[PDF] RECHERCHE D’EXTREMUM

42 Critical Points Local Maxima and Minima

If f has a local extremum (minimum or maximum) at x =c then cis a critical number for f So, at a local extremum: f '(c) =0 or f '(c) DNE Note If f '(c) =0 or f '(c) DNE then the function f may have or not a local extremum (minimum or maximum) at x =c F First Derivative Test Let c be a critical number of a continuous function f

RECHERCHE D’EXTREMUM

Si une fonction n’a pas de point critique sur D, alors f n’admet pas d’extremum sur D ATTENTION : la réciproque du théorème est fausse Considérons la fonction y:, 122 qui est de classe C sur 2 comme fonction polynomiale y2 2 , ce gradient s’annule uniquement en O 0 f 0,0 0 x f x x y f y y, ,0 0, , 0, 0 * 2 * 2

RECHERCHE D’EXTREMUM

de possède un extremum en a i, donc i i i ' w f a f a 0 Finalement w i 1, , 0 0i n f a f a Les points de D où le gradient s’annule sont appelés points critiques de la fonction f Toutes les dérivées directionnelles en ces points sont nulles Si une fonction n’a pas de point critique sur D, alors f n’admet pas d’extremum sur D

Extrema et convexité

0 est un point critique de fdès lors que f0(x 0) = 0 Dé nition 32 2 (Point critique) On considère x 0 2Iet f: IRdérivable en x 0 Si fadmet un extremum local en x 0, alors x 0 est un point critique de f Théorème 32 1 (Extremum et point critique) Iest un intervalle ouvert Si ce n'est pas le cas et que x 0 est une borne de I, on ne peut

EXOS 12 Fonctions de 2 variables - lewebpedagogiquecom

est un point critique de f , r =2ae En déduire que l’extremum local de g est un extremum global de g sur ]0;∞[2 12

f est continue - WordPresscom

3) Extremum Toute fonction continue sur un domaine fermé borné de R2 admet un maximum et un minimum globaux Condition nécessaire d’extremum sur un ouvert : Si la fonction f est de classe C1 sur un ouvert O et si f admet un extremum local en un point (x 0;y 0) alors nécessairement : O(f)(x;y)= 0 0 Le point (x 0;y 0) est un point critique

correction TD5-L2S3 (B) 2015-16

1/ Etude de sa dérivée première ˝′() En déduire le(s) point(s) critique(s) ˝ ( )=4−1500 : un seul point critique : =375 2/ Etude de sa dérivée seconde ˝ En déduire la nature de l'extremum ˝ ( )=4>0 donc ˝ ( )>0 : ˝ admet un minimum global en =375 qui vaut ˝(375) (10 ) =√50 0 0

Série: N5 Formules de Taylor et Extremums 2018/2019 ENSA d’Al

Série: N5 Formules de Taylor et Extremums 2018/2019 )( T, U) = C k T, U, î( T, U) o Montrer que si ( T 4, U 4) est un extrémum local de G alors

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1

A. Définitions

Soit D une partie de n . Soit :fD . Soit nA

1) Extremum global ou absolu

On dit que la fonction

f admet un maximum absolu (ou global) en A si ,M D f M f A

On dit que la fonction

f admet un minimum absolu (ou global) en A si ,M D f M f A

On dit que la fonction

f admet un extremum absolu (ou global) en A si la fonction f admet un maximum ou un minimum absolu en A

2) Extremum relatif (ou local)

On dit que la fonction

f admet un maximum relatif (ou local) en A 0r tel que ,,M B A r D f M f A

On dit que la fonction

f admet un minimum relatif (ou local) en A 0r tel que ,,M B A r D f M f A

On dit que la fonction

f admet un extremum relatif (ou local) en A si la fonction f admet un maximum ou un minimum relatif en A

Remarque :

Si la fonction

f admet un extremum global en A , alors elle admet un extremum local en A

B. Condition nécessaire du premier ordre

1) Théorème 1

Soit D un ouvert de n Soit :fD Soit nA

Si une fonction

f de classe 1C sur D admet un extremum local en A , alors 0fA

Démonstration :

Si la fonction

f admet en

1,...,nA a a

un maximum local, 0r tel que ,M B A r D f M f A Comme D est un ouvert de n '0r tel que ,'B A r D

Alors en prenant

min , 'rr , on a ,M B A f M f A

Considérons pour

1,in , la

èmei

fonction partielle en

A1 1 1: ,..., , , ,...,i i i nf x f a a x a a

Pour tout réel

>,iix a a , en considérant

1 1 1,..., , , ,...,i i nM a a x a a

,,id M A x a M B A f M f A -à-dire i i if x f a

La fonction

if >,iiaa de possède un extremum en ia , donc '0i i if a f a

Finalement

1, , 0 0ii n f A f A

2

Les points de

D f Toutes les dérivées directionnelles en ces points sont nulles D , alors f D ATTENTION : la réciproque du théorème est fausse

Considérons la fonction

22:,f x y x y

qui est de classe 1C sur 2 comme fonction polynomiale

2, , , 2 ,2x y f x y x y

0,0O

0,0 0f

* 2 * 2, ,0 0, , 0, 0x f x x y f y y

Dans toute boule de centre

0,0O , la fonction f prend des valeurs plus petites et des valeurs plus grandes que 0fO la fonction f 0,0O

ATTENTION

D ouvert de n est essentielle ! Soitquotesdbs_dbs2.pdfusesText_2