C H A P I T R E 2 F O R M E S Q U A D R A T I Q U E S
DEFINITION 13 : FORME QUADRATIQUE Soit b une forme bilinéaire sur E L’appliation et appelée forme quadratique associée Remarque : l’ensem le des formes quadratiques sur E est un espae vetoriel sur Remarque : La forme quadratique q associée à b est nulle ssi b est alternée est linéaire
Formes quadratiques Applications
telle que df(a) = 0 On note Ala matrice hessienne de fen a, et qla forme quadratique associ ee 1 Si fadmet un minimum (resp un maximum) relatif en aalors qest une forme quadratique positive (resp n egativ e) 2 Si qest une forme quadratique d e nie positive (resp d e nie n egativ e) alors f admet un minimum (resp un maximum) relatif en a
P P X P - BU
signature de q Exercice 5 Soit q une forme quadratique dé nie sur le R-espace v ectoriel E Mon trer que q garde un signe constan t sur E Exercice 6 Soit E un K-espace v ectoriel 1) Une forme bilinéaire f sur E est dite alternée si f(x,x) = 0 p our tout x Mon trer qu'une forme bilinéaire est alternée si et seulemen t elle an
Daniel ALIBERT Formes quadratiques Espaces vectoriels
Soit E un espace vectoriel réel, et q une forme quadratique sur E Si q(x) ≥ 0, pour tout x de E, on dit que q (ou sa forme polaire) est positive Sur Rn, la forme quadratique canonique est non dégénérée et positive Soit φ une forme bilinéaire symétrique non dégénérée positive sur un espace vectoriel réel de dimension finie
Feuille d’exercices n 10 - Massachusetts Institute of
[Une forme quadratique q: R n nR R est dite non-d eg en er ee s’il n’existe pas x2R tel que q(x;y) = 0 pour tout y La signature d’une forme quadratique non-d eg en er ee q, repr esent ee par une matrice M, est un couple d’entiers (n 1;n 2) ou n 1 est le nombre de valeurs propres positives de Met n 2 le nombre de valeurs propres n
FORMES NORMALES POUR LES CHAMPS CONFORMES PSEUDO-RIEMANNIENS
d’une forme quadratique de signature (p+1,q+1) est naturellement muni d’une structure pseudo-riemannienne conforme de signature (p,q) Ce pro-jectivis´e, muni de cette structure conforme naturelle est un espace compact appell´e l’univers d’ Einstein de signature (p,q) On le note Einp,q Le groupe
Feuille d’exercices no12
[Une forme quadratique q: Rn RnR est dite non-d eg en er ee s’il n’existe pas x2Rn tel que q(x;y) = 0 pour tout y La signature d’une forme quadratique non-d eg en er ee q, repr esent ee par une matrice M, est le couple d’entiers (n 1;n 2) ou n 1 est le nombre de valeurs propres positives de Met n 2 le nombre de valeurs propres n
A Complex Hyperbolic Structure for Moduli of Cubic Surfaces
6 qui est muni de la forme quadratique telle que la base soit orthogonale et telle que ( e 0, e 0) = 1, ( e k, e k) = −1 pour k > 0 Soit η = 3e 0 − (e 1 + ··· + e 6) Alors une surface cubique marqu´ee est compos´ee d’une surface cubique lisse S et d’une isom´etrie ψ : L −→ H2(S,Z) qui envoie η sur la classe d’un hyperplan
Corrig´e du devoir surveill´e n 1
Soit q: R3 → R la forme quadratique d´efinie par la formule q(x,y,z) = x2 +4xy +6xz +4y2 +16yz +9z2 1) D´eterminer la forme bilin´eaire sym´etrique associ´ee a` q et sa matrice dans la base canonique La forme polaire de q est la forme bilin´eaire f : R3 ×R3 → R d´efinie par
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