Introduction a la relativit´e g´en´erale

GR"CO, Institut d’Astrophysique de Paris, UMR 7095 du CNRS, Universit e Pierre & Marie Curie, 98bis boulevard Arago, 75014 Paris, France (Dated: September 17, 2009) Abstract Le plan de ce cours d’introduction a la th eorie de la relativit e g en erale est: 1 INTRODUCTION 2 PRINCIPE DE RELATIVITE 3 RELATIVITE RESTREINTE 4 PRINCIPE D

Enseignement de relativité restreinte

Transformations de Lorentz L'espace de la relativité 4 dimensions produit scalaire norme La norme n'est pas définie positive: région de norme >0 région de norme

Introduction `a la relativit´e restreinte et g´en´erale Cours

L’objectif de ce cours introductif est de mettre en relief les id´ees principales de la th´eorie de la relativit´e d’Einstein, et de donner un bagage math´ematique minimal permettant `a l’´etudiant int´eress´e d’aller plus loin L’approche utilis´ee insistera sur les exp´eriences de pens´ee fondamentales ayant conduit Einstein a

NOTES de COURS de RELATIVITE RESTREINTE

L3 et Magist ere de Physique Fondamentale 2020-2021 NOTES de COURS de RELATIVITE RESTREINTE Bibliographie sommaire Voici une courte liste de r ef erences bibliographiques (class ees par ordre d’utilit e d ecroissante pour le cours) : Introduction a la relativit e par D Langlois (Vuibert, 2011)

LA RELATIVITÉ GÉNÉRALE : UNE THÉORIE EN AVANCE SUR SON TEMPS

matique triomphe de la relativité gé - nérale : « L'atmosphère d'intense émotion, note Whitehead fut précisé - ment celle du drame grec Nous for-mions le chœur qui commente les décrets du destin, tels qu'ils sont révélés par le cours de l'événement suprême Il y avait un élément dra -

Physique pour tous Cours 2 : Relativité Restreinte I

conceptuelle à laquelle Einstein répondra en mettant sur pied la relativité gé- nérale, en développant le lien intime entre la notion d’accélération et celle de gravitation Maisceciseral’objetd’unprochaincours

Cours de physique de 4ième secondaire

l’Optique, l’Électromagnétisme, la Mécanique relativiste, la Théorie de la relativité gé-nérale, la Mécanique quantique, la Physique des particules Le programme de la quatrième année comporte l’étude des chapitres suivants: 1 La cinématique 2 La dynamique 3 La gravitation universelle 4 Le principe de conservation de l

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Master M2 des Sciences de la Mati`ere - Parcours Physique Ecole Normale Sup´erieure de Lyon et Universit´e Claude Bernard Lyon 1 Master M2 de Physique de l"Universit´e de Savoie Sp´ecialit´e Champs, Particules et Mati`ere Condens´ee - CPMC Novembre `a d´ecembre 2013Introduction `a la relativit´e g´en´erale

Pierre Salati

1,2 1 Laboratoire d"Annecy-le-Vieux de Physique Th´eorique LAPTh,

9 Chemin de Bellevue, B.P. 110, 74941 Annecy-le-Vieux Cedex

2Universit´e de Savoie, B.P. 1104, 73011 Chamb´ery Cedex

salati@lapth.cnrs.fr & pierre.salati@univ-savoie.fr t´el´ephone 04.50.09.16.90 site web http://lapth.cnrs.fr/pg-nomin/salati/Plan du cours

Ce cours est une introduction `a la th´eorie de la relativit´e g´en´erale. Le principe d"´equivalence

y joue un rˆole essentiel et permet d"´elaborer une th´eorie g´eom´etrique de la gravitation. Les

outils permettant de sonder de mani`ere intrins`eque les propri´et´es d"un espace non-euclidien

sont d´evelopp´es pas `a pas. Ils sont ensuite utilis´es pour formuler la relativit´e g´en´erale dont

quelques applications importantes sont analys´ees en d´etail et confront´ees `a l"exp´erience. La

derni`ere partie, plus formelle, est consacr´ee `a une approche Lagrangienne des ´equations du champ gravitationnel.

