Feuille d’exercices : Dénombrement PROF: ATMANI NAJIB
On sait qu’il y a en tout n+m k possibilités • 2e façon On procède par disjonctions de cas Pour j2~0;k fixé, le nombre de tirages de kboules formés de jboules rouges et k jblanches est de k m kj n Le nombre total de tirages de kboules est donc Pk j=0 k m kj n On en déduit que n+m k = Pk j=0 k m kj n 2 On applique la formule
1 TD01- ENSEMBLES ET DENOMBREMENTS
A la suite de tests statistiques, on sait que : • la probabilité que a fonctionne est égale à 0,7 • la probabilité que a et b soient en panne est égale à 0,2 M1202-Probabilités et simulations 1 2019-2020
Terminale – spécialité mathématiques
1) Quel est l’ensemble de définition de f ? 2) Déterminer les limites de f en − et en + Interpréter graphiquement les résultats trouvés 3) On désigne par f′ la fonction dérivée de f a) Montrer que pour tout réel x, f′(x) = exg(x) ( )xe x+1 2 b) En déduire le sens de variation de f et dresser son tableau de variations
Arithmétique CE1 Fiches d’aide à la préparation
sait plus quel est le nombre qui suit Aidez-le à retrouver ce nombre Émettent des hypothèses 91-99-80-100 Analyse / Échanges/Production Consigne1 : Posez 9 dizaines et 9 unités de bâtonnets Ajoutez 1 unité Dis combien de bâtonnets il y a en tout puis comparez vos résultats Consigne 2: dispose 100 bâtonnets
S1 Autour de la NUMERATION DECIMALE - PARI Maths
Voici ce qu'on sait de lui : - son chiffre des unités est égal à 5 - il a 431 centaines - son chiffre des dizaines est égal à 2 Quel peut être ce nombre ? B On recherche un deuxième nombre Voici ce qu'on sait de lui : - il est compris entre 15 000 et 16 000 - tous ses chiffres sont différents
Guide pour remplir un GEVA-Sco - WordPresscom
Il sait décoder et comprendre les grandes lignes d'un texte court Il maîtrise l'addition, moyennement la soustraction mais pas encore la multiplication Il résout des problèmes de type CP / Ce1 Il sait identifier un verbe et un nom mais pas encore conjuguer * F est un élève de GS
UNITÉ 1 : Les nombres de 0 à 10 - La Librairie des Ecoles
« Mon enfant sait compter » en pensant qu’il s’agit de quelque chose de simple Mais compter, c’est bien plus qu’énoncer la suite des mots-nombres, connaître leur ordre et savoir les écrire Cela implique des interactions entre de nombreux concepts et compétences Compter par cœur Beaucoup d’élèves qui entrent
MAIZIA Abdelkader
symptômes, quel est le nombre d’étudiants dans ce groupe ?? 38 Applications En posant : A = { x, x fait une grippe } Et B = { x, x est hyper tendu },
Musique d’entree Lucinda Entrance music Lucinda People get
Bien-aimés, voyez quel grand amour nous a donné le Père pour que nous soyons appelés enfants de Dieu – et nous le sommes Voici pourquoi le monde ne nous connaît pas : c’est qu’il n’a pas connu Dieu Bien-aimés, dès maintenant, nous sommes enfants de Dieu, mais ce que nous serons n’a pas encore été manifesté
Seconde : Exercice du chapitre 6, stabilité des entités chimiques
12/04/2020 10:04:00 Protectorat Saint-Joseph Aulnay Sous-Bois Seconde : Exercice du chapitre 6, stabilité des entités chimiques Exercice 1
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Feuilled"exercices:DénombrementUnpeudedénombrementpurExercice1-Alacantinedulycée,ilyalechoixentre3entrées,2platset4desserts.Combiendemenus(secomposantd'uneentrée,d'unplatetd'undessert)sontpossibles.Exercice2-Onconsidèrel'ensembleE=fa;b;c;dg.Ecrire:1.Lescombinaisonsde3élémentsdeE.2.Lesarrangementsde3élémentsdeE.3.Lestrois-listesd'éléméntsdeE(onpourranepastouslesécrire).Exercice3-Uneanagrammeestunmot(ayantounonunsens)forméenchangeantdeplaceleslettresd'unautremot.Combiend'anagrammespeut-onformeràpartirdesprénoms:NICOLAS,SOLENE,CLEMENCE?Exercice4-Oneffectuecinqtiragesd'uneboule,successivementetavecremise,dansuneurnecontenantneufboulesnumérotéesde1à9.1.Combieny-a-t-ildetiragespossibles?2.Dénombrerl'ensembledestiragescontenant:a)(Exactement)deuxfoislaboule2.b)Aumoinsunefoislaboule9.c)Troisfoislaboule3etunefoislaboule1.3.a)Quelestlenombredetiragestelsqueladeuxièmebouletiréeestlaboule1?b)Quelestlenombredetiragestelsquelaboule1aitététiréeunedeuxièmefoisenpositiontrois?Exercice5-Dansunebibliothèque,vingtlivressontexposéssuruneétagèrerectiligneetrépartisauhasard.Parmicesvingtlivres,quatresontdumêmeauteurA,lesautresétantd'auteurstousdifférents.DéterminerlenombredefaçonderangercesvingtslivrespourquelesquatrelivresdeAseretrouventcôteàcôte.Exercice 6Identité de Vandermonde.