X(~) = 2"), donc X O v~rifie l'hypoth~se de [5, 1.2] ; la conclusion d~coule de [5, 6.6] et du fait que l'action de Frobenius sur le H 1 ~-adique d'une vari~t~ ab~lienne sur un corps fini est semi-simple ([16], [ii, p. 203]). Noter que i.iO est en r~alit~ ind~pendant du fait que H°(Xo,T x )= O car s'il existait sur X O un champ de vecteurs non nul, o X serait unirationnelle d'apr~s [14~, et la conclusion de i.i0 serait o encore vraie (argument de trace).

2. COHOMOLOGIE DE DE RHAM DE X/S ET DEMONSTRATION DE 1.6

On conserve les notations dun ° 1 : X ° est une surface K3 sur k , et X/S d~signe sa W-d~formation universelle (1.3). Le lecteur familier avec la cohomologie de de Rham est invit~ ~ sauter les num~ros 2.1

2.10, qui ne font que rappeler des faits standard concernant la conne-

xion de Gauss-Manin, la filtration de Hodge, l'op~ration de Frobenius, et la classe de Chern d'un faisceau inversible.

2.1. Notons ~_'/S le complexe de de Rham du schema formel relatif

X/S (par d~finition, ~_/S est la limite projective des modules de diff~rentielles habituels ~×S S'/S' , oQ S' parcourt les voisinages infinit~simaux de Spec(k) dans S). Soit f : X ~ S la projection. Par d~finition, la cohomologie de de Rham de X/S est form~e des ~S-mOdules (2.1.1) ~R(X/S ) d~n Rif~(%/S ) , tandis que la cohomologie de Hodge de X/S est form~e des ~S-mOdules (2.1.2) Hi(x,~_j/s ) d~n Rif~(~_j/s ) 65
Comme les ~-modules ~/S sont localement libres de type fini, les ~S-mOdules 2.1.1 et 2.1.2 sont coh~rents en vertu du th~or~me de fini- tude de Grothendieck (EGA III 3.4.2). On a d'autre part la suite spec- trale habituelle ("suite spectrale de Hodge") (2.1.3) E~ j = HJ(~, _/s ) ......... >~R(~/s) PROPOSITION 2.2 a) La suite spectrale 2.1.3 d~q~n~re en E 1 ; les ~S-mOdules HJ(x,~/S) sont libres de type fini, et les fl~ches cano- niques HJ(x,~/S )_ ® k ~ HJ(Xo '~-xO/k ) sont des isomorphismes . b) Les ~S-mOdules ~R(X/S) sont libres de type fini, e t les fl~ches canoniques ~R(X/S)®k ~ ~R(Xo/k) sont des isomorphismes. c) Le cup-produit est une dualit~ parfaite. Comme le tableau des nombres de Hodge de Xo/k est "entrelard~ de z~ros" (i.i a)), le crit~re usuel (EGA III 7.5.4), appliqu~ aux foncteurs cohomologiques M ~ H'(X, i _® _ ~_/~ f~M) entralne aussit~t la seconde assertion de a) ; la premiere en r~sulte. L'assertion b) d~coule de a), et implique c), par la dualit~ de Poincar~ pour ~R(Xo/k).

2.3. Notons ~S/W le complexe de de Rham des diff~rentielles

' il 1 "formelles" de S/W : ~S/W = A ~S/W ' et ~S/W ' limite projective des

1 , oQ est la r~duc- modules de diff~rentielles compl~t~s ~n/W n Sn/W n

tion mod pn+l de S/W , est libre sur 8S ' de base dt I, .... dt20 , si S ~ wilt I ..... t20]]. Les H~R(X/S) sont munis d'une connexion int~grable canonique, la connexion de Gauss-Manin,

23 i) R( Js ®1

La d~finition la plus simple de 2.3.1 consiste ~ paraphraser la cons- truction de Katz-Oda [ ~, en partant de l'extension canonique 66
@-modules (2.3.2) o~ (2.3.2.1) -* 0 , (2.3.0) O ~ f ~ ~ S O~ ~/W est le module des diff~rentielles compl~t6. On peut aussi utiliser le fait que %R(X/S) est la valeur en S d'un cristal en sur le site cristallin de So/W :

HDR(X/S) = Ri(fo)cris (@Xo/W) (S)

