Chapitre 3 Optimum de Pareto et Équilibre Concurrentiel Général
Notes sur le cours de Microéconomie 2ème année Ph Darreau Université de Limoges Chapitre 3 Optimum de Pareto et Équilibre Concurrentiel Général I) Introduction à l'économie du bien-être II) Le critère de Pareto III) Les théorèmes fondamentaux de l'économie du bien-être IV) Les allocations justes
Vilfredo Pareto and Multi-objective Optimization
Figure 1: Vilfredo Pareto 1848–1923 (Picture scanned from the second French edition of Pareto (1906) published in 1927 ) 20 of the population and the Pareto distribution, a power law probability distribution Pareto Optimality The origin of the term Pareto optimality goes back to the following text from Pareto (1906, Chapter VI, Section 33)
THEORIE DU CHOIX SOCIAL ET ECONOMIE NORMATIVE
général et celle d’optimum de Pareto Dès le début du 20ème siècle, une spécialité particulière, l’économie du bien-être, s’était donné pour objet l’évaluation des situations économiques et, singulièrement, des modalités de la répartition La
Introduction à l analyse microéconomique
Le niveau de vie s élève et les ind ividus améliorent leur mode de vie Les points D et E sont les nouveaux optimums de Pareto Mais D est-il préférable à E ? Ou est -ce l inverse ? Autrement dit, faut -il avantager X ou plutôt Y ? Le critère de Pareto ne permet pas de répondre à cette question
DE L’EQUILIBRE PARTIEL A L’EQUILIBRE GENERAL
l'ophémilité dont jouissent certains individus, et de diminuer celle dont jouissent d'autres : d'être agréable aux uns, désagréable aux autres » Vilfredo Pareto – Traité d’économie politique 2 Optimum de Pareto et théorèmes de l’économie de bien être 2 1 L’optimum de Pareto
COURT SHOE PRODUCTION LINE: IMPROVEMENT OF PROCESS CYCLE
gestion allégée, il augmenterait à 19,46 à l’avenir et le temps d’exécution serait réduit de 57,24 , évalué par l’analyse de Pareto et les outils de cartographie du flux de valeur
AVALIAÇÃO DO ALGORITMO EVOLUCIONÁRIO MOPSO NA CALIBRAÇÃO
Uma forma de abordar a questão multiobjetivo é fazer uso dos conceitos de dominância de Pareto, que permitem avaliar as trocas existentes entre os múltiplos objetivos analisados com base na análise das soluções não-dominadas do espaço de busca (Gupta et al , 1998; Yapo et al , 1998; Boyle et al , 2000; Vrugt et al , 2003)
PRATIQUE DE LA MAINTENANCE PRÉVENTIVE
4 3 Courroies et poulies de transmission 165 4 4 Chaînes et roues de transmission 176 4 5 Transmissions à cardan 182 4 6 Chaînes et roues de manutention 187 4 7 Pompes centrifuges et volumétriques 195 4 8 Surpresseurs à pistons rotatifs 203 5 • Pneumatique 209 5 1 Compresseurs à vis lubrifié 209 5 2 Compresseurs à pistons 212
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AVALIAÇÃO DO ALGORITMO EVOLUCIONÁRIO MOPSO NA CALIBRAÇÃO MULTIOBJETIVO DO MODELO SMAP NO ESTADO DO
CEARÁ
Luiz Sérgio V. Nascimento
1 , Dirceu Silveira Reis Jr. 2 & Eduardo Sávio P. R. Martins 3RESUMO ---
Este artigo avalia o uso de algoritmos de otimização multi-objetivo na calibração demodelos hidrológicos no Estado do Ceará. Empregou-se o algoritmo evolucionário Multi-Objective
Particle Swarm Optimization (MOPSO) para calibrar o modelo conceitual do tipo chuva-vazão SMAP com dois pares de funções objetivo. O artigo investiga a influência da seleção das funções
objetivo na definição do conjunto de parâmetros do modelo, bem como a habilidade do algoritmo
MOPSO em encontrar o ótimo de cada função, assim como a capacidade do mesmo em definir a frente de Pareto de maneira adequada. ABSTRACT --- This paper presents an evaluation of a multi-objective optimization procedure for calibration of watershed models for the State of Ceara, Brazil. We employ the Multi-ObjectiveParticle Swarm Optimization (M
