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Aide multicritère à la décision Concepts, méthodes et perspectives Daniel VANDERPOOTEN LAMSADE - Université Paris Dauphine ENS Cachan, 11 septembre 2008

Aide multicrit`ere `a la d´ecision

On mesure la concordance, c(a,b) ∈ [0,1], `a l’aide des contributions de chaque crit`ere c(a,b) = 0, si aucun crit`ere n’est en faveur de aSb 1, si tous les crit`eres sont en faveur de aSb ∈]0,1[, si certains crit`eres seulement sont en faveur de aSb Philippe Lenca Aide multicrit`ere `a la d´ecision

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Aide multicrit`ere `a la d´ecision

M´ethodes de surclassement

Philippe Lenca

GET / ENST Bretagne

D´epartementlussi

Septembre 2004

Philippe Lenca

Aide multicrit`ere `a la d´ecision

G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Plan

Consid´erations g´en´erales

M´ethodes de surclassement

Crit`eres

Pseudo-crit`ere

Situations de pr´ef´erences

electre I electre II electre III

R´ef´erences

Philippe Lenca

Aide multicrit`ere `a la d´ecision

G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes fond´ees sur un crit`ere unique de synth`ese Mod`ele de pr´ef´erences est exprim´e par une fonction unique : ?utilit´e multi-attribut, somme pond´er´ee ?programmation math´ematique ?etc. Fonction permet de ranger toutes les actions de la meilleure `a la moins bonne :?pas d"incomparabilit´e ?transitivit´e ?etc.

Probl`emes de classement, choix simple.

Philippe Lenca

Aide multicrit`ere `a la d´ecision

G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes fond´ees sur un crit`ere unique de synth`ese Fonction permet de ranger toutes les actions de la meilleure `a la moins bonne :?r´esultat qui peut sembler tr`es confortable pour le d´ecideur ?mais hypoth`eses importantes ?commensurabilit´e entre les crit`eres, agr´egation de donn´ees conflictuelles, impr´ecises peut ˆetre difficile?forme de la fonction? -additive -multiplicative -etc. ?compensation totale entre les crit`eres

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Agr´egation multicrit`ere

D´ecision prend en comptencrit`eresg1, ...,gn:?g iA ?→Vi?pour chaquegi, les pr´ef´erences vis-`a-vis des niveaux deVi

sont ind´ependantes des autres crit`eres?pr´ef´erences sur lesVisont un ordreExemple : choix de voitures

?consommation: R4GTL≥R21TS≥ALPIN?prix: ALPIN≥R21TS≥R4GTLPhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Agr´egation multicrit`ere

?actionaest meilleure que les actionsbetc, doit-on connaˆıtre la relation entrebetc??r´esolution d"un probl`eme de d´ecision est un processus temporel

o`u les actions peuvent ˆetre incomparables `a un moment donn´e?conclure `a l"incomparabilit´e de deux actions peut mener `a

´etudier de nouveaux aspects du probl`eme?additivit´e entre les crit`eres est-elle une hypoth`ese raisonnable?

?commensurabilit´e entre les crit`eres peut ˆetre difficile `a obtenir Concept de surclassement [B. Roy, 60s].Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Agr´egation multicrit`ere

Trois grandes familles :

?crit`ere unique de synth`ese ?m´ethodes interactives ?m´ethodes de surclassement

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

?un crit`ere (au moins) n"est pas quantitatif ?les unit´es d"´evaluation des crit`eres sont h´et´erog`enes et leur

codage sur une ´echelle commune est difficile?la compensation entre crit`eres n"est pas justifi´ee

?des seuils de pr´ef´erences ou de v´eto doivent ˆetre pris en compte D´evelopp´ees par [B. Roy, 60s] :?`a l"occasion d"applications r´eelles ?pour r´esoudre des difficult´es avec l"utilisation d"approche du type crit`ere unique de synth`esePhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Relation de surclassement

Une relation de surclassement est unerelation binaireSd´efinie dansAtelle queaSbsi, ´etant donn´e ce que l"on sait despr´ef´erences du d´ecideuret ´etant donn´ee laqualit´e des ´evaluations des ac- tionset lanature du probl`eme, il y a suffisamment d"arguments pour admettre queaestau moins aussi bonnequeb, sans qu"il y ait de raison importante derefuser cette affirmation.Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Siasurclassebalorsaest au moins aussi bonne queb.