(fo : ~o ~ So) = f×sSo ' So = S®wk(~ Spf(k[[tl ..... t20]])) et (fo)cris : (Xo/W)cris ~ (So/W)cris est le morphisme correspondant des sites cristallins : il s'agit i~ d'une "variante formelle" du r~sultat de Berthelot [2, V 3.6~, qu'il est facile de d~duire de (loc. cit.), appliqu~ aux morphismes induits par f sur les voisinages o infinit~simaux de Spec(k) dans S o Sur l'une ou l'autre des d~finitions pr~c6dentes, on voit que le cup-produit 2.2 c) est horizontal : on a (2.3.3) (Vx,y> + = V(x,y) quels que soient x,y6 4R(X/S) . Notons F~dg~R(X/S)_ __ la filtration de Hodqe de ~R(X/S) , abou - = ~ "+i ~ ) d~signe le tissement de 2.1.3 : si _ S (0 ~ S S "'" complexe de de Rham tronqu6 (par z~ro en degr6 < i), l'inclusion ~/S donne donc (en vertu de 2.2 a)) un isomorphisme

H2(X'~S )- ~-~FiHdg 4R (X/S)- (2.3.4)

On a (2.3.5) ~R(X/S ) = F O D F 1 D F 2 D F 3 = 0 - Hdg Hdg Hdg Hdg ' i les FHdg sont des ~S-mOdules libres, et la d~g6n~rescence de 2.1.3 fournit des isomorphismes i ~R(x/s ) (o~ F = ~dg) H2-i(x, /S ) ~-~ gr F _ (2.3.6) 67

En particulier, F 1 (resp. F~d ) Hdg g

Sur 2.3.4 on voit que l'orthogonal de F 2 Hdg

contient F 1 Hdg donc est &gal ~ F 1 ' Hdg : (2.3.7) F IHdg = (F~dg) ± (donc on a aussi F 2 1 i Hag = (FHdg))" est libre de rang 21 (resp. i). pour le cup-produit 2.2 c) d&signe l'application de Kodaira-Spencer associ~e & X/S/W , d&finie par l'extension 2.3.0 (cf. [8, 1.3]), alors, avec l'identification pr&c&dente, 2.3.10 s'ins&re dans un triangle commutatif

Kod (_x/s) ~1

(2.3.12) TS/W , (X,Tx/S)

Hom(H2-i (X,~/S) , H3-i (X, ~X~Sl ) ) ,

OU la fl&che verticale est d&finie par le cup-produit (via le produit

~/ i-i int~rieur Tvls®_~l S ~ _~I~IS) : cette compatibilit& se v~rifie eor[~e (2.3.11) Kod(X/S) : TS/W ~ HI(X,Tx/s ) le fibr& tangent .om(H2-i(x, /S ) 3-i i-Z = - ,H (X,~_/S)) . Soit TX/S _

de X/S . Si La description de Katz-Oda de la connexion de Gauss-Manin montre que l'on a • 1 Fi-i H~R(X/S ) (2.3.8) a /w® Hag ("transversalit& de Griffiths") (voir par exemple [8, 1.4]). Par suite, induit par passage au quotient une application • i 4R(X/S ) ~ ~j ~.I ® grFi-i 4R(X/S ) (2.3.9) grlq : grF - ~/w ' qui est ~s-lin~aire en vertu de la formule de Leibniz. L'application

2.3.9 correspond ~ une application ~s-lin6aire que nous noterons

i-I 4R (X/S) (2.3.10) vi : TS/W HQm(gr~ 4R (~/S)'grF) '

06 TS/~ = (~/W)V est le fibr& tangent de S/W . Le second membre de

2.3.10 s'identifie canoniquement, par 2.3.6,

68
en [8, 1.4.1.7]. Notons que, d'apr6s 2.3.7, le cup-produit 2.2 c) induit, par passage ~ gr F , une dualit6 parfaite (2.3.13) gr F _ _ _ (correspondant par 2.3.6 au cup-produit ~,' i 2-i H2(X,~/S H2-i(x, X/S)® H (X,n~/S) ~ ) ) o Ii r~sulte de 2.3.3 que, pour tout DE TS/W , on a (2.3.14) VI(D) = -V2(D) v ,