OPSO) algorithm to calibrate the conceptual rainfall-runoff model SMAP with two different pairs of objective functions. The paper investigates the role of the choice of the objective functions in the definition of the parameter set and the ability of MOPSO to both find the optimum of each object function and represent the Pareto front properly. Palavras-chave: calibração, multiobjetivo, modelos hidrológicos. 1Pesquisador da Fundação Cearense de Meteorologia e Recursos Hídricos - FUNCEME. Av. Rui Barbosa, 1246,
Fortaleza - CE, 60.115-221, e-mail:
2Pesquisador da FUNCEME, e-mail: dirceu
.reis@gmail.com 3Presidente da FUNCEME, e-mail: esm9@secrel.com.br
XVII Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 11 - INTRODUÇÃO
Modelos hidrológicos têm sido amplamente utilizados no dimensionamento de estruturas deengenharia e no planejamento e gestão dos recursos hídricos. Exemplos de aplicação incluem
extensão de séries hidrológicas, previsão de afluências, dimensionamento e operação de estruturas
hidráulicas, estudos de regionalização em bacias sem dados, avaliação de impactos causados pela
mudança do uso do solo, avaliação de impactos gerados por mudanças climáticas entre outros.
Dentre os modelos hidrológicos usualmente utilizados, destacam-se os modelos conceituais de chuva-vazão. Geralmente, os parâmetros destes modelos não podem ser estimados através demedidas diretas das características das bacias, como por exemplo, taxa de infiltração do solo
(pontual) ou definição de tipo de solo ou vegetação. A estimativa dos parâmetros do modelo é feita
através de um estudo de calibração, cujo objetivo consiste em definir um vetor de valores dos
parâmetros de modo que os valores simulados de vazão se aproximem das vazões observadas. A calibração pode ser executada de forma manual ou com base em algum algoritmo deotimização computacional. Na calibração manual, um processo de tentativa e erro é aliado à
experiência do hidrólogo para a determinação dos parâmetros, e baseia-se geralmente em um
julgamento subjetivo dos hidrogramas observados e simulados. Na calibração automática, os parâmetros do modelo são ajustados dentro de espaço de busca, de acordo com um ou mais objetivos, que mensuram a aderência dos resultados do modelo aos dados observados no campo.Muitas pesquisas são focadas na calibração através de um único objetivo e na determinação
automáticas dos parâmetros que maximizem ou minimizem uma função objetivo, de acordo com o
que se deseja obter. Uma das maiores dificuldades apresentadas neste tipo de calibração é justamente a escolha de que objetivo utilizar já que, na maioria dos casos, diferentes objetivoslevam a diferentes conjuntos de parâmetros. Experiências mostram que a calibração automática
utilizando um único objetivo, mesmo que bem escolhido, não consegue determinar adequadamente o melhor conjunto de parâmetros do modelo que mais se adapte aos dados reais. Desta forma, faz-senecessário a utilização de múltiplos objetivos para uma calibração mais eficiente. Como na
calibração multiobjetivo dois ou mais objetivos são tratadas independentemente, há a possibilidade
de melhor se avaliar o desempenho geral do modelo. Uma forma de abordar a questão multiobjetivoé fazer uso dos conceitos de dominância de Pareto, que permitem avaliar as trocas existentes entre
os múltiplos objetivos analisados com base na análise das soluções não-dominadas do espaço de
busca (Gupta et al., 1998; Yapo et al., 1998; Boyle et al., 2000; Vrugt et al., 2003). Mais recentemente, muitos algoritmos evolucionários têm sido utilizados para a estimativa multiobjetivo dos parâmetros de modelos hidrológicos. Muitos destes algoritmos utilizam os conceitos de dominância de Pareto em sua evolução. Dentre os algoritmos multiobjetivos XVII Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 2evolucionários mais utilizados na literatura podem-se citar o NSGA-II (Deb et al., 2002), que utiliza