Une relation de surclassement :?n"a aucune raison d"ˆetre compl`ete ?n"a aucune raison d"ˆetre transitive ?ne permet pas en g´en´eral d"obtenir imm´ediatement un rangement total des actions?la dominance entraˆıne le surclassement ?est reflexive

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Diff´erences entre les m´ethodes de surclassement vont provenir notamment de la fa¸con de formaliser et d"exploiter la d´efinition du surclassement :?electre ?promethee ?melchior ?etc.

M´ethodes de surclassement proc`edent en deux ´etapes :?construction de la relation de surclassement

?exploitation de la relation de surclassement en fonction de la probl´ematique choisiePhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Probl`emes consid´er´es :

?ensemble fini d"actions,A={a1,a2,...,am}?famille coh´erente de pseudo-crit`eres,F={g1,g2,...,gn}?une ou plusieurs probl´ematiques de d´ecision [Roy, 1985]

?choisir une ou plusieurs action(s) : probl´ematique de choix/s´electionPα(1?d´eterminer toutes les bonnes actions : probl´ematique de tri/affectationPβ?classer les actions de la meilleure `a la moins bonne :

probl´ematique de rangement/classementPδ?d´ecrire les actions et/ou leurs cons´equences de fa¸con

formalis´ee : probl´ematiquePγPhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Probl´ematiques de d´ecision'

A

AFig.1:Probl´ematiqueα

k A A 2 A i A 1

AFig.2:Probl´ematiqueβ

314
2 5 A A AA A

AFig.3:Probl´ematiqueγ

Description des actions et de leurs conséquences

AFig.4:Probl´ematiqueδPhilippe Lenca

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M´ethodes de surclassement

L"affirmationaSbest accept´ee si :?il y a concordance : une majorit´e de crit`eres sont concordants

avecaSb(principe de majorit´e)?il n"y a pas discordance : aucun des crit`eres non-concordants (discordant) r´efute fortementaSb(principe de respect des minorit´es) Deux indices :?la concordance : mesurer les arguments en faveur de au moins aussi bonne?la discordance : mesurer s"il y a des raisons importantes de refuser cette affirmationPhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Concordance/Discordance

Les indices de concordance et discordance mettent en oeuvre les principes de majorit´e et de respect des minorit´es afin d"affirmer le surclassement (ou non) deasurb. Cela peut se r´ealiser de diff´erentes fa¸cons et avec des niveaux d"exi- gence plus ou moins forts.Prises en compte : ?de seuils, les valeurs prises par un crit`ere peuvent ˆetre impr´ecises, incertaines?de logiques non compensatoires ?de l"incomparabilit´e ?de notion de v´eto

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Concordance partielle

On mesure la contribution,ci(a,b)?[0,1], de chaque crit`ere `a la propositionaSb. c i(a,b) =? ?0,ssigin"est absolument pas en faveur deaSb

1,ssigiest totalement en faveur deaSb

?]0,1[,ssigiest partiellement en faveur deaSbPhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Concordance globale

On mesure la concordance,c(a,b)?[0,1], `a l"aide des contributions de chaque crit`ere. c(a,b) =? ??0,si aucun crit`ere n"est en faveur deaSb

1,si tous les crit`eres sont en faveur deaSb

?]0,1[,si certains crit`eres seulement sont en faveur deaSbPhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Idem avec la discordance.

