Courbure d’une courbe

d’une courbe; plus la valeur est élevée, plus la courbe est douce, tout comme le rayon est une mesure de l’adoucissement d’une courbe cir-culaire K est négatif pour les courbes saillantes et positif pour les courbes rentrantes K = L / A (2 1 23) où L = longueur horizontale de courbe verticale (m),

F411 - Courbes Paramétrées, Polaires

Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d’un arc, Courbure Déﬁnition Exemples Exemple 1 : Donner l’équation polaire du cercle de centre O et de rayon R Donner l’équation polaire de la première bissectrice Exemple 2 : Trouver l’équation polaire du cercle de rayon R passant par l’origine O, de centre = (a;b) = (Rcos( 0

Courbure d’une courbe - LMRL

V200 Courbure d'une courbe Groupe MathéTIC 1 14/12/04 Niveau : 2e B Sujets et objectifs : Courbure au point d’abscisse a du graphe d’une fonction deux fois dérivable en a Illustration de la notion de courbure à l’aide de CABRI géomètre (cf documents CABRI-géomètre II Plus Rayon de courbure 1; Rayon de courbure 2) Connaissances

Mémo Maths n°23, courbes, courbure, longueur des arcs exeos

a – calculer le rayon de courbure et la courbure de la courbe en un point d'abscisse α b – donner une équation cartésienne de la tangente à la courbe au point A d'abscisse α Exercice n°4 (vrai ou faux) : Dans une courbe paramétrée, si y'(t0)=0, alors la tangente à la courbe pour t=t 0 est horizontale

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V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC114/12/04

Niveau : 2e B

Sujets et objectifs :

Courbure au point d'abscisse a du graphe d'une fonction deux fois dérivableen a Illustration de la notion de courbure à l'aide de CABRI géomètre (cf. documents CABRI-géomètre II Plus Rayon de courbure 1;

Rayon de courbure 2)

Connaissances préliminaires Limite, dérivées première et seconde d'une fonction en un point

Equation de la tangente et de la normale en un point d'une courbeConcavité d'une courbe

1. Notion de courbure.

Imaginons une route dont le tracé aurait la forme de la courbe ci-dessus. L'automobiliste roulant sur cette route doit fortement braquer (manoeuvrer le volant) aux points A, D, E et H, alors qu'il n'aura presque pas besoin de braquer aux points B, C, F et G. On dit que la courbe possède une forte " courbure » en A, D, E et H et une faible " courbure » en B, C, F et G.

Courbure d'une courbe

Fiche du professeur

forte courbure faible courbure

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC214/12/04

Le but de ce document est d'établir une expression donnant une mesure de la courbure du graphe d'une fonction en chacun de ses points.

2. Courbure d'une droite, courbure d'un cercle.

2.1 Courbure d'une droite

En roulant sur une route dont le tracé a la forme d'une droite, on maintient le volant tout droit. Une droite " n'est pas courbe ».

Définition

La courbure d'une droite d est 0 en tous ses points.

2.2 Courbure d'un cercle

En roulant sur une route dont le tracé a la forme d'un cercle il faut garder le volant dans la même position. La courbure d'un cercle est la même en tous ses points. Plus le rayon d'un cercle est petit, plus grande est la courbure.

Définition

La courbure d'un cercle c est l'inverse de son rayon r .

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC314/12/04

3 f C. Courbure d'une courbe représentative en un de ses points.

Rappelons que si

f C est le graphe d'une fonction f dérivable en a, on définit " la pente de f C en ;Aafa » comme étant la pente de la tangente à f C en

A. Cette tangente

A t est la droite " qui approche le mieux » f

C au voisinage de

A et est définie comme position limite de la sécante AM quand M tend vers A. On procède d'une façon analogue pour définir la courbure de f

C en A.

On définit la courbure de

C en A comme étant la courbure du cercle qui

" approche le mieux » f

C au voisinage de A.

Ce cercle, noté

A c et appelé cercle osculateur de f

C en A, est défini comme

suit :

Soient

A n et M n les normales à f

C en A et en M et I leur point d'intersection.

(M est un point de f

C, en principe voisin de A).

Le centre de

A c est la position limite de I lorsque M tend vers A.

Le rayon r de

A c est la distance A.

