Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Corrigé du D M nº7: Loi binomiale 1ère S1 Exercice 1 Une urne contient cinq boules numérotées de 1 à 5 On tire au hasard, successivement et avec remise 10 boules dans l'urne On appelle succès, lors d'un tirage, l'apparition de la boule numérotée 1 1) Échauffement : On simule cette expérience avec le programme ci-

Casio Graph 35 + Fiche sur la loi binomiale

Il s’agit de la fonction de répartition d’une variable qui suit la loi binomiale Calcul de P(X 3) On utilise l’événement contraire P P P X 3 1– X 3 1– X 2 On fait : 1 – binomcdf (4,0 1,2) (résultat : 0,0037) Casio graph 35 + Touche OPTN , puis choisir STAT, puis DIST, puis BINM

Indépendance en probabilité Loi de Bernoulli Loi Binomiale

Loi Binomiale 3 On considère l'épreuve de Bernoulli pour un stylo: S: le stylo présente un défaut: P(S)=0,022 S: le stylo ne présente pas de défaut: P(S)=0,978 On considère le schéma de Bernoulli de 8 épreuves de paramètre 0,022 La loi de probabilité de la variable aléatoire Y égale au nombre de succès en 8 épreuves est la loi

Probabilités Loi binomiale CASIO Graph 35+

Probabilités Loi binomiale CASIO Graph 35+? Un élève répond au hasard aux dix questions d’un QCM Pour chaque question quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte On note N le nombre de réponses exactes 1°) Déterminer l’arrondi à 10 −4 près de la probabilité pour que l’élève obtienne exactement 5 bonnes

Programme de mathématiques du concours Edhec AST1 1 - Notions

Loi conditionnée par un événement La notion d'espérance conditionnelle n'est pas au programme Lois usuelles : constante ou de Dirac, uniforme, de Bernoulli, binomiale, hypergéométrique, géométrique, de Poisson Valeurs de leurs espérances et de leurs variances

131 Taguchi Methods - Stanford University

STAT 263/363 Lecture 13 Feb 27 Winter 2016/17 Figure 13 6 Example taguchi design, with a 23 design for the controlled factors (left, A-C), and a 34 2 design for the uncontrolled factors (bottom, D-G)

I – COURS

Sur une TI-83, ce programme est inutile Il suffit d'utiliser les fonctions sum et cumSum pour définir les listes L3 et L4 à partir de L1 et 2: 97 ‚ 2=99 ze2£d ‚2=9 {2⁄d ‚ Lorsque l'on procède ainsi, les liste L3 et 4 sont calculées en utilisant la formule indiquée, mais le lien existant avec la liste L2 n'est pas conservé

Exercices primitives terminale es pdf

Programme TESprobexe5 - Probabilité conditionnelle - Loi binomiale - Conformité BAC 2012 TESprobexA0 Mathématiques - BAC avec programme TESprobexA1 2012 - Probabilité élémentaire En vertu du programme TESprobexA2 2012 - Conformité des arbres de probabilité 2012 Programme TESprobexA3 - Probabilité conditionnelle - Loi Bac -

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Certains passages vont au-delà des objectifs exigibles du programme de terminale S Le programme complet (B O spécial n°8 du 13/10/2011) indique clairement qu’on ne saurait se restreindre aux capacités minimales attendues Notations Une expression en italique indique une déﬁnition ou un point important Logiciels

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Mathématiques

Cours, exercices et problèmes

Terminale S

François THIRIOUX

Lycée René Perrin - Ugine - Savoie

Francois.Thirioux@ac-grenoble.fr

2013-2014

version du 22 juin 2013

PréambulePratique d"un cours polycopié

Le polycopié n"est qu"unrésumé de cours. Il ne contient pas tous les schémas, exercices

d"application, algorithmes ou compléments prodigués en classe. Il est indispensable de tenir des

notes de coursafin de le compléter.

Compléments

Certains passages vont au-delà des objectifsexigiblesdu programme de terminale S. Le programme complet (B.O. spécial n°8 du 13/10/2011) indiqueclairement qu"on ne saurait se restreindre aux capacités minimales attendues.

Notations

Une expression en italique indique une définition ou un pointimportant.

Logiciels

Une liste de logiciels libres ou de liens librement accessibles est donnée sur le blog www.ac-grenoble.fr/ugine/maths Il faudraGeogebra(géométrie, courbes),LibreOffice(tableur) etSage(programmation, calcul formel). Ce dernier tourne uniquement sous Linux mais est accessible en ligne via

Devoirs à la maison

Les exercices sont de difficulté très variable et les objectifs poursuivis sont divers : ?Peu difficile - à faire par tous pour la préparation du bac. ??Moyennement difficile - à considérer pour toute poursuite d"études scientifiques. ???Très difficile - à essayer pour toute poursuite d"études exigeante en maths. Ces étoiles sont simplement un indicateur de la difficulté globale d"un exercice : certaines questions peuvent être très simples! 1