2 1 i.e. + = 0 pour xE gr F , y6 gr F

L'~nonc~ ci-apr~s exprime la mobilit~ de la filtration de Hodge sous l'action de Gauss-Manin : PROPOSITION 2.4. ~es applications 2.3.10 e_!t 2.3.11 sont des iso- morphismes. Notons d'abord que le faisceau ~/S ' prolongement sur X du faisceau trivial i/k , est n~cessairement trivial (1.5), donc qu'on a (2.4.1) TX/S = ~_I/s , et que par suite, d'apr~s 2.2 a), HI(X, Tx/s ) est libre (de rang 20) et la fl~che canonique HI(X, Tx/s)®k ~ HI(Xo,TXo/k) un isomorphisme.

Cela ~tant, un argument standard montre que

(2.4.2) Kod(~/S)®wk : TS/W~k ~ ~I(X,TxA) n'est autre que l'application lin6aire tangente ~ l'origine ~ l'isomor- phisme canonique S -~-~pef(X O) (1.4), donc Kod(X/S) est un isomor- phisme. Compte tenu de 2.3.12, il reste donc ~ prouver que la fl6che verticale de 2.3.12 est un isomorphisme, et, gr[ce ~ 2.3.14, on peut se borner ~ le faire pour i= 1 . D'apr6s 2.2 a) et la remarque faite au d6but de la d6monstration, il suffit de montrer que le cup-produit 69
(2.4.3) HI(x°'TXo/k) ~ HI(x°'~o/k) ~ H2(X°'~) est non d~g~n~r~. Mais la donn~e d'une base de H°(Xo,~o/k)

1 TXo/k ~ ~o/k et 2.4.3 ~ la dualit~ de Serre

~l(xo ~o~> ® ~1(Xo ~oj~ ) ~ ~2(~o ~o~> d'o~ la conclusion. identifie COROLLAIRE 2.4.4. L'application gr I~ (resp. gr 2v) (2.3.9) est un isomorphisme (resp. est injective et de conoyau libre). Noter que, par suite, la m~me propri~t~ est vraie pour l'applica- grl(vIS O) (resp. gr2(VISo)), o~ vlS ° est la connexion de tion

Gauss-Manin sur ~R(Xo/So).

Compte tenu de la dualit~ 2.3.13, 2.4.4 r~sulte aussit6t de ce que 2.3.10 est un isomorphisme.

2.5. Avec les notations 2.3.2.1, soit FXo/S O : ~o ~ x'P'-o( ~ !e

Frobenius relatif de Xo/So , d~fini par le diagramme habituel ~ carr~ cart~sien (2.5.1) X X (p) F~°/S° 5 ( , X --O --O~ O

S ~ S

o o (off les compos~s horizontaux song les Frobenius absolus). L'interpr~- tation cristalline 2.3.2 de I~R(X/S) montre, par la fonctorialit~ de la cohomologie cristalline, que FXo/S ° induit, pour tout rel&vement W : S ~ S du Frobenius (absolu) de S , compatible au Frobenius cano- o nique ~ de W , un homomorphisme ~s-linfiaire horizontal (pour

Gauss-Manin)

~2.5.2~ ~(~ : ~ ~R(~/s~ ~ ~R(~/s~ 70
Cet homomorphisme est une isog~nie (i.e. F(~)®~[ @p est un isomorphisme) P et sa d~pendance en ~ est contrSl6e par v (cf. [7] et l'expos~ sui- vant). Dans ce qui suit, nous fixerons un rel~vement ~ , par exemple celui donn6 par ~(ti) = tPl (ix< ix< 20) (S = Spf Wilt l,...,t20~]) t ~ 0- _ donc ~(Za~_ = Z a t p~) , nous poserons F(~)- , et noterons (2.5.3) F : ~R(x/s)~ ~R(X/S) l'homomorphisme ~-lin6aire compos6 de ~ et de la fl6che d'adjonction ~R ( " ~R (x X/S) ~ ~ _/S) , x ~ i® x . Par construction, F est compatible au cup-produit 2.2 c) : on a (2.5.4) = F quels que soient x,yE 4R(_X/S). L'~nonc~ suivant est cas particulier d'un th~or~me de Mazur-Ogus ([i0], [4, 8.26]) (*) : PROPOSITION 2.6. Avec les notations de 2.3 e_~t 2.5, on a