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC414/12/04

Exercice 1

Soient f la fonction définie sur IR par

2 fxx,

1;1A et

1;1 ,0 1,Mhhoùh deux points de

f C. a) Etablir les équations explicites des normales A n et M n à f

C en A et en M.

b) Calculer les coordonnées du point d'intersection I des droites A n et M n. c) En déduire les coordonnées du centre , ainsi que le rayon du cercle osculateur de f

C en A. Quelle est la courbure de

C en A ?

d) Montrer que la courbure de f

C au point

1; 1Af vaut

32
"1 1'1f f. e) Reprendre les paragraphes a), b) et c) pour un point quelconque ;Aafa.

Montrer que la courbure de

C au point

;Aafa vaut 32
1'fa ka fa f) En déduire que la courbure de f

C est maximale à l'origine et calculer

cette courbure maximale. g) Pour quelles valeurs de a la courbure est elle inférieure à 1 4 Donner des valeurs exactes et des valeurs approchées à 0,01 près.

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC514/12/04

Réponse (exercice 1)

a) Equation réduite de la normale A n à f

C au point 1;1A :

11311'1 2 2yxfxf

Equation réduite de la normale

M n à f

C au point

1;1Mhh :

11311 2'1 2 1 2yxhfhxhhfh h

On rappelle :

Le module dp1p donne l'équation réduite d'une droite dont on connaît la pente m et les coordonnées AA xy d'un point A. 1,, AA AA ymxx y dppmxy (cf. document classe de III : " Fiche d'utilisation n°3 : Equation cartésienne d'une droite ».) b) Coordonnées de I, point d'intersection des droites A n et M n: AM

Ixy n n

13 1 3222 21 2yx y xhhh

2 2 200

2672322

V hhxhh y c) 2 2 00

2677lim 2 3 2 4 lim22

hh hhxhh y le rayon du cercle osculateur r vaut : 2 2

75514 1 5,622rA

la courbure k au point 1;1Avaut :

1250,1825kr

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC614/12/04

d) 3322
"1225

251211'1f

f e) Equation réduite de la normale A n à f

C au point

2 ;0Aaa aveca : 2

1111'22yxfaxafa a

Equation réduite de la normale

M n à f

C au point

2 ;Mahah : 22

112421

'22aahhyxahfahxfah ah Coordonnées de I, point d'intersection des droites et AM nn : AM

Ixy n n

22
2

11 12421

222 2aahhyxa y xaah

22
22
200

662122 32

V aahhxaaahhy

Par conséquent :

222
223
00

662161lim 2 2 3 4 lim22

hh aahh axaaahhay

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC714/12/04

Si 0a le rayon r du cercle osculateur au point

2 ;Aaa vaut : 32
2 2 14

2arAA ax fay

Si 0a la courbure k au point

2 ;Aaavaut : 3322
"12*

141'fa

krafa

Cas particulier : 0a

La normale à la parabole à l'origine a pour équation : 0x

Equation explicite de

M n : 2 200
1121
'22 V hyxhfhxfh h

Coordonnées de I :

121 210022 2hhxyx xyh

Coordonnées de :

2 0

2110lim22

h hxy

Si 0a le rayon du cercle osculateur vaut

1 2 r et la courbure vaut 2. 3322
"022 120
1'0f f La formule (*) reste valable pour calculer la courbure si 0a. f) Le maximum de 32
2

14a est atteint lorsque 0a

et il vaut 2. Au sommet de la parabole la courbure est maximale.

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC814/12/04

g) 32

21 3 3

422
14aa a

La courbure est inférieure à

4 ssi 33

22aa

Représentation graphique des fonctions

32
2 14x x et 1 4x (xmin = -5 ; xmax = 5 ; xscl = 1 ; ymin = - 0,5 ; ymax = 2,5 ; yscl = 0,5)

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC914/12/04

Définition

Soit f une fonction définie et deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I.

On appelle courbure (algébrique) du graphe

C au point ,()

Axfx C, xI,

le nombre 32
1'fx kx fx

Exercice 2

On considère la fonction f définie par

1() 64

fxxx. a) Calculer la courbure du graphe f

C au point d'abscisse x.

b) Pour quelles valeurs de x la courbure est-elle strictement positive ? strictement négative ? nulle ? c) Interpréter géométriquement le signe de la courbure.

