Cours de mathématiques - Exo7 : Cours et exercices de
• La matrice (de taille n p) dont tous les coefficients sont des zéros est appelée la matrice nulle et est notée 0n,p ou plus simplement 0 Dans le calcul matriciel, la matrice nulle joue le rôle du nombre 0 pour les réels 1 3 Addition de matrices Définition 3 (Somme de deux matrices) Soient A et B deux matrices ayant la même
MATRICES EXERCICES CORRIGES
2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n° 3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j , le terme aij soit donné par la formule a i jij = −2 Exercice n° 4 On donne 2 5 3 1 A =
TD 0 : Matrices - GitHub Pages
Soit M une matrice symétrique régulière de taille p×p et u et v deux vecteurs de taille p Nous supposerons que u′M−1v 6= −1, alors nous avons l’inverse suivante M +uv′ −1 = M−1− M−1uv′M−1 1 +u′M−1v Exercice 15 En calculant de deux façons différentes le produit D∆ des deux déterminants D = a b −b a et ∆ =
Matrices, determinants
3 La matrice nulleest la matrice dont tous les coe cients sont nuls On la note 0 np si elle a n lignes et p colonnes, 0 s'il n'y a pas d'ambigu t e 4 Les matrices carrees sont les matrices dont les nombres de lignes et de colonnes sontegaux Ce nombre de lignes et de colonnes s'appellel'ordre de la matrice
MATRICES ET SYSTÈMES LINÉAIRES - Christophe Bertault
•La matrice de taille n×p dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle de Mn,p(K)et notée 0 — ou 0 n , p quand on veut être précis À vrai dire, une matrice M de taille n × p à coefficients dans Kn’est jamais qu’un élément de K ¹1, n º× p , i e une
CHAPITRE I MATRICES ET DETERMINANTS - LMRL
est la matrice inverse de A et on note: B A=−1 On voit facilement (exercice) qu’une matrice A a au plus une matrice inverse et on verra plus loin une condition nécessaire et suffisante pour qu’elle en admette une Exemple Vérifiez que si 5 8 A 3 6 = − alors 1 1 4 9 27 A 1 5 18 54 − − = Exercices 1-9 B) EXERCICES 1) Soient les
Matrices et applications linéaires - Cours et exercices de
Matrices et applications linéaires Vidéo — partie 1 Rang d'une famille de vecteurs Vidéo — partie 2 Applications linéaires en dimension finie Vidéo — partie 3 Matrice d'une application linéaire Vidéo — partie 4 Changement de bases Fiche d'exercices ⁄ Matrice d'une application linéaire
Exercice 1 - Mathématiques et Interactions à Nice
Exercice 8 { Appliquer avec pr ecision aux matrices Met Nsuivantes l’algorithme du cours qui d etermine si une matrice est inversible et donne dans ce cas son inverse : M= 2 3 1 1 2M 2;2(R) et N= 2 3 4 6 2M 2;2(R): Exercice 9 { (extrait partiel novembre 2011)
ALGEBRE LINEAIRE Cours et exercices
Cours et exercices L Brandolese M-A Dronne Cours d’algèbre linéaire 1 Espaces vectoriels 2 Applications linéaires 3 Matrices 4 Déterminants 5
[PDF] cours determinant d'une matrice
[PDF] résumé sur les matrices pdf
[PDF] matrice d'eisenhower excel
[PDF] matrice d'eisenhower vierge
[PDF] télécharger matrice eisenhower excel
[PDF] matrice eisenhower vierge
[PDF] fichier excel matrice eisenhower
[PDF] matrice eisenhower exemple
[PDF] commandabilité définition
[PDF] exercice corrigé commandabilité et observabilité
[PDF] forme canonique commandable
[PDF] observabilité définition
[PDF] matrice de trace nulle probleme
[PDF] querelle des anciens et des modernes jean de la fontaine
Licence MASS 22009-2010
TD 0 : Matrices
Exercice 1
Calculer, lorsque c"est possible,3A,2B,A?,B?,A+B,ABetBA.A=((1 0 0
-3 0 02 0 0))B=((0 0 02 1-2
-1 3 5))Exercice 2
Calculer, lorsque c"est possible,A?,B?,A+B,ABetBA.A=((1-1 1
-1 1 11 1-1))B=((-1 1 11-1 1
1 1-1))
Exercice 3
Calculer, lorsque c"est possible,A+B,ABetBA.
A=((1 0 0
-3 0 02 0 0))B=((0 0 0 12 1-2 2
-1 3 5 3))Exercice 4
Soient les vecteursu,vetwdeR4,
u=((((5 -1 1 1)))) v=((((124 -7)))) w=((((02 -1 0))))1. Calculer les normes euclidiennes de ces trois vecteurs.