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

M´ethodes de surclassement

Famille des m´ethodeselectre

ELicitation Et Choix Traduisant la REalit

´e:?electre Ietelectre is: choisir une ou plusieurs action(s)

(Pα)?electre tri: d´eterminer toutes les bonnes actions (Pβ)?electre II,electre IIIetelectre IV: classer les

actions de la meilleure `a la moins bonne (Pδ)http://www.lamsade.dauphine.fr/logiciel.html

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Crit`eres

Crit`ere

Uncrit`ereest une fonctiongd´efinie surAet prenant ses va- leurs dans un ensemble totalement ordonn´e IR,g:A→IR), et

qui repr´esente les pr´ef´erences du d´ecideur selon un point de vue.?vrai-crit`ere: la structure de pr´ef´erence sous-jacente est une

structure de pr´e-ordre total ("mod`ele traditionnel")?quasi-crit`ere: la structure de pr´ef´erence sous-jacente est une

structure de quasi-ordre ("mod`ele `a seuil")?crit`ere d"intervalle: la structure de pr´ef´erence sous-jacente est

une structure d"ordre d"intervalle ("mod`ele `a seuil variable")?pseudo-crit`ere: la structure de pr´ef´erence sous-jacente est une

structure de pseudo-ordrePhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Famillede crit`eresFamille de crit`eres

L"´elaboration d"une familleF={g1,g2,...,gn}de crit`eres pour repr´esenter les diff´erents points de vue est un op´eration d´elicate qui

doit permettre de mod´eliser les pr´ef´erences `a un niveau global.Famille coh´erente de crit`eres

Une famille de crit`eres est coh´erente si elle est conforme aux trois exigences suivantes [Roy, 1985], [Roy et Bouyssou, 1993] :?exhaustivit´e ?coh´esion ?non redondance

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Famillecoh´erentede crit`eresExhaustivit´e

Les crit`eres pris en compte doivent d´ecrire le probl`eme de mani`ere suffisamment exhaustive. C"est-`a-dire que si deux alternativesaet bsont telles que?i,gi(a) =gi(b), alors il ne doit pas exister d"alternativectelle que la relation dec`aasoit diff´erente de la relation dec`ab. si?i,gi(a) =gi(b)alors?c: cHb?cHa,?H? {I,P,Q,R,≂,?,S} bH ?c?aH?c,?H?? {I,P,Q,R,≂,?,S}Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Famille coh´erente de crit`eres

Coh´esion

Les crit`eres ne doivent pascasserles propri´et´es de chaque crit`ere pris individuellement (aest d"autant meilleure quegi(a) est ´elev´e). si?j? F \ {k},gj(bk) =gj(b),gk(bk)≥gk(b) si?j? F \ {k},gj(a) =gj(ak),gk(a)≥gk(ak), l"une au moins des deux in´egalit´es ci-dessus ´etant stricte, alors : bPa?bkPak, bQa?bk?ak, bIa?bkSak.Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Famille coh´erente de crit`eres

Non redondance

Il faut ´eliminer deFles crit`eres superflus, par souci d"´economie. Fdoit donc ˆetre telle que, si on lui enl`eve un crit`ere, elle ne satisfait plus l"un au moins des deux axiomes pr´ec´edents.Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`ere

Le mod`ele de pseudo-crit`ere permet d"int´egrer des ´el´ements mal d´efinis ou connus avec une marge de pr´ecision. On suppose que les pr´ef´erences sont croissantes avec les performances. Soitgjun crit`ere (gj:A ?→IR),a,b? Aetula diff´erence d"´evaluation surgjentreaetb: u=gj(a)-gj(b)Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`ere (u=gj(a)-gj(b))?siu?0, alorsaIjb(aest indiff´erente `ab)?sigj(a) croˆıt, soitqj(gj(b)) (seuil d"indiff´erence du crit`eregj)