Hdg - - -

et les deux membres ont m~me imaqe dans 4R(Xo/So). En d'autres termes, si l'on note F : 4R(Xo/S O) ~ 4R(Xo/S O) l'endomorphisme (p-lin~aire) de Frobenius (r~duction mod p de 2.5.3), et F i 4R(Xo/S O) la filtration de Hodge de ~R(Xo/S O) (r~duction Hdg - mod p de celle de 4R(X/S)), on a (2.6.1) F 1 4R(Xo/S O) = Ker F : 4R(Xo/S O) ~ 4R(Xo/S O) Hdg - - - " Rappelons la d~monstration de cette formule. Par d~finition, F est compos6 de l'injection eanonique (p-lin~aire) 4R(Xo/S o) ~ ~R(_Xo(P)/So ) * H~ /s o) = F S R(Xo d~finie par le carr~ cart~sien de 2.5.1 et de la o 2 (p) fl~che @S -lin~aire F : ~R(Xo /S O ) ~ 4R(Xo/S O) d~finie par le O Frobenius relatif FXo/S O . Ii est imm~diat que l'on a (~) Ii s'agit d'une variante formelle de [4, 8.26], qui s'en d6duit faeilement. 71
FIHdg 4R(Xo/So)- = 4R(Xo/So)N- FIHdg HDRt~o-2 ,. (p)/s o) , donc il suffit de prouver que (2.6.2) F 1 2 (p) ~ : H~R(Xo /So) ~ ~R(Xo/So ) Hag ~R(~o /S O ) = Ker 2 (p) (P) D'apr~s 2.2, la suite spectrale de Hodge de ~o /So d~g6n~re en E 1 , donc on a une suite exacte

(2 6.3) 0 --> F 1 2 (p) M2 (x(P)/So) ~_~ H 2 x(p) • Hag HDR(~o /So) --~ -~R'-o (-o ,~) --~ 0 ,

oQ ~ est la projection canonique. D'autre part, comme FXo/S ° s'an- nule sur ~ pour i ~ 1 , on a un carr6 commutatif x~P)/s o

4R(Xo(P)/So ) ~ ~ H2(-oX(P)'~)

~R(Xo/S o) , (*) ~2(Xo,g°(~o/So)) , o~ (*) est d~fini par l'inclusion H°(%o/S O) ~ %olS O . Mais la d~g~n~rescence en E 1 de la suite spectrale de Hodge de Xo/So entra~ne (par l'argument bien connu utilisant l'op6ration de Cartier) la d~g~n~rescence en E 2 de la suite spectrale conjugu~e i(Xo J %o/So ) En particulier, l'application (~) est injective. Comme la fl~che ver- ticale de droite est un isomorphisme (cas particulier de l'isomorphisme de Cartier), on en conclut que ~ et ~ ont m~me noyau, ce qui ach~ve la d~monstration, compte tenu de 2.6.3. REMARQUES 2.7 a) D'apr~s [4, 8.26], on a 6galement (2.7.1) F 2 4R(Xo/So) = Im{xE 4R(X/S)IFxE p 2 4R(X/S)} ~ 4R(Xo/So) Hdg - - - mais nous n'en aurons pas besoin. b) Le F-cristal ~R(X/S) est isomorphe au "cristal de Tate" @(-2) = (0 s muni de v = d et F=p2 ). Faute de disposer (dans la litt6rature) d'un morphlsme trace R(X/S) ~ @S ' on peut n~anmoins 72
s'en convaincre de la mani~re suivante : on note d'abord que 4R(X/S) est l'image par le cup-produit de F 1 ~R(X/S)~ F 1 ~R(X/S) ; grace

2.5.4 et 2.6, on en d~duit q~e F(4R(X/S)) c p2 4R(X/S ) • puis, grace

au fait que 4R(_X/S) ®W = H4(Xo/W) est isomorphe ~ W(-2), que 4 R(X/S) est de la forme U(-2), ou U est un F-cristal unit~ ; mais tout F-cristal unit~ sur S est trivial [7], d'oQ l'assertion.

2.8. Le dernier ingr6dient dont on aura besoin pour la d6monstra-

tion de 1.6 est la notion de classe de Chern cristalline d'un faisceau inversible (cf. [3]). Notons FiiI%/s le sous-complexe de %/Squotesdbs_dbs9.pdfusesText_15