-Une urne contientmboules rouges etnboules blanches.1.En calculant de deux manières différentes le nombre de tirages dekboules de l'urne, montrer quekPj=0mjnkj=n+mk.2.En déduirenPk=0nk2.Exercice 7 -Le directeur d'un zoo dispose dencages pour y enfermer les animaux malades. Par mesure d'hygiène ilchoisit de mettre au plus un animal par cage et de ne jamais remplir deux cages voisines. On s'intéresse au nombreundemanières différentes de placer des animaux dans cesncages en suivant cette règle.1.Montrer que pour toutn2N; un+2=un+1+un.2.Exprimerunen fonction den. (On conviendra queu0= 1).Dénombrement en probabilitéExercice 8 -Une urne contient neuf boules distinctes : deux vertes, trois blanches et quatre rouges. On tire au hasard,successivement et sans remise quatre boules de l'urne.1.Préciser l'univers associé à cette expérience, ainsi que son cardinal.2.Quelleestlaprobabilitéd'obtenir:a)Au moins une boule verte?b)Uniquement des boules d'une même couleur?c)Deux boules vertes, une rouge et une blanche sachant que l'on a tiré au moins une boule verte?3.Reprendre les questions 1 et 2 lorsque le tirage est simultané, puis lorsque les tirages sont successifs et avec remise.Exercice 9 -Un joueur de poker reçoit une " main » de cinq cartes choisies au hasard dans un jeu de 32 cartes.1.Préciser l'univers associé à cette expérience ainsi que son cardinal.2.Quelle est la probabilité d'obtenir :a)Un carré?b)Un full?c)Un brelan (fulls exclus)?d)Seulement une paire (et trois autres cartes de hauteurs différentes et différentes entre elles)?e)Exactement deux paires?Pour les non initiés :dans un jeu de 32 cartes, il y a huit " hauteurs » qui sont 7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As, de quatre" couleurs » qui sont Pique, Coeur, Carreau et Trèe.Un carré = quatre cartes de même hauteurUne paire = deux cartes de même hauteur (et pas trois)Un brelan = trois cartes de même hauteur (et pas quatre) Un full = un brelan et une paireExercice 10 -On considère une classe deNélèves. On suppose qu'aucun élève n'est né un 29 février et que, pour chaqueélève, tous les autres jours de l'année ont la même probabilité d'être le jour de son anniversaire. Quelle est la probabilitéqu'au moins deux élèves soient nés le même jour?Exercice 11 -Dans une urne se trouventnboules rouges etnboules blanches. On tire deux par deux, sans remise, lesboules jusqu'à vider l'urne. Quelle est la probabilité que l'on tire deux boules de chaque couleur à chaque tirage?1PROF: ATMANI NAJIB
Dénombrement-CorrigédequelquesexercicesExercice 6 -1.On compte de deux façons différentes le nombre de tirages dekboules :•1refaçon.On tire simultanémentkboules dans une urne contenantn+mboules. On sait qu"il y a entoutn+mkpossibilités.•2efaçon.On procède par disjonctions de cas. Pourj2~0;kfixé, le nombre de tirages dekboules formésdejboules rouges etkjblanches est dekmkjn.Le nombre total de tirages dekboules est donckPj=0kmkjn.On en déduit quen+mk=kPj=0kmkjn.2.On applique la formule dans le cask=m=n. Cela donne2nn=nPj=0njnnj=nPj=0njnj=nPj=0nj2.Exercice 7 -1.Soitn2N. Pour placer les animaux dansn+2cases, procédons à une disjonction de cassuivant la composition de la première cage :•1repossibilité : la première case est vide.Dans ce cas il y aun+1façons de placer les animaux dans lesn+1cages restantes.•2epossibilité : la première case est pleine.Dans ce cas la deuxième cage est vide selon le protocole. Pourremplir lencages suivantes, il y a doncunpossibilités.On en déduit queun+2=un+1+un.2.La suite(un)n2Nest récurrente linéaire d"ordre 2. L"équation caractéristique associée s"écritx2x1 = 0.Elle est de discriminant 5>0 donc admet deux racines réellesr1=1p52etr2=1+p52.Il existe donc;2Rtels que :8n2N; un=rn1+rn2.Pourn= 0 on au0= 1 (par convention). Pourn= 1 on au1= 2 (la cage peut être vide ou pleine).On obtient(+= 1r1+r2= 2et donc(+= 1(r2r1) = 2r1.Tous calculs faits, on obtient=3+p52p5et=3+p52p5.Exercice 11 -Pour touti2~1;n, on noteEi:" On obtient deux boules de couleurs différentes auietirage ».OncherchedoncP(nTi=1Ei).ParlaformuledesprobabilitéstotalesonaP(nTi=1Ei) =P(E1)PE1(E2)PE1\E2\\En1(En).Au 1ertirage, on est en situation d"équiprobabilité et il y a2n2tirages possibles donc,P(E1) =Card(E1)2n2=n22n2De même, pouri2~1;n1, au tiragei+1, on aPE1\\Ei(Ei+1) =(ni)22(ni)2.AinsiP(n\i=1Ei) =n22n2(n1)22(n1)21 =2n22n(2n1)2(n1)2(2n2)(2n3)1 =2n(n(n1):::1)22n(2n1)1=2n(n!)2(2n)!:PROF: ATMANI NAJIB
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