la diff´erence `a partir de laquelleaetbne sont plus indiff´erentes?si la diff´erence est suffisamment grande alorsaPjb(aest strictement pr´ef´er´ee `ab). aP jbne sera accept´ee que jusqu"`a une certaine valeurpj[gj(b)] (seuil de pr´ef´erence stricte du crit`eregj). G´en´eralement, on apj[gj(b)]?=qj[gj(b)] avec p et la pr´ef´erence stricte. On note alorsaQjbcette situation appel´ee pr´ef´erence faible.Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`ere (u=gj(a)-gj(b))jjj

g(b) jjjg(b) +q [g(b)]jjg(b) + p [g(b)]j j a I ba Q ba P bPréférences g(a) jFig.5:Pseudo-crit`ere et pr´ef´erences.

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`ere

Pseudo-crit`ere

On appelle pseudo-crit`ere une fonction-crit`ereg`a laquelle est as- soci´ee deux fonctions seuilsqg[g(b)] etpg[g(b)] v´erifiant : ?a,b,? A

Les conditions de monotonie,

q g[g(a)]-qg[g(b)]g(a)-g(b)≥ -1 etpg[g(a)]-pg[g(b)]g(a)-g(b)≥ -1 et telles que, g j(a)≥gj(b)?? ?aI aQ aP jb?gj(a)-gj(b)>pj[gj(b)]Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`erejjj

j j j jg(a) - qjjg(a) - p a P ba Q ba I bb P ab Q a jPréférences j g(a)jg(a) + pjjg(b)jg(a) + qFig.6:Pseudo-crit`ere et pr´ef´erences.

Cas particuliers :

?p j=qj, quasi-crit`ere?q j= 0, pr´e-crit`ere?p j=qj= 0, vrai-crit`erePhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`ere et l"impr´ecision

Consid´erons un crit`ere prenant en compte une unique dimension

sur laquelle chaque actiona?Aest ´evalu´ee par un point (fig. 7):?le plus probablec(a)?un point par exc`esc+(a)?et un par d´efautc-(a)c(a)-+c (a)

c (a)Fig.7:a?[c-(a);c+(a)].Evaluation entour´ee d"une marge de dispersion pas forcement sym´etrique.Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`ere et l"impr´ecision

On peut raisonnablement d´efinir le crit`eregen posant g(a) =c(a). Sans informations suppl´ementaires, une diff´erence faible entreg(a) etg(b) ne nous permet pas de conclure une pr´ef´erence stricte.

Une fa¸con naturelle de proc´eder :?aPbssic-(a)>c+(b) (cas o`u les intervalles sont disjoints)?sic(b) croˆıt les deux intervalles vont se chevaucher?indiff´erenceId`es que l"´evaluation la plus probable de chaque

action est comprise dans l"intervalle de l"autre action?pr´ef´erence faibleQdans la situation interm´ediairePhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Pseudo-crit`ere et l"impr´ecision

On peut montrer que si les ´ecartsc-(a)-c(a) etc+(a)-c(a) ne d´ependent de l"actionaqu"au travers dec(a), le mode de comparaison par intervalles peut ˆetre mod´elis´e `a l"aide d"un pseudo crit`ere :

Si?a?A,c

-(a) =c(a)-(α?+β?c(a))c +(a) =c(a) + (α+βc(a))

alors on a le pseudo crit`ere tel que,?a?A,g(a) =c(a)p(g(a)) =α+α?+(β+β?)g(a)1-β?q(g(a)) = min[α+βg(a);α?+β?g(a)1-β?]Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Situations de pr´ef´erences

aSb: il y a suffisamment d"arguments en faveur deaest au moins aussi bonne queb.

