351s - ChingAtome
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Corrig e du Contr^ole Continu n 2 - Accueil
Un emprunt indivis amortissable par 10 annuit es constantes est tel que le premier amortissement est egal 79504,60⁄ alors que le troisi eme s’ el eve a 87653,8215⁄(valeur th eorique) 1 Calculer le taux d’int er^et Rappelons que les annuit es etant constantes les amortissements v eri ent : m k+1 = (1 + ˝)m k ou ˝est le taux de l
UNIL - Facult´e des g´eosciences et de l’environnement
Exercices corrig´es, s´erie 2 25 septembre 2009 Les calculs de cette feuille peuvent se faire a` la machine 1 a) D´efinir les notions de suite g´eom´etrique et de suite arithm´etique b) Quelle est la diff´erence entre une suite et une s´erie ? Solution : (a) Une suite est arithm´etique si sa variation est constante
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UNIL - Facult´e des g´eosciences et de l"environnement - Automne 2009
Cours de Math´ematiques IM. Troyanov
Exercices corrig´es, s´erie 225 septembre 2009 Les calculs de cette feuille peuvent se faire `a la machine 1. a) D´efinir les notions de suite g´eom´etrique et de suite arithm´etique ! b) Quelle est la diff´erence entre une suite et une s´erie ?Solution :(a) Une suite estarithm´etiquesi sa variation est constante. Une suite arithm´etique est toujours
de la formexn=a·n+b(o`uaest la variation etb=x0est le premier terme).Une suite estg´eom´etriquesi sa variation est proportionnelle `a elle mˆeme : Δxn=a·xn. Une telle suite
est toujours de la formexn=c·qn, o`uq= (a+ 1) etc=x0est le premier terme).(b) Unes´erieest une suite de nombres obtenue en sommant une suite donn´ee. On dit que{sn}est la
s´erie associ´ee`a la suite{xn}sisn=?nk=0xk=x0+x1+···+xn.La formule de sommation dit que toute suite co¨ıncide avec las´erie associ´ee `a sa variation (`a une constante
pr`es). 2. Que vaut la somme desxk= 11 + 3·k, pourkvariant de 0 `a 200 ? 200X k=0(11 + 3·k) = 11 + 14 + 17 + 20 +···+ 611 = ? Solution :D"apr`es l"exercice 1.7, on a?nk=0(a·k+b) =a·Tn+b(n+ 1) o`uTnest len`eme nombre triangulaire,Tn=1
2n(n+ 1). On a donc
200k=0(11 + 3·k) = 3·T200+ 11·201 =3
2·200·201 + 11·201 = 62511
3. a) On investit 9000 Kychypus `a un taux de 4%. Quelle est notrefortune au bout de 21 ans ? b) Mˆeme question en supposant qu"on ajoute une annuit´e de 1000 Kychypus ?Solution :(a) Au bout de 21 ans, le capital est de 9000·(1+4%)21= 9000·(1.04)21= 20508.9 Kychypus.
(b) En ajoutant un investissement annuel deD= 1000 Kychypus (d`es la seconde ann´ee), on obtient un
capital de C n=C0·qn+D·qn-1 q-1 apr`esnann´ees o`uq= (1 + 4%) (voir le cours). Donc C21= 9000·(1.04)21+ 1000·(1.04)21-1
0.04= 52?478.10.
4.Une l´egende affirme que le jeu d"´echecs a ´et´e invent´e par un savant indien Sissa ben Daher. Quand l"empereur
Sheram apprit que l"inventeur ´etait l"un de ses sujets, il le fit mander au palais. - Sois remerci´e pour ce jeu qui
´egaie le soir de ma vie. Quelle r´ecompense souhaites-tu ?Sissa r´eponditque me soit remis un grain de riz pour la premi`ere case de l"´echiquier, puis 2 grains de riz pour
la 2`eme case puis 4 pour la 3`eme 8 pour la 4`eme , 16 pour la 5`eme et ainsi de suite jusqu"`a la 64`eme case en
doublant le nombre de grains `a chaque fois. On connaˆıt la suite : le royaume ne contient pas assez de riz pour exaucer le voeu de Sissa.En supposant qu"un grain de riz p`ese en moyenne 0.03 grammes, d´eterminer le nombre d"ann´ees de production
mondiale (actuelle) n´ecessaires pour r´eunir les grains de riz demand´es par Sissa `a l"empereur.