•Vendredi 8 Novembre 2013 - Le chapitreIest consacr´e au principe d"´equivalence grˆace auquel

la relativit´e g´en´erale peut ˆetre formul´ee de mani`ere g´eom´etrique. Les exp´eriences de Galil´ee,

Newton, Bessel et E¨otv¨os sugg`erent que masse inerte et masse grave - autrement dit inertie et charge gravitationnelle - sont proportionnelles l"une `a l"autre, quels que soient les objets

consid´er´es. Une cons´equence cruciale de cette ´equivalence est l"existence d"un r´ef´erentiel en

chute libre dans lequel la gravitation est localement ´eradiqu´ee par les forces d"inertie. Les lois de

la Nature y sont identiques `a celles que l"on observe depuis un r´ef´erentiel galil´een. La similarit´e dei

cette formulation avec le principe de la g´eom´etrie non-euclidienne est frappante. Nous d´ecrirons

alors la chute d"un point mat´eriel au sein d"un champ gravitationnel faible et statique en nous aidant du principe d"´equivalence, et introduirons les symboles de Christoffel et les potentiels de gravitation. Nous montrerons que le temps se dilate au fur et `a mesure que l"on s"enfonce

dans un puits de potentiel et ´etablirons l"existence d"un d´ecalage gravitationnel des fr´equences

ou gravitational red-shift. L"exp´erience que Pound et Rebka r´ealis`erent en 1960 met justement

en ´evidence ce d´ecalage, et ´etaie le principe d"´equivalence. L"exp´erience de Sagnac sera trait´ee

en TD. Elle permet de mesurer des vitesses de rotation faibles grˆace au gyrolaser. Les sondes Sagnac sont d´esormais utilis´ees `a bord notamment des avions. •Vendredi 22 Novembre 2013 - Le chapitreIIest une introduction `a la g´eom´etrie non-

euclidienne et les outils de la g´eom´etrie diff´erentielle seront pr´esent´es de mani`ere intuitive. Une

param´ecie vivant sur une surface `a deux dimensions arpente son espace et aimerait savoir, par exemple, s"il est courbe. Ne pouvant concevoir une troisime dimension, elle doit d´evelopper

des m´ethodes intrins`eques afin d"explorer la structure g´eom´etrique de son univers. Ce chapitre

pr´esente les outils math´ematiques qu"elle doit utiliser. Nous discuterons les syst`emes de coor-

donn´ees, le tenseur m´etriquegμνet la notion d"espace tangent. Nous introduirons le calcul ten-

soriel et la notion de diff´eomorphisme. La connexion affine sera d´efinie de mani`ere g´eom´etrique

et le lien avec les symboles de Christoffel du chapitre pr´ec´edent sera d´emontr´e. Les notions de

d´eriv´ee covariante et de transport parall`ele seront discut´ees. Elles permettent de mesurer la

courbure de l"espace `a l"aide du tenseur de Riemann-Christoffel. Le tenseur de RicciRμνet le

tenseur g´eom´etriqueGμνseront d´efinis et les identit´es de Bianchi d´emontr´ees.

•Vendredi 29 Novembre 2013 - Le principe de covariance g´en´erale sera´enonc´e dans le chapitreIII.

Nous d´efinirons le tenseur impulsion-´energieTμνd"un ensemble de particules n"interagissant que

par chocs et montrerons qu"il se conserve. Nous plongerons alors ce gaz parfait dans un champ gravitationnel externe et analyserons comment son tenseur impulsion-´energie se comporte. Nous

´etablirons de mani`ere intuitive - et non d´eductive - les ´equations de la relativit´e g´en´erale.

•Vendredi 6 D´ecembre 2013 - Le chapitreIVest consacr´e `a l"´etude de quelques tests de

la relativit´e g´en´erale. Nous ´etablirons la m´etrique de Schwarzschild qui caract´erise le champ

de gravitation entourant une source sph´erique et statique. Nous calculerons la d´eviation d"un

rayon lumineux passant `a proximit´e du soleil et la comparerons avec la mesure effectu´ee par

Eddington `a l"occasion de l"´eclipse solaire de 1919. Quelques notions d"optique gravitationnelle

seront introduites. Le trou noir de Schwarzschild et son horizon seront discut´es. Le calcul de la

d´erive du p´erih´elie de Mercure sera trait´e en TD. Celui du retard gravitationnel de l"´echo radar

sur V´enus sera vivement conseill´e. Ce test a ´et´e r´ealis´e par I. Shapiro de 1968 `a 1971. Si nous

avons le temps, nous nous int´eresserons `a la structure des ´etoiles en relativit´e g´en´erale ainsi qu"`a

l"´equation de Tolman-Oppenheimer-Volkoff et au th´eor`eme de Birkhoff.ii •Vendredi 13 D´ecembre 2013 - Le chapitreVest une introduction aux ondes gravitationnelles.

Nous commencerons par lin´eariser les ´equations de la relativit´e g´en´erale afin d"obtenir une th´eorie

maxwellienne de la gravitation o`u le potentiel vecteurAμde l"´electromagn´etisme est remplac´e

par le potentiel tenseurhμνqui d´ecrit les perturbations infinit´esimales de la m´etrique. Dans

la jauge des coordonn´ees harmoniques - le pendant ´electromagn´etique de la jauge de Lorentz -

h μνv´erifie une ´equation de d"Alembert le liant au tenseur sourceSμνpar ?hμν=-16π G Sμν, qui est l"analogue gravitationnel de la relation bien connue en ´electromagn´etisme ?Aμ=Jμ.