Questions de cours

Les points suivants peuvent être abordés dans le cadre d"unerestitution organisée de connais-

sances (ROC) à l"épreuve écrite du bac. 2 - Suites- Si (un) et (vn) sont deux suites telles queun?vnà partir d"un certain rang et si limun= +∞alors limvn= +∞. 2 - Suites- Si une suite est croissante et converge vers?alors tous les termes de cette suite sont??. 2 - Suites- La suite (qn) avecq >1 tend vers +∞. 2 - Suites- Une suite croissante et non majorée tend vers +∞. 6 - Exponentielle- Unicité d"une fonctionfdérivable surRvérifiantf?=fetf(0) = 1. 6 - Exponentielle- On a limx→+∞ex= +∞et limx→-∞ex= 0. 9 - Conditionnement et indépendance- SiAetBsont deux évènements indépendants alors

AetBaussi.

10 - Intégration- Sifest une fonction continue, positive et croissante sur [a;b] alors la fonctionF:x?→? x afest une primitive def.

11 - Produit scalaire- Théorème du toit : soient deux plans sécants contenant deuxdroites

parallèles; alors la droite d"intersection des deux plans est parallèle aux deux droites. 11 - Produit scalaire- L"équationax+by+cz+d= 0 (aveca,b,cnon tous nuls) caractérise les points d"un plan. 11 - Produit scalaire- Une droite est orthogonale à toute droite d"un plan ssi elleest orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. 13 - Lois de probabilité- Une v.a.Tqui suit une loi exponentielle est sans vieillissement : P

T?t(T?t+h) = P(T?h).

13 - Lois de probabilité- L"espérance d"une v.a. suivant la loi exponentielle de paramètre

λvaut1

13 - Lois de probabilité- Pourα?]0;1[ etXune v.a. de loiN(0;1), il existe un unique réel positifuαvérifiant P(-uα?X?uα) = 1-α. 13 - Lois de probabilité- SiXnest une v.a. qui suit la loiB(n,p) alors pour toutα?]0;1[ on a lim n→+∞P?Xn n?In? = 1-αoùIn=?? p-uα? p(1-p)⎷n;p+uα? p(1-p)⎷n??

13 - Lois de probabilité- Soitpune proportion fixée; lorsquenest assez grand, l"intervalle?Xn

n-1⎷n;Xnn+1⎷n? contient la proportionpavec une probabilité d"au moins 0,95. 2 Table des matièresI Cours et exercices - Tronc commun 101 Limites11

1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .11

1.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..12

1.3 Comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..14

1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..16

2 Suites numériques18

2.1 Récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..18

2.2 Propriétés des suites réelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .19

2.3 Existence de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .20

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..23

3 Continuité27

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .27

3.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .27

3.3 Compléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..29

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..31

4 Dérivation32

4.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .32

4.2 Opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..33

4.3 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..34

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..36

5 Fonctions trigonométriques39

5.1 Cercle trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .39

5.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .39

5.3 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..41

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..43

6 Exponentielle45

6.1 Construction et propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .45

6.2 Propriétés algébriques et notation exponentielle . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .46

6.3 Propriétés analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .47

6.4 Construction de l"exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .48

6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..50

7 Nombres complexes54

7.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .54

7.2 Conjugué et module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .54

7.3 Équations du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .55

7.4 Propriétés géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .56

7.5 Exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .57

7.6 Cercles et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .59

7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..60

8 Logarithme65

8.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .65

8.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..65

8.3 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .67

8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..69

9 Conditionnement et indépendance72

9.1 Espaces probabilisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .72

9.2 Conditionnement et indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .73

9.3 Probabilités totales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .75

9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..76

10 Intégration80

10.1 Intégrale d"une fonction continue . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .80

10.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .82

10.3 Calcul d"intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .84

10.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .86

11 Produit scalaire92

11.1 Expressions du produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .92

11.2 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

11.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .95

12 Droites et plans97

12.1 Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .97

12.2 Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

12.3 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..98

12.4 Intersections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .98

12.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .99

13 Lois de probabilité101

13.1 Loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .101

13.2 Densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..103

13.3 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .104

13.4 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .105

13.5 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..105

13.6 Fluctuation et estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .108

13.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .111

II Cours et exercices - Spécialité 118

1 Divisibilité119

1.1 Divisibilité dansZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .119

1.2 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .119

1.3 Pgcd, ppcm, algorithme d"Euclide . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .120

1.4 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..121

1.5 Grands théorèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .122

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..124

2 Nombres premiers128

2.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .128

2.2 Décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .128

2.3 Petit théorème de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .129

2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..130

3 Matrices133

3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .133

3.2 Opérations algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .133

3.3 Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .134

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..136

4 Modèles matriciels139

4.1 Chiffrement de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .139

4.2 Suites récurrentes matricielles linéaires . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .139

4.3 Suites récurrentes matricielles affines . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .140

4.4 Modèle d"évolution de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .140

4.5 Marches aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .141

III Devoirs à la maison - Tronc commun 147

1 Formules trigonométriques148

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