Réponse (exercice 2)

a) 32

1() 64

fxxx

Courbure du graphe de f au point d'abscisse x:

332432

"962

9 72 144 16

1'fx x

kx xx x fx

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC1014/12/04

b) Signe de la courbure en fonction de x : x2 kx 0+ c) Interprétation géométrique du signe de la courbure (Voir document CABRI-géomètre II Plus Rayon de courbure2.fig) Si 2x la courbure est négative. Quand on roule avec une voiture sur une route qui suit le tracé de la courbe d'équation 32

164yxx, il faut braquer dans le

sens mathématique négatif aux points où l'abscisse est strictement inférieure à 2. () 0 "() 0 f kx f x C tourne sa concavité vers le bas au point d'abscisse x. (en allemand : Rechtskrümmung) Si 2x la courbure est positive. Quand on roule avec une voiture sur une route qui suit le tracé de la courbe d'équation 32

164yxx, il faut braquer dans le

sens mathématique positif aux points où l'abscisse est strictement supérieure à 2. () 0 "() 0 f kx f x C tourne sa concavité vers le haut au point d'abscisse x. (en allemand : Linkskrümmung)

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC1114/12/04

Exercice 3 (facultatif - donné à titre de curiosité !)

Cas général

Soit f une fonction deux fois dérivable définie sur un intervalle ouvert de centre 0 x telle que 0 "0fx. Montrez que le rayon de courbure de f

C au point

A;xfx vaut

32
0 0 1' "fx rfx et la courbure 0 32
0 1'fx k fx

La courbure algébrique de

C au point

A;xfx est donnée par la formule :

0 3 02 0 1'fx kx fx

Remarque :

D'après les formules ci-dessus, on remarque que la courbure est définie en chaque point de f C où f est deux fois dérivable, tandis que le rayon de courbure n'existe pas si 0 "0fx.

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC1214/12/04

Réponse:

Soit 00

A;xfx et

M;xhfx h deux points de

f C.

Equation réduite de la normale

A n à f

C au point

A;xfx :

00 0 1 'yxxfxfx

Equation réduite de la normale

M n à f

C au point

M;xhfx h :

00 0 1 'yxxhfxhfx h

Coordonnées de ;

Ixy n n en fonction de 0h:

Pour les calculs avec la V200, posez

00 0 0

'1et' 1fxfx fxhfxh et n'oubliez pas d'effacer les variables 0 ,1,,, etffxyx h ! AM

Ixy n n

00 0 0

00 11 ''yxxfxy xxhfxhfx fx h

00 0 0000

00 ''fxfxhfxhfx xhxfxhxfx fx h

00 0 0

00 ''fxfx fxhfxhhyfx fx h

Par conséquent :

2 2

00 0 0000

quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28

[PDF] Courbure d’une courbe - LMRL

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC114/12/04

Niveau : 2e B

Sujets et objectifs :

Rayon de courbure 2)

1. Notion de courbure.

Courbure d'une courbe

Fiche du professeur

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC214/12/04

2. Courbure d'une droite, courbure d'un cercle.

2.1 Courbure d'une droite

Définition

2.2 Courbure d'un cercle

Définition

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC314/12/04

Rappelons que si

A. Cette tangente

C au voisinage de

C en A.

On définit la courbure de

C en A comme étant la courbure du cercle qui

C au voisinage de A.

Ce cercle, noté

C en A, est défini comme

Soient

C en A et en M et I leur point d'intersection.

C, en principe voisin de A).

Le centre de

Le rayon r de

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC414/12/04

Exercice 1

Soient f la fonction définie sur IR par

1;1A et

1;1 ,0 1,Mhhoùh deux points de

C en A et en M.

C en A. Quelle est la courbure de

C en A ?

C au point

1; 1Af vaut

Montrer que la courbure de

C au point

C est maximale à l'origine et calculer

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC514/12/04

Réponse (exercice 1)

C au point 1;1A :

11311'1 2 2yxfxf

Equation réduite de la normale

C au point

1;1Mhh :

11311 2'1 2 1 2yxhfhxhhfh h

On rappelle :

Ixy n n

13 1 3222 21 2yx y xhhh

2672322

2677lim 2 3 2 4 lim22

75514 1 5,622rA

1250,1825kr

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC614/12/04

251211'1f

C au point

1111'22yxfaxafa a

Equation réduite de la normale

C au point

112421

Ixy n n

11 12421

222 2aahhyxa y xaah

662122 32

Par conséquent :

662161lim 2 2 3 4 lim22

V200 Courbure d'une courbe

Groupe MathéTIC714/12/04

Si 0a le rayon r du cercle osculateur au point

2arAA ax fay