La solution classique de ces deux ´equations est donn´ee par les potentiels retard´es de Lienard et

Wiechert. Finalement, nous nous concentrerons sur la structure des ondes planes gravitation-

nelles et sur le principe d"un interf´erom`etre tel que Virgo destin´e `a les observer directement.

Nous ´evoquerons ´eventuellement leur mise en ´evidence indirecte par la mesure de la variation

de la p´eriode du pulsar binaire PSR 1913+16. •Vendredi 20 D´ecembre 2013 - En fonction du temps disponible, nous aborderons dans le

chapitreVIl"analogie entre relativit´e g´en´erale et th´eorie de jauge. Nous construirons de mani`ere

lagrangienne le tenseur impulsion-´energieTμνd"un champ scalaire et d´emontrerons de mani`ere

covariante qu"il se conserve. Nous finirons par l"´etude de l"action de Einstein-Hilbert `a partir de

laquelle nous d´eriverons les ´equations de champ ´etablies dans le chapitreIII. iii iv

Plan succint du cours

ChapitreILe principe d"´equivalence

1) Masse inerte et masse pesante.

1.1)Galil´ee (1564-1642).

1.2)Newton (1642-1727) et Bessel (1784-1846).

1.3)E¨otv¨os et sa balance de torsion (1889).

Toutes ces exp´eriences sugg`erent que masse inerte et masse grave - autrement dit inertie et charge

gravitationnelle - sont proportionnelles l"une `a l"autre, quels que soient les objets consid´er´es.

Elles ont conduit Einstein `a formuler le principe d"´equivalence sur lequel repose la description

g´eom´etrique de la relativit´e g´en´erale.

2) Le principe d"´equivalence.

En tout pointMd"un champ de gravitation et `a tout instantt, on peut choisir un syst`eme de

coordonn´eesξα, r´ef´erentiel en chute libre, dans lequel les lois de la Nature sont localement -

dans le voisinage deM- identiques `a celles qui existent dans un r´ef´erentiel d"inertie en l"absence

de gravitation.

Pour un observateur en chute libre dans le r´ef´erentielξα, tout se passe comme si la gravitation

´etait ´eradiqu´ee dans le voisinage deM. Nous d´efinirons plus tard de mani`ere rigoureuse les

notions intuitives que sont l"´eradication de la gravit´e et le voisinage deM. Au juste, que sont

les lois de la Nature dans un r´ef´erentiel d"inertie - ´egalement qualifi´e de galil´een - en l"absence

de gravitation ? S"agit-il de la m´ecanique relativiste restreinte ? Le principe d"´equivalence

s"applique-t-il `a toutes les lois de la physique ? On distinguera le principe d"´equivalence faible,

fort et tr`es fort.

3) Analogie entre le principe d"´equivalence et le postulat de la g´eom´etrie non-

euclidienne.

3.1)Les fondements de la g´eom´etrie non-euclidienne et le postulat de Gauss (1777-1855).

3.2)En combinant le principe d"´equivalence avec la relativit´e restreinte, nous d´efinirons le

tenseur m´etriquegμνgrˆace `a la relation g

μ∂ξβ∂x

ν,(1)

o`uηαβest la m´etrique de Minkowski.

4) Champs et potentiels gravitationnels.

4.1)Le champ de gravitation.

Nous ´etablirons, `a partir du principe d"´equivalence, l"´equation du mouvement d"une particulev

soumise `a un champ de gravitation et nous montrerons que d

2xλdτ

2+ Γλμνdxμdτ

νdτ

= 0 avec Γλμν=?∂xλ∂ξ ∂2ξα∂x

μ∂xν?

.(2)

4.2)Relation entre la connexion affine et le tenseur m´etrique.

αμν=12

4.3)Limite newtonienne et potentiel de gravitation.

Le champ de gravitation dans lequel ´evolue le point mat´eriel est faible et statique. Nous en

d´eduirons que la composanteg00du tenseur m´etrique est li´ee au potentiel Φ de la gravitation

classique de Newton par g

00= 1 + 2Φ.(4)

Un point mat´eriel de masseMengendre `a la distancerle potentiel

Φ =-GMrc

2.(5)

La connexion affine g´en´eralise alors la notion de champ gravitationnelgde la th´eorie classique

de Newton.

5) D´ecalage gravitationnel des fr´equences.