2. Calculer les produits scalaires entreuetv(noté< u,v >), puis< u,w >puis< v,w >.
3. Calculer lorsque c"est possibleu?v,uv?etuv.
4. Calculer lorsque c"est possibleu?w,w?uetuw.
5. Calculer lorsque c"est possiblev?w,vw?.
Exercice 5
Nous notons1nle vecteur de taillendont toutes les coordonnées valent 1. Considérons la matriceAet le
vecteur13et calculer, lorsque c"est possible,A+1,A1,1A,1?Aet(1/3)1?A.A=((1-1 4
-1 2 31 4-1))MASS 2-Algèbre1TD 0
Exercice 6SoitXune matrice de taillen×p. Nous notons la première colonne deX,X1, la secondeX2et ainsi de
suite. La matriceXpeut donc s"écrireX= (X1|X2|...|Xp).1. Comment faites-vous pour avoir le vecteur des moyennes des colonnes d"une matriceX? des lignes
d"une matriceX?2. Comment faites-vous pour centrer une matriceX(enlever à chaque colonne sa moyenne)?
Exercice 7
SoitXune matrice de taillen×p. Nous notons la première colonne deX X1, la secondeX2et ainsi de suite. La matriceXpeut donc s"écrireX= (X1|X2|...|Xp). Nous notons égalementX(i)la matriceX privée de sa i èmeligne etxila transposée de sa ièmeligne.1. Quelle est la taille de la matriceX?X?
2. Quel est le terme général de la matriceX?X?
3. La matriceX?Xest-elle symétrique?
4. Quelle est la taille de la matriceX?(i)X(i)?
5. Quelle est la taille dexi?
6. Montrer que
X ?X=X?(i)X(i)+xix?i.Exercice 8
La matriceXvautX= (1?|X2|X3). Nous ne connaissons pas le nombre de lignes de cette matrice. Nous avons obtenu les résultats suivants : X ?X=((25 0 0 ? 9.3 5.4 ? ? 12.7)) (X?X)-1=((0.04 0 00 0.1428-0.0607
0-0.0607 0.1046))
1. Donner les valeurs manquantes.
2. Que vautn, le nombre de lignes deX?
3. Calculer le coefficient de corrélation linéaire empiriqueentreX2etX3.
Exercice 9
Trouver deux matricesAetBtelles que l"on ait à la fois :2A-3B=?1 02 3?
etA-2B=?1 32-1?Exercice 10
Calculer les déterminants suivants :
?1 2 40 1-2 i1-i 0a b a0c b c0?????? ?-1 1 1 11-1 1 11 1-1 1
0a0b c0d0 -1 0 3 4 5 6 -1-2 0 4 5 6 -1-2-3 0 5 6 -1-2-3-4 0 6MASS 2-Algèbre2TD 0
Exercice 11Montrer, avec le moins de calculs possible, que :a)??????84 8 435 3 562 6 2?????? = 0, b)??????0 8 52 8 96 4 6?????? est divisible par17, c)????13547 1364728423 28523???? =-1487600Exercice 12
Montrer que la matriceAest inversible et calculerA-1lorsque :A=((3 1 00 1-1
1 2 1))
, A=((1-a0 0 1-a0 0 1))
, A=((((1 1 0 01 0-1 10 0 1-1
1 1 0 1))))
Exercice 13
Je sais queX?Xβ=X?y. Comment faites-vous pour trouverβ? Pouvez-vous trouverβavec les matrices
suivantes : X ?X=((((50 0 0 00 20 15 4
0 15 30 10
0 4 10 40))))
, X?y=((((100 5040
80))))
On admettra que
(20 15 415 30 104 10 40))
-1 113720((
1100-560 30
-560 784-14030-140 375))
Exercice 14
SoitMune matrice symétrique régulière de taillep×petuetvdeux vecteurs de taillep. Nous supposerons
queu?M-1v?=-1, alors nous avons l"inverse suivante ?M+uv??-1=M-1-M-1uv?M-11 +u?M-1v.
Exercice 15
En calculant de deux façons différentes le produitDΔdes deux déterminantsD=????a b
-b a???? etΔ =????x-y y x???? démontrer que(a2+b2)(x2+y2) = (ax+by)2+ (bx-ay)2.Exercice 16
Parmi les matrices suivantes, quelles sont celles qui sont inversibles? Calculer leur matrice inverse.
