Fonctions logarithme et exponentielle

Activité 1 : La gamme tempérée .................................................................... 2

Activité 2 : 10

x et log x ................................................................................... 3

Activité 3 : propriétés de calculs ................................................................. 5

Activité 4 : Datation carbone 14 ................................................................... 6

Activité 5 : Concert .......................................................................................... 8

Activité 5 ANNEXE ........................................................................................ 10

Cours .................................................................................................................. 11

Exercices .......................................................................................................... 13

Feuille de route ............................................................................................... 16

Analyse et algèbre : fonction log et exp

Activité 1 : La gamme tempérée

Objectif :Découvrir la fonction exponentielle de base q. Situation : Un son pur est une onde vibratoire définie par une amplitude et une fréquence. En musique, une octave est l'intervalle séparant deux sons dont la fréquence de l'un est le double de la fréquence de l'autre. Dans une gamme appelée " gamme tempérée », l'octave est divisée en douze demi-tons égaux. C'est la gamme chromatique des touches blanches et noires du piano. Comment peut-on connaître la fréquence d'une note de musique ?

I. Etude de la fonction

P déterminer la fréquence des octaves, il faut multiplier une fréquence de base par une puissance de 2. Ici, la note de référence sera le La 0 de fréquence 55 Hz. On se propose d'étudier la fonction qui a la note x associe la fréquence f(x) telle que �� =55×2

1. Remplir le tableau de valeur suivant :

x 0 1 2 3 4 5 6 f(x)

2. Afficher la courbe représentative de f sur la calculatrice.

3. Cette courbe correspond-elle à une parabole ? Justifier

4. En réalité, une gamme est composée de 12 demi-tons d'intervalles égaux.

Chaque note d'une gamme a une fréquence qui lui est propre. A l'aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant : note La 0 La# 0 Si 0 Do 0 Do# 0 Ré 0

Ré#

0 Mi 0 Fa 0 Fa# 0 Sol 0 Sol# 0 La 1 x 0 1/12 2/12 3/12 4/12 5/12 6/12 7/12 8/12 9/12 10/12 11/12 1 f(x) 55 110

II. Réponse à la problématique

En vous aidant de la situation et du tableau précédent, calculer la fréquence du Do 3

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Activité 2 : 10

x et log x Objectif : Connaître les représentations graphiques des fonctions exp et log de base 10.

1. A la calculatrice, remplir les tableaux de valeurs suivants :

x -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 10 x log x

2. Que remarque-t-on immédiatement comme propriété ?

3. Quel est l'ensemble de définition de chacune des fonctions ?

1. Faire afficher les représentations graphiques des deux fonctions à la

calculatrice.

Xmin : -5 Ymin : -5

Xmax : 5 Ymax : 5

2. Faire afficher sur le graphique la droite d'équation y=x.

Que peut-on dire de ces deux représentations par rapport à cette droite ?

3. On dit de ces deux fonctions qu'elles sont réciproques. Entourer les

propositions exactes.

Si ��=log(��) alors ��=10

Si ��=log(��) alors ��=log(��)

Si ��=10

alors ��=10

Si ��=10

alors ��=log(��) loglogx()() =x 10 log(x) =x log10 x =x 10 10 x =x

Analyse et algèbre : fonction log et exp

4. Relier chaque équation à sa solution.

Exemples : log��=1→��=10

→��=10 10 =1→��=log1→��=0 log x = -1 x = log 0,5 x = 3,16 10 x = 1,2 x =10 0,5 x = 0,1 log x = 0,5 x = log 1,2 x = 15,8 10 x = 0,5 x = 10 -1 x = 0,08 log x = 1,2 x = 10 1,2 x = -0,3

5. Résoudre les équations suivantes :

log��=3,2 log��=7 log��=-5

10 =58 10 =5,6 10 =-15

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Activité 3 : propriétés de calculs

Objectif : Connaître les propriétés de calculs des fonctions exp et log.