Nous analyserons le comportement d"une horloge immerg´ee dans un champ de gravitation. Nous

comparerons les indications donn´ees par deux horloges situ´ees `a des profondeurs diff´erentes au

sein d"un puits de potentiel Φ - par exemple `a des ´etages diff´erents du bˆatiment dans lequel

nous avons cours. Nous montrerons que le temps ne s"´ecoule pas de mani`ere identique. Les laps

de coordonn´ee temporelle Δt1et Δt2s´eparant deux signaux d"horloges identiques situ´ees aux

´etages 1 et 2 sont en effet reli´es par

Δt2Δt1=?g

00(1)g

Le d´ecalage gravitationnel des fr´equences est une cons´equence directe du principe d"´equivalence

et a ´et´e observ´e exp´erimentalement par Pound et Rebka en 1960, puis par Vessot et Levine en

1979.

6) Le paradoxe des jumeaux.

Le probl`eme sera ´evoqu´e en cours et r´esolu en TD en appliquant le principe d"´equivalence. On

traitera ´egalement l"exp´erience de Sagnac et de Michelson et Gale qui constitue la version optique

du pendule de Foucault.vi ChapitreIIIntroduction `a la g´eom´etrie non-euclidienne Gandalf, une param´ecie vivant sur une surfaceS`a deux dimensions, arpente son espace et aimerait savoir, par exemple, s"il est courbe. Ne pouvant concevoir une troisi`eme dimension,

Gandalf doit d´evelopper des m´ethodes intrins`eques afin d"explorer la structure g´eom´etrique de

son univers. Ce chapitre pr´esente les outils math´ematiques qu"il sera amen´e `a utiliser et qui sont

ceux de la g´eom´etrie diff´erentielle. Nous l"aiderons `a les forger grˆace `a notre vision extrins`eque

de la surface sur laquelle il vit et que nous plongerons dans l"espace euclidienR3.

1) Le tenseur m´etriquegμν(M).

2=gμν(M)dxμdxν.(7)

2) L"espace tangent `a la surface enM.

Au voisinage de chacun de ses pointsM, la surfaceSse comporte comme un plan dont une base

est fournie par les vecteurs covariantseμattach´es au syst`eme de coordonn´eesxμ. Le tenseur

m´etrique s"exprime alors tr`es simplement en fonction de ces vecteurs puisque g

μν=eμ·eν.(8)

Nous nous exercerons avec la sph`ereS2et reviendrons sur la notion de syst`eme de coordonn´ees localement euclidien - ou minkowskien - enM. Nous verrons que deux conditions sont requises

pour que la m´etriquegμνsoit localement euclidienne - ou minkowskienne - au pointM, `a savoir

g μν(M)≡ημνet∂αgμν|M= 0.(9) Puis nous analyserons comment les composantes covariantesAμet contravariantesAμd"un

vecteurAse transforment lorsque le syst`eme des coordonn´eesxμest remplac´e par celui associ´e

aux coordonn´eesym. Nous introduirons le groupe des diff´eomorphismes ainsi que la notion de tenseur de rangn.

3) La connexion affine.

Comme son nom l"indique, la connexion affine Γ

αμνpermet de connecter la base des vecteurs e μ(M) du plan tangent `aSenM- que nous noterons ΠM- `a celle du plan tangent `aSen M ?≡M+dMavec e μ(M+dM) =eμ(M) + Γαμνdxνeα(M) +dη.(10) Les pointsMetM?ont respectivement comme coordonn´eesxνetxν+dxν. Notre vision ex-

trins`eque permet d"appr´ehender le vecteurdηqui est perpendiculaire `a ΠM. Cependant, Gandalf

n"y est pas sensible - il ne voit pas dansR3- et n"a `a sa disposition que la connexion Γαμν. Nous

l"aiderons `a exprimer celle-ci en fonction du tenseur m´etrique et `a retrouver ainsi la relation (3).vii

Nous prendrons comme exemple d"application la sph`ereS2. Nous montrerons surtout que la

connexion affine n"est pas un tenseur au sens des diff´eomorphismes donn´e pr´ec´edemment.

4) La d´eriv´ee covariante.