Solution :Le nombre total de grains de riz que Sissa demande comme r´ecompense est1 + 2 + 4 + 16 + 32 + 64 +···+ 263= 264-1 = 18446744073709551615
on approximera ce nombre par 1.845×1019.Cela fait une masse totale de 0.03·1.845×1019= 5.535×1017grammes, c"est `a dire 5.535×1011tonnes
de riz (car une tonne = 1000 kg = 106grammes).
Pour r´esoudre notre probl`eme, il faut connaˆıtre la production mondiale annuelle de riz. Faisons confiance
`a wikip´edia qui affirme que "en 2008, la production mondialede riz s"est ´elev´ee `a 661 millions de tonnes",
soit 6.61×108tonnes de riz. Le cadeau de Sissa correspond donc `a5.535×1011
6.61×108= 837.37 ann´ees.
C"est plus de 837 ans de production mondiale actuelle ! 5.a) Une tonne de boue est constitu´ee de 60% d"eau. Apr`es quelques jours de soleil bien chaud, cette boue devient
de la terre ne contenant plus que 20% d"eau. Quelle en est le poids total ?Solution :La r´eponse est 500 kg.
Notre tonne de boue est constitu´ee de 600 kg d"eau et 400 kg deterre "s`eche". Apr`es ensoleillement, nous
avons une terre humide contenant 20% d"eau et toujours 400 kgde terre s`eche. Cette terre repr´esente
donc 80% du nouveau m´elange, qui p`ese donc au total 40080%=4000.8= 500 kg.
b) Dans le mˆeme esprit, on admet que les concombres sont compos´es `a 99% d"eau. On laisse reposer une tonne de
concombres pendant une nuit. Quel est le poids des concombres le lendemain matin sachant qu"ils ne contiennent
plus que 98% d"eau. Solution :La r´eponse est de nouveau 500 kg et le raisonnement est le mˆemeNos concombres sont constitu´es de 990 kg d"eau et 10 kg de mati`ere s`eche. Le lendemain, nous avons des
concombres contenant 98% d"eau et toujours 10 kg de mati`eres`eche. Cette mati`ere s`eche repr´esente donc
2% du poids total qui est donc ´egal `a
102%=100.02= 500 kg.
6.D´evelopper les expressions suivantes :
(a) (a+b)8, (b) (a-b)8, (c) (3a-b)5, (d) (x2+ 2y)3. Pour ce probl`eme, on utilise laformule du binˆome de Newton, qui dit que (a+b)n=nXk=0C les coefficientsCknse lisent sur le triangle de Pascal. Par exemple (a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4.Solution :On trouve
(a) (a+b)8=a8+ 8a7b+ 28a6b2+ 56a5b3+ 70a4b4+ 56a3b5+ 28a2b6+ 8ab7+b8, (b) (a-b)8=a8-8a7b+ 28a6b2-56a5b3+ 70a4b4-56a3b5+ 28a2b6-8ab7+b8, (c) (3a-b)5= 243a5-405a4b+ 270a3b2-90a2b3+ 15ab4-b5, (d) (x2+ 2y)3=x6+ 6x4y+ 12x2y2+ 8y3. 7.La fa¸con la plus rapide de calculerCknn"est en g´en´eral pas d"utiliser la formuleCkn=n!k!·(n-k)!ni d"utiliser le
triangle de Pascal. Il vaut mieux utiliser la formule C kn=n·(n-1)·(n-2)···(n-k+ 1) k! 2Expliquer pourquoi cette formule est vraie et pourquoi ellepeut ˆetre int´eressante dans les calculs.
Utiliser cette formule pour calculerC321.
Solution :Il suffit de relire le cours. Nous avons expliqu´e la formuleCkn=n!k!·(n-k)!en partant du
constat queCkn=Akn k!et en rappelant queAkn=n!(n-k)!. Mais on avait d"abord montr´e queAkn= n·(n-1)·(n-2)···(n-k+ 1). Donc C kn=Akn k!=n·(n-1)·(n-2)···(n-k+ 1)k!.