os operadores dos algoritmos genéticos, o MOCOM-UA (Gupta et al., 1998; Yapo et al. entre outros), o MOSCEM-UA (Vrugt et al., 2003) e o MOPSO, que foi proposto por diversos pesquisadores como uma extensão multiobjetivo do algoritmo PSO (Particle Swarm Optimization).Este trabalho tem como objetivo investigar a aplicação da calibração multiobjetivo em bacias
situadas no semi-árido do Nordeste brasileiro, mais especificamente no Estado do Ceará, avaliando
diferentes funções objetivo e suas influências na determinação dos parâmetros do modelo conceitual
de chuva-vazão SMAP proposto por Lopes (1981). Para a determinação automática dos parâmetros
utilizou-se o algoritmo evolucionário de otimização multiobjetivo MOPSO, proposto por Alvarez et
al., 2005, e investigou-se sua eficiência na determinação dos ótimos das funções testadas. Como
forma de avaliar os resultados e determinar a influência do enfoque multiobjetivo, os resultadosforam comparados com os obtidos através da calibração automática com um único objetivo ao se
utilizar o algoritmo de busca local Nelder e Mead (1965) para a determinação dos parâmetros.
2 - FUNÇÕES OBJETIVO
De uma forma bem simples, pode-se dizer que o processo de calibração, seja ele manual ou automático, consiste em estimar os parâmetros do modelo de modo que este represente bem os fenômenos que ocorrem na natureza. A forma mais simples e direta de avaliar a capacidade do modelo em representar os processos hidrológicos de uma dada bacia é comparando as vazõessimuladas com as vazões observadas na natureza. A princípio, quanto mais próximas estiverem as
séries simuladas e observadas de vazão, mais bem calibrado o modelo estará. A idéia de proximidade entre as vazões simuladas e observadas pode ser um tanto vaga esubjetiva. Embora seja comum e conveniente uma inspeção visual do ajuste, há a necessidade de se
expressar matematicamente o grau de proximidade entre as duas séries. Isto é feito através do uso
de uma função objetivo. A função objetivo permite uma comparação clara e objetiva entre os
resultados de simulação oriundos de diferentes conjuntos de valores de parâmetros, o que a torna
uma peça-chave em qualquer procedimento de calibração automática.Entretanto, a escolha adequada de uma determinada função objetivo não é uma tarefa simples,
e depende sobremaneira do uso futuro do modelo hidrológico. A literatura apresenta várias sugestões, algumas focam mais no pico dos hidrogramas, outras nas vazões mínimas, outras naforma de ascenção ou recessão do hidrograma etc. Gupta et al. (1998) apresentam um conjunto de
nove funções objetivo utilizadas pelo National Weather Service para a calibração do modelo chuva-
vazão SAC-SMA.A seleção das funções objetivo mais apropriadas para a calibração de modelos hidrológicos
tem sido muito discutida na literatura. Recentemente, observa-se um aumento considerável nos XVII Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 3 esforços para entender as incertezas inerentes aos resultados obtidos através de modeloshidrológicos, o que vem resultando numa busca de funções objetivo que tenham um apelo ou uma
base mais estatística, de modo que seja possível estimar de forma consistente as incertezas naestimativa dos parâmetros. A função objetivo mais utilizada na literatura é aquela associada à
minimização da soma dos quadrados dos resíduos, que implicitamente assume que os erros são
independentes e possuem a mesma variância ao longo do tempo, premissas essas que dificilmente são verificadas na prática. Yapo (1996) mostra que alguns estudos sugerem o uso do HMLE (heteroscedastic error maximum likelihood estimation), que utiliza a função verossimilhança assumindo que a variância do erro do modelo pode variar no tempo (Soroosh et al., 1993), o que seria um modelo mais apropriado para o problema em questão. Outros autores também vêm trabalhando nesta linha (Kuczera, 1988; Kavetski et al., 2003). De toda forma, este artigo não sepropõe a fazer uma análise de incertezas em modelos hidrológicos, mas sim mostrar a importância