Consid´erons un champ de vecteurAsur la surfaceS. En chaque pointM, ce champ est d´ecrit par

ses composantes covariantesAνet contravariantesAν. Celles-ci d´ependent des coordonn´eesxμ

du pointMet se comportent d"ailleurs comme des fonctions des variablesxμ. Nous pouvons donc

les d´eriver de mani`ere partielle afin d"obtenir les fonctions∂μAνet∂μAν. La d´eriv´ee covariante

des composantesAνetAνtient compte non seulement de la variation des composantes du champAavec les coordonn´eesxμ, mais ´egalement de la variation de la base des vecteurseμ dans laquelle lesdites composantes sont exprim´ees. Nous montrerons dans ces conditions que la d´eriv´ee covariante est d´efinie par D

μAν=∂μAν+ ΓνμαAαet DμAν=∂μAν-ΓαμνAα.(11)

Une autre notation couramment utilis´ee fait intervenir la d´eriv´ee simple∂μ≡,μet la d´eriv´ee

covarianteDμ≡;μde sorte que A ν;μ=Aν,μ+ ΓνμαAαet Aν;μ=Aν ,μ-ΓαμνAα.(12)

Nous d´efinirons la d´eriv´ee covariante d"un tenseur quelconque de rangnet montrerons que la

d´eriv´ee covariante du tenseur m´etriquegμνest nulle. Nous ´etablirons surtout que siAνetAνsont

les composantes contravariantes et covariantes du vecteurA, alors les d´eriv´ees covariantesDμAν

etDμAνse comportent comme des tenseurs de rang 2 vis `a vis du groupe des diff´eomorphismes.

5) Le transport parall`ele.

Un vecteurAest transport´e de mani`ere parall`ele deM`aM?≡M+dMlorsque la diff´erence DA≡A(M+dM)-A(M) est perpendiculaire au plan ΠM. La diff´erentielle covariante deAα est donc nulle entreMetM?et il vient DA

α=dAα+ ΓαμνdxμAν= 0.(13)

La ligne g´eod´esique joignant les pointsAetBest la courbe le long de laquelle le vecteur tangent

μ≡dxμ/dpest transport´e de mani`ere parall`ele. La position des points de la g´eod´esique

est param´etr´ee par la variablep, proportionnelle `a la longueurs≡τle long de la courbe.

L"´equation de la g´eod´esique exprime tr`es simplement le transport parall`ele du vecteur tangent

μvia l"´egalit´eDTμDp

=TαDαTμ= 0.(14) Si nous prenons comme param`etre de positionpla longueurs≡τ, le vecteur tangentTμ

s"assimile compl`etement `a la quadri-vitesseUμ≡dxμ/dτet la relation pr´ec´edente se met sous

la formed2xμdτ

2+ Γμ

αβdxαdτ

βdτ

= 0.(15)viii Nous retrouvons l"´equation (2) ´etablie dans le chapitreI. Nous montrerons en TD que la

g´eod´esique joignant les pointsAetBest ´egalement la courbe qui rend extrˆemale l"action

S(AB) =?

B A dp?

L ≡dτ2dp

2≡gμνxμxν?

.(16)

Le lagrangienLest une fonction des variables canoniquesxα- via le tenseur m´etriquegμν- et

de leurs d´eriv´ees xα≡dxα/dppar rapport `a la variable d"´evolutionp.

6) La courbure.

6.1)Le tenseur de Riemann-Christoffel.

Gandalf ne peut percevoir directement - de mani`ere extrins`eque comme nous - la courbure de

l"espace sur lequel il se d´eplace. Il peut cependant transporter de mani`ere parall`ele son bourdon

et v´erifier si ce dernier revient bien `a la position initiale apr`es avoir parcouru une boucle sur la

surfaceS. Nous montrerons en effet qu"un vecteurAtransport´e de mani`ere parall`ele le long d"un contour ferm´e Γ voit ses composantes contravariantesAμvarier de

ΔAμ=12

AνRμ

xαdxβ,(17) o`u le tenseur de Riemann-Christoffel est d´efini par R

νβΓμαη.(18)

Si en tout pointMdu domaineDd"un espace non-euclidienS, le tenseur de Riemann-Christoffel est nul, nous pouvons transporter de mani`ere parall`ele le vecteurAau sein deDsans que la variation de ses composantes - contravariantes par exemple -Aμne d´epende du chemin suivi. La donn´ee deAμen un pointO? Det le transport parall`ele deAdeO`a tout pointM? D permettent donc de d´efinir compl`etement le champ de vecteurAμ(M) sur le domaineD.

Une propri´et´e, tr`es importante d"un point de vue th´eorique, du tenseur de Riemann-Christoffel

est sa relation avec le commutateur des d´eriv´ees covariantesDμetDν. Nous montrerons en effet

que

Cette relation ´etablit d"ailleurs le caract`ere tensoriel deRβαμνvis `a vis des diff´eomorphismes.

Nous la retrouverons dans le chapitreVIdans le contexte des th´eories de jauge non-ab´eliennes.

Nous d´emontrerons quelques propri´et´es utiles pour la suite. En particulier, il est possible d"´ecrire

le tenseur de Riemann-Christoffel sous la forme compl`etement covariante R

μναβ=12

+gab? .(20)

6.2)Le tenseur de Ricci et la courbure scalaire.