1. A l'aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant :

a b 10 a

×10

b 10 (a+b) (10 a b 10 (a×b) 10 a /10 b 10 (a-b)

1,5 0,5

2 3

2. En déduire les propriétés de la fonction exponentielle.

3. A l'aide de la calculatrice, remplir le tableau suivant :

a b log(a×b) log(a)+log(b) log(a b ) b×log(a) log(a/b) log(a)-log(b) 2 3

1,5 0,5

4. En déduire les propriétés de la fonction logarithme.

5. En utilisant ces propriétés, simplifier ces calculs SANS calculatrice.

log2+log5 10

×10

log30-log3 10 10

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Activité 4 : Datation carbone 14

Objectif : Résoudre une équation exponentielle de base q.

Situation : : La datation

au carbone 14 est une méthode de datation radiométrique basée sur la mesure de l'activité radiologique du carbone 14 contenu dans la matière organique dont on souhaite connaître l'âge absolu,

à savoir le temps écoulé depuis

sa mort.

La demi-vie d'un

échantillon de carbone 14 est le

temps pour que la moitié de cet

échantillon se désintègre. Pour

le carbone 14, cette demi-vie est estimée à 5568 ans. En mesurant l'activité radioactive d'un échantillon, on est donc capable d'estimer l'âge de cet échantillon (cf graphique ci-contre). Comment déterminer l'âge de tissus organiques trouvés lors de fouilles archéologiques ayant une activité de 2,5 ?

1. On considère que l'activité du carbone 14 d'un tissu organique vivant est de

13,6 désintégration par minute et par gramme de carbone.

2. Quelle sera l'activité de ce tissu au bout d'une période, c'est-à-dire une

demi-vie du carbone 14 (5568 ans).

3. On considère la fonction ��

=13,6×0,5 . Compléter le tableau de valeurs suivant : x 0 1 2 3 4 5 6 f(x) 13,6

4. Afficher la représentation graphique à la calculatrice, en prenant soin de

la fenétrer correctement.

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5. Dresser les tableaux de variations et de signes de cette fonction :

Tableau de variations : Tableau de signe : x -∞ ∞ x -∞ ∞ f(x) f(x)

6. Approche graphique :

a. Sur le graphique, en ajoutant la droite y=2,5 et avec la touche G-

SOLV et ISCT, résoudre f(x)=2,5

b. Répondre à la problématique

7. Approche calculatoire :

a. résoudre par le calcul l'équation

13,6×0,5

=2,5 b. Répondre à la problématique.

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q x = k logq x =logk x´logq=logk x= logk logq

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Activité 5 : Concert

Objectif : Utiliser une échelle semi-

logarithmique.

Situation : Un groupe de rock prépare son

prochain concert. En France, le niveau sonore maximal autorisé est de 105 dB. Cependant, le groupe ne connaît pas le niveau sonore mais l'intensité acoustique totale de leurs instruments qui est de 0,1 Watt/m 2 Le niveau sonore L d'un son est donné en fonction de l'intensité acoustique I par la relation : où I 0 est le seuil d'audition de l'oreille humaine (I 0 = 10 -12 W/m 2 Le groupe est-il en accord avec la législation ?

1. Calculer la valeur L en dB pour I = 10

-5 W/m 2 puis pour I = 10 -7 W/m 2

Soit la fonction g définie par : avec et I

0 = 10 -12

2. Compléter le tableau suivant :

I 10 -12 10 -11 10 -10 10 -9 10 -8 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 10 -2 10 -1 1

L=10log

I I 0 ae g(x)=10logx x= I I 0 x= I I 0 g(x)=10logx

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3. On veut tracer la courbe représentative de g(x).

Si on choisissait comme échelle pour l'axe des abscisses 1 cm pour 10 unités, quelle serait la longueur en cm de l'axe des abscisses ? Est-ce possible d'utiliser cette échelle ?

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