Arguments bas´es sur :?les ´evaluations deaetb?(g1(a),...,gn(a))?(g1(b),...,gn(b))?d"´el´ements sur les pr´ef´erences du d´ecideur

?poids sur les crit`eres ?fonctions seuils

Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Quatre situations de pr´ef´erences

Situations Relations Repr´esentations

aSbet nonbSa aPba bnonbSaetbSa bPaabaSbetbSa aIb b a b anonaSbet nonbSa aRb a bPhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

electre I

Probl`eme du choix :

?obtenir le plus petit sous-ensembleNdeAtel que toute action qui n"est pas dansNest surclass´ee par au moins une action deN?et tel que les actions deNsoient incomparables entre elles

Formellement :

?a,b? AtrouverNtel que

N ? A,?b?? N,?a? N,aSb

?a? N,?b? N,a?Sb,b?SaPhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Construction de la relation de surclassement

Indice de concordancec(a,b) :?a,b?A

c(a,b) =1? p j=1pj? j/gj(a)≥gj(b)p j?varie de 0 `a 1 (normalisation des poids)

?mesure les arguments en faveur de "asurclasseb"?correspond `a une proc´edure o`u chaque groupe de votants

(mesur´e par son importance) exprime sa pr´ef´erence deasurb.?ne n´ecessite pas la comparabilit´e entre les crit`eres

(comparaisons crit`ere par crit`ere)Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Construction de la relation de surclassement

Indice de discordanced(a,b) (crit`eres qualitatifs et comparables) : d(a,b) =? ?0 si?j,gj(a)≥gj(b), 1δ maxj[gj(b)-gj(a)] sinon o`uδ=maxc,d,j[gj(c)-gj(d)]?mesure la force d"un argument (maximal) en d´efaveur de "a

est au moins aussi bonne queb"?exprime le fait que le d´ecideur ne peut accepter la pr´ef´erence

deasurbsibest largement meilleur queasur un crit`ere

(quel que soit le nombre de crit`eres en faveur deasurb)?indiced(a,b) est donc d"autant plus grand que la pr´ef´erence

deasurbest faible sur un crit`erePhilippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

Construction de la relation de surclassement

Discordanced(a,b) (crit`eres non comparables) :?ensembles de contraintesDjde la forme{(=,xj,yj)}, binaire exprimant des contraintes Par exemple, l"ensemble{(=,x2,y2)}signifie que sur le crit`ere 2 si g

2(a) =x2etg2(b) =y2on refusera le surclassement debpara,

et ce quel que soient les arguments en faveur deasurb. Discordance exprime la notion de v´eto.Philippe Lenca

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G´en´eralit´eSurclassementCrit`eresPseudo-crit`erePr´ef´erenceselectre Ielectre IIelectre IIIR´ef´erences

D´efinition de la relation de surclassementS?`a l"aide de la concordance `a partir d"un seuil ˆc ie.qu"il y a suffisamment d"arguments en faveur dea?et de la discordance soit `a partir d"un seuilˆdsi les crit`eres sont commensurables ou bien `a partir des ensembles de contraintes ie.qu"il n"y a pas assez d"arguments contre le surclassementPhilippe Lenca

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D´efinition de la relation de surclassementSaSb???c(a,b)≥ˆc ou par aSb???c(a,b)≥ˆc ?j(R,gj(a),gj(b))?? Dj La relation de surclassement (nette)Speut ˆetre repr´esent´ee par un graphe orient´eG= (A,U) o`uU={(ai,aj)? A × A/aiSaj}.Philippe Lenca

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Exploitation de la relation de surclassementSProbl´ematique - on recherche un sous-ensembleNtel que :

??b?(A - N),?a? N/aSb ?(a,b)? N × N,a?Sb?premi`ere condition est une propri´et´e de compl´etude (sous-ensemble S-dominant)?la seconde de minimalit´e. La recherche deNest ´equivalente `a la recherche du noyau du graphe

Grepr´esentantS.Philippe Lenca

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Exploitation de la relation de surclassementSOn peut avoir : aSb,bScetcSa ie.un graphe sans noyau,aSb,bSc,cSdetdSa ie.un graphe avec deux noyaux, mais aussiaSb aSc(sansbScni cSb)ie.un graphe avec un noyau unique.b a cb ab d ca cFig.8:Exemples de noyaux dans un graphe.

Philippe Lenca

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