Le tenseur de Ricci s"obtient en contractant deux des indices du tenseur de Riemann-Christoffel de sorte que R La courbure scalaireRest la contraction du tenseur de Ricci avec le tenseur m´etrique

R≡Rμμ=gαβRαβ.(22)

Nous montrerons que le tenseur de Ricci est sym´etrique dans ses indicesμetν.

6.3)Les identit´es de Bianchi.

A partir de la relation (20), nous d´emontrerons la premi`ere identit´e de Bianchi R μ[αβγ]≡Rμαβγ+Rμβγα+Rμγαβ= 0.(23) Nous d´emontrerons ensuite la seconde identit´e de Bianchi R

μν[αβ;γ]≡Rμναβ;γ+Rμνβγ;α+Rμνγα;β= 0,(24)

et construirons le tenseur g´eom´etriqueGμν`a partir du tenseur de RicciRμνet de la courbure

scalaireRvia la relation G

μν≡Rμν-12

gμνR .(25) Nous d´emontrerons finalement que la quadri-divergence du tenseur g´eom´etrique est nulle D

μGμν= 0.(26)x

ChapitreIIILes ´equations de la relativit´e g´en´erale

1) Le principe de covariance g´en´erale.

Le principe d"´equivalence est traduit math´ematiquement par le principe de covariance g´en´erale.

Il suffit d"´ecrire les lois de la Nature, telles qu"elles sont per¸cues dans un r´ef´erentiel en chute libre

au sein d"un champ de gravitation, `a l"aide de quantit´es tensorielles, pour que leur expression

dans un syst`eme de coordonn´ees quelconque s"obtienne imm´ediatement sous la mˆeme forme. Ce

principe de covariance g´en´erale est un cadre et est d´epourvu, au fond, de contenu physique.

Le principe de relativit´e restreinte repose sur la condition pr´ealable que les lois de la Nature,

et les lois de l"´electromagn´etisme avant tout, ont la mˆeme forme dans des r´ef´erentiels galil´eens.

Lorentz a bien trouv´e une transformation math´ematique de r´ef´erentiel permettant de conserver

la forme des ´equations de Maxwell, mais la consid´erait comme anecdotique. Einstein l"a in-

terpr´et´ee en d´eveloppant l"id´ee de la dilatation du temps et de la contraction des longueurs.

Math´ematiquement, une transformation de Lorentz est un changement de coordonn´ees qui con-

serve la m´etrique de Minkowskiημνqui, d`es lors, apparaˆıt comme la seule bonne m´etrique de

l"espace-temps. La relativit´e restreinte impose donc des restrictions consid´erables sur les lois de

la physique qui doivent ˆetre formul´ees `a l"aide de quantit´es se comportant comme des tenseurs

vis-`a-vis des transformations de Lorentz.

Le principe d"´equivalence ne nous impose pas d"´ecrire les lois de la Nature `a l"aide de quantit´es

tensorielles. Il nous indique comment des lois valables en l"absence de gravit´e sont modifi´ees en

pr´esence d"un champ de gravitation. Si nous nous arrangeons pour ´ecrire ces lois `a l"aide de

tenseurs, notre travail en est cependant d"autant simplifi´e. Or, la relativit´e restreinte nous impose

d"ores et d´ej`a d"utiliser des quantit´es tensorielles vis-`a-vis des transformations de coordonn´ees

qui conservent la m´etriqueημν. Il nous suffit alors d"´ecrire les lois de la Nature `a l"aide d"objets

- scalaires ou vecteurs par exemple - qui se transforment comme des tenseurs vis-`a-vis des

diff´eomorphismes, donc des changements quelconques de coordonn´ees. D"o`u le nom de relativit´e

g´en´erale. Pratiquement, il suffira de reprendre les lois de la Nature exprim´ees `a l"aide de tenseurs de

Lorentz et de remplacer les d´eriv´ees simples∂μpar les d´eriv´ees covariantesDμpour obtenir une

formulation covariante par rapport aux transformations g´en´erales de coordonn´ees.xi

2) Energie et impulsion d"un ensemble de points mat´eriels.

2.1)Tenseur impulsion-´energie.

Pour un ensemble de particules sans interactions `a distance, nous le d´efinirons par T

μν(x,t) =?

ip ipνip

0iδ3{x-xi(t)}.(27)

2.2)Cas du gaz parfait.

Pla¸cons-nous dans le r´ef´erentiel, s"il existe, dans lequel la distribution des impulsions des par-

ticules pr´ec´edentes est isotrope et supposons que celles-ci soient infiniment nombreuses de sorte

que nous puissions utiliser la fonction de distributionf(x,p,t) dans l"espace des phases. Sans

rien enlever `a la g´en´eralit´e de notre propos, nous pouvons supposer de surcroˆıt que le gaz est

homog`ene et statique. La fonction de distributionfne d´epend plus que de l"impulsionpdes particules qui forment le gaz. Le tenseur impulsion-´energie prend alors la forme T

μν(x,t) =?