de se utilizar uma análise multiobjetivo no processo de calibração e ilustrar o uso de algoritmos que
permitam a realização de calibração automática empregando mais de um objetivo. Vários estudos mostram que a magnitude dos erros obtidos entre as vazões simuladas eobservadas está intimamente ligada à escolha da função objetivo. Por estas razões, faz-se necessário
a avaliação de múltiplas funções objetivo.No presente trabalho, uma combinação de quatro funções objetivo foi utilizada no estudo de
calibração do modelo SMAP mensal para o estado do Ceará. Embora o modelo possa vir a serutilizado nos mais diversos estudos, o estudo de calibração foi executado com dois objetivos em
mente: (1) obter um modelo capaz de realizar previsão de afluência aos principais reservatórios do
estado com base em previsão climática; e (2) desenvolver estudo de regionalização dos parâmetros
do modelo, a partir de regressão hidrológica, de modo que se possa fazer previsão em locais onde
não há disponibilidade de dados fluviométricos. A primeira função objetivo avaliada (FO1) buscou maximizar a eficiência definida por Nash e Sutcliffe (1970), formulada através da seguinte expressão: n 1 2 obsobs n 1 2 simobs QQ QQ -1max FO1 (1)em que é o conjunto de parâmetros do modelo, Qobs é a série de vazões observadas, Qsim a série
de vazões simuladas, n o comprimento da série em meses e obsQ é a média mensal das vazões
observadas. De certa forma, a FO1 é a famosa função objetivo baseada no somatório dos quadrados
dos resíduos, porém neste caso, a função é escalonada pela variância da série observada.
XVII Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 4 Uma outra forma de avaliar a proximidade das vazões simuladas e observadas está relacionada com o volume total escoado anualmente. A FO2 procura medir a aderência dos volumes anuais simulados aos observados através do somatório dos quadrados dos resíduos, e como no caso da FO1, procurou-se expressar esta medida de forma padronizada, utilizando para isto a mesma idéia de eficiência sugerida por Nash e Sutcliffe (1970). Deste modo, a FO2 é obtida pela seguinte expressão: n 1 2 obs obs n 1 2 simobs VV VV -1maxFO2 (2)em que Vobs é a série de volumes anuais observados, Vsim a série de volumes anuais simuladas, n
o comprimento da série em anos e obsV é o volume médio anual observado. A terceira função objetivo (FO3) baseia-se nos desvios entre a curva de permanência observada e a curva de permanência modelada. Focou-se nos desvios dos percentis de 5 a 95%, com espaçamento de 5%, mais o percentil de 99%. A FO3 procura contornar a maior influência dasvazões extremas no resultado da calibração, imposta claramente na FO1. Mais uma vez, a função
objetivo é medida em termos de eficiência de forma a padronizar a comparação dos resultados. A
FO3 é expressa através da seguinte expressão: n 1 2 Pe obs Pe obs n 1 2 Pe sim Pe obs QQ QQ -1maxFO3 (3) em que Pe obs Q é a vazão observada com probabilidade de não-excedência de Pe%, Pe simQ é a vazão
simulada com probabilidade de não-excedência de Pe%, n é o número de pontos da curva de permanência que foram utilizados para o ajuste, n = 20, e Pe obsQ é a média das vazões observadas
associadas aos percentis utilizados na comparação.A quarta e última função objetivo adotada neste trabalho procurou minimizar as distâncias
entre as vazões máximas observadas e simuladas em cada ano. Mais uma vez utilizou-se umaexpressão similar àquela proposta por Nash e Sutcliffe, onde o somatório dos quadrados dos desvios
entre as vazões máximas observadas e calibradas é escalonado pela variância dos picos dos
hidrogramas anuais observados. A FO4 é calculada pela expressão apresentada abaixo, n 1 2 obs max obs max n 1 2 sim max obs max qq qq -1maxFO4 (4) XVII Simpósio Brasileiro de Recursos Hídricos 5 em quequotesdbs_dbs5.pdfusesText_10