3pf(p)pμpνp

0,(28)

de sorte que densit´e d"´energieρet pressionPsont d´efinies par

ρ≡T00=?

3pf(p)E ,(29)

P≡T11=T22=T33=?

3pf(p)p23E.(30)

L"´energieEdes particules est la composante tempsp0de leur quadri-impulsion. Dans le

r´ef´erentiel propre du gaz dans lequel nous nous sommes plac´es, le tenseur impulsion-´energie

est donn´e par la matrice T ????ρ0 0 0 0P0 0 0 0P0

0 0 0P?

????.(31)

Dans un r´ef´erentiel quelconque, par rapport auquel le mouvement d"ensemble du fluide est d´ecrit

par la quadri-vitesseUμ, le tenseur impulsion-´energie devient T

μν= (P+ρ)UμUν-P gμν.(32)

Si le fluide est inhomog`ene et ´evolue au cours du temps, il suffit de consid´erer un ´el´ement de

volume infinit´esimald3xentourant le pointMet contenant suffisamment de particules pour

pouvoir ˆetre trait´e de mani`ere statistique. Le raisonnement pr´ec´edent s"applique aux particules

qui, `a l"instantt, sont situ´ees dans cet ´el´ement de volume au voisinage du pointM. La rela-

tion (31) ne s"applique que dans le r´ef´erentiel propre de cet ´el´ement de fluide. La distribution

des vitesses y est isotrope et le fluide n"y a aucun mouvement d"ensemble, sa quadri-vitesse ´etant

d`es lors donn´ee parUμ≡(1,0).xii

2.3)Conservation de l"impulsion-´energie.

En d´erivant la relation (27) par rapport `a l"espace et au temps, nous ´etablirons que

μTμν=?

idp

νidt

δ3{x-xi(t)}.(33)

Les particules n"ont pas d"interactions `a distance et ne subissent que des chocs localis´es. Il vient

alors

μTμν= 0.(34)

2.4)Comportement de l"impulsion-´energie en pr´esence d"un champ gravitationnel.

Nous nous int´eresserons tout d"abord `a la conservation de la charge ´electriqueQ. En l"absence

de gravit´e, elle est assur´ee, via le th´eor`eme de Noether, d`es lors que la quadri-divergence du

courantJμest nulle. Au sein d"un champ gravitationnel, la quadri-divergence fait intervenir la d´eriv´ee covariante

μJμ=?DμJμ≡1⎷g

∂μ(⎷gJ

μ),(35)

o`ugd´esigne ici la valeur absolue du d´eterminant de la matricegμν. En pr´esence de gravit´e, la

conservation du courantJμs"exprime par la conditionDμJμ= 0, de sorte que c"est maintenant la

quadri-divergence du vecteur⎷gJ μqui est nulle. En int´egrantDμJμsur un volume quelconque Vde l"espace-temps, donc en exprimant la condition

V⎷g d

4xDμJμ≡0,(36)

nous d´efinirons la charge ´electrique par

Q(t) =?

3x⎷g J

0,(37)

et montrerons qu"elle se conserve. Il n"en va pas de mˆeme pour l"impulsion-´energie de notre syst`eme de particules que nous d´efinirons, inspir´es par le cas pr´ec´edent, par P

ν(t) =?

3x⎷g T

0ν.(38)

En effet, le tenseur impulsion-´energieTμνv´erifie d´esormais la condition

1⎷g

∂μ(⎷g T μν) =-ΓναβTαβ?= 0.(39)xiii

3) Les ´equations de la relativit´e g´en´erale.

Elles g´en´eralisent l"´equation de Poisson et ´etablissent une relation entre la g´eom´etrie de l"espace-

temps et le contenu en impulsion et ´energie d"une source de champ gravitationnel, naturellement

d´ecrit par le tenseurTμν. Nous montrerons que le tenseur g´eom´etrique doit ˆetre une fonction

lin´eaire des d´eriv´ees quadratiques des potentielsgμνet peut contenir des produits de deux

d´eriv´ees simples de la m´etrique. Il est sym´etrique en ses indicesμetνet sa quadri-divergence

covariante est nulle. Il est donc proportionnel au tenseurGμνd´efini `a la fin du chapitreII.

En analysant le comportement de la relation

μν=κTμν(40)

dans le cas d"un gaz de poussi`ere engendrant un champ gravitationnel faible et statique, nous montrerons que la constanteκest ´egale `a-8π Go`uGest la constante de gravitation de Newton en sorte que les ´equations de la relativit´e g´en´erale s"´ecrivent R

μν-12

gμνR+Λgμν=-8π G Tμν,(41)

si nous incluons la constante cosmologique Λ introduite par Einstein pour ´eviter l"expansion de

l"univers.xiv ChapitreIVQuelques tests de la relativit´e g´en´erale

Nous aurons `a peine le temps de d´eriver la m´etrique de Schwarzschild et de calculer en d´etail la

d´eviation d"un rayon lumineux par le soleil. Je proposerai donc quelques ´enonc´es de probl`emes

pos´es ant´erieurement `a l"examen.

1) La m´etrique de Schwarzschild.

La m´etrique de Schwarzschild d´ecrit un espace `a sym´etrie sph´erique autour du pointO, centre

d"une ´etoile de masseMqui engendre le champ de gravitation ´etudi´e dans ce chapitre. L"´etoile -

il s"agira du soleil dans les applications pratiques - ne tourne pas sur elle-mˆeme et sa structure ne

se modifie pas au cours du temps. La m´etrique est donc isotrope et statique. Nous montrerons qu"elle se met naturellement sous la forme dτ dans un syst`eme de coordonn´ees sph´eriques. Nous calculerons les connexions affines et en

d´eduirons le tenseur de RicciRμν. Ce dernier est nul dans le vide entourant l"´etoile si bien

que nous ´etablirons la relation de Schwarzschild

B(r) =A-1(r) = 1-2GMr

.(43)

2) D´eviation d"un rayon lumineux par le soleil.

Un point mat´erielM, plan`ete ou photon, se d´eplace dans le champ de gravitation solaire, et se

propage donc au sein de la m´etrique pr´ec´edemment d´efinie. D"apr`es le principe d"´equivalence,

toute trajectoire d"un mobile soumis `a un champ gravitationnel peut ˆetre consid´er´ee comme une

g´eod´esique de l"espace-temps. La position du point mat´erielMsur sa trajectoire autour du

soleil est param´etr´ee par l"abscisse curvilignep. Nous avons d´ej`a montr´e dans le chapitreIIque

les coordonn´eesxμ(p) de la trajectoire du pointMsatisfont `a la relation (15). Nous ´ecrirons

alors les quatre ´equations qui r´egissent l"´evolution det,ret des anglesθet?par rapport

au param`etrep. Nous montrerons que le mouvement peut se d´erouler dans le plan ´equatorial

θ=π/2 et nous ´etablirons les trois constantes du mouvement. Nous d´efinirons en particulier le

moment cin´etiqueJ≡r2?ainsi qu"un ´equivalent de l"´energie m´ecanique du mobileMdonn´e

par -E=Ar2+J2r 2-1B .(44) Nous calculerons la variation de l"angle?en fonction de la distranceret nous l"int´egrerons pour un rayon lumineux provenant de l"infini et passant par le p´erih´elier0avant de retourner vers l"infini. Nous montrerons que la d´eviation engendr´ee par la masseMse met sous la forme

Δ?=4GMr

0c2.(45)xv

Nous comparerons la pr´ediction de la relativit´e g´en´erale `a la mesure effectu´ee par Eddington

lors de l"´eclipse solaire de 1919.

Dans le chapitreV, nous lin´eariserons les ´equations de la relativit´e g´en´erale dans la limite o`u le

champ de gravitation est faible. Il est possible de montrer que la lumi`ere se propage comme si elle traversait un milieu optique inhomog`ene d"indice n= 1-2Φ,(46) o`u Φ est le potentiel de la gravitation classique de Newton. On pourra consulter avec profit le

chapitreIIIdu cours d"astrophysique des particules que l"on t´el´echargera `a partir du site web

http://lapth.in2p3.fr/˜salati/.

3) La d´erive du p´erih´elie de la plan`ete Mercure.

L"explication de la d´erive du p´erih´elie de la plan`ete Mercure constitue un test important de la

relativit´e g´en´erale. Au cours d"un si`ecle, le p´erih´elie de cette plan`ete proche du soleil se d´eplace

en effet de 43.11±0.45 secondes d"arc alors que, selon la th´eorie de la gravitation classique de Newton, il devrait rester immobile. La cause de sa d´erive au cours du temps a intrigu´e les astronomes et a mˆeme conduit Urbain Le Verrier `a postuler l"existence de Vulcain, plan`ete

encore plus proche du soleil que Mercure. D"apr`es la relativit´e g´en´erale, Mercure est soumis `a

une forte attraction solaire qui perturbe de mani`ere sensible la m´etrique de l"espace-temps. Le

calcul de la d´erive du p´erih´elie de Mercure constitue un grand classique trait´e en TD.

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[PDF] Introduction a la relativit´e g´en´erale - LAPTh