a)((-2 8 6 -4 10 64-8-4))
b)((4 6 0 -3-5 0 -3-6 1)) c)((-2 8 6 -4 10 04-8 0))
d)((7-12-2 3-4 0 -2 0-2)) e)((9 22-6 -1-4 18 16-5))
f)((3 1 00 0-11 2 1))
g)((((1-1 1-1 -1-1 1 11 1 1-1
2 1 2 1))))
h)((a2 0 0b03 2c))
MASS 2-Algèbre3TD 0
Exercice 17Déterminer le rang des matrices suivantes : a)((2 1 4 01 5 2 34 2 8 0)) b)((a-a2+ 1-a2+a-1 -a+ 2a2+ 1a2-a+ 1 a-2a2-1a2+a-1)) c)((((1 0 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1)))) d)((((2-3 4 3 1 5 -1 0-10 2 4))))
e)((a0b b a00b a))
Exercice 18
Ecrire sous forme matricielle les systèmes linéaires suivants. Résoudre, lorsque c"est possible, en discutant
selon les valeurs des paramètresm,p,a,b,cetd. a)???x+my+z= 1 mx+y+ (m-1)z=m x+y+z=m+ 1b)???mx+y+z=a x+my+z=b x+y+mz=c c)???2x-2y+z= 3m-2 -x+my+ 2z= 2m x+ 2my-3z= 0d)???x+y+ (2m-1)z= 1 mx+y+z= 1 x+my+z= 3(m+ 1) e)???????(m+ 2)x=a2y-z+mt=b
-2mx+my+ (m+ 1)z+mt=c2x-2y+ (m+ 2)z=df)???a
2x+ay+z= 1
ax+aby+bz=ab a2x+aby+z=a2
Exercice 19
mdésigne un paramètre réel. On noteAla matrice : (-5 1 2 m-1-2m-3 -1-1m-1))1. Calculer le rang deA(en discutant selon les valeurs dem)
2. On supposemchoisi de telle façon que le rang deAsoit 3. Calculer, en fonction dem, les 5 termes
de la matrice inverseA-1qui occupent la première colonne et la première ligne deA-1.MASS 2-Algèbre4TD 0
Licence MASS 22009-2010
TD 1 : Bases et applications
Exercice 1 (sous-espaces vectoriels deR2)
Parmi les ensembles suivants, déterminer ceux qui sont des espaces vectoriels : -A1={(x,y)?R2: 2x+ 3y= 0}; -A2={(x,y)?R2: 2x+ 3y= 1}; -A3={(a+b,a-b)|a,b?R}.Exercice 2 (sous-espaces vectoriels deFonct(R,R))
On rappelle queFonct(R,R)désigne l"espace vectoriel des fonctions deRdansR. Parmi les sous-ensembles
suivants deFonct(R,R), lesquels forment des sous-espaces vectoriels? -F1={f:R→R|fest paire}; -F2={f:R→R|fest impaire}; -F3={f:R→R|?x?Z,f(x) = 0}; -F4={f:R→R|?x?Z,f(x) = 1}; -F5={f:R→R|fest bornée}.Exercice 3
SoitEun espace vectoriel. Soit(u1,...,u4)une famille libre deE.1. Que savez-vous sur la dimension deE?
2. Les familles suivantes sont-elles libres :
Exercice 4
SoitEun espace vectoriel. Soit(u1,...,u4)une famille génératrice deE.1. Que savez-vous sur la dimension deE?
2. Les familles suivantes sont-elles génératrices :
(u1,u2,u3,0,u4),(u1,u2,u3+u4,u4)Exercice 5
DansR3, déterminer si les familles sont génératrices, libres, liées, forment des bases. Si la famille est une
base, calculer les coordonnées des vecteurs de la base canonique dans cette nouvelle base : u1= (1,2,3)?,u2= (4,0,-1)?etu3= (3,7,9)?,
puis mêmes vecteursu1etu2etu3= (-1,14,19)?.Exercice 6
Soitfune application linéaire, montrer que :(kerf={0})??(fest injective).Exercice 7
Soienta, b, c, d, des scalaires etfune application : R2→R2?x
y? ?→f?x y? =?ax+by cx+dy?MASS 2-Algèbre1TD 1
1. (a) Montrer quefest une application linéaire.
(b) Ecrire l"image parfdes vecteurse1,e2, base canonique deR2. (c) Calculer l"image parfd"un vecteur quelconque deR2.2. Soitf1, l"application linéaire oùa=b=c=d= 1/2.
(a) Calculerkerf1, montrer quef1◦f1=f1. (b) Donner la nature def1et l"ensemble des points invariants parf1. (c) SoitMun point deR2de coordonnées(x,y), donner une construction géométrique du point M1de coordonnéesf1(x,y).
3. Soitf2, l"application linéaire oùa=b=c=d= 1. Donner une construction simple de cette
nouvelle application linéaire (penser aux composés d"AL).4. Soitf3, l"application linéaire oùa=d= 0,b= 1etc=-1.
(a) Calculerkerf3, qu"en déduisez-vous? (b) Donner une construction simple de cette nouvelle application linéaire.5. Soitf4, l"application linéaire oùa= 3/4,b=-1/4,c=-3/4etd= 1/4.
(a) Déterminer le noyau, l"image et l"ensemble des invariants def4. (b) Calculerf4◦f4, qu"en déduit-on? (c) DéterminerM2c,c(f4),M3c,c(f4)etMnc,c(f4), expliquer.6. Sur un même graphique dessiner le point M et les pointsM1,M2,M3etM4images respectives du
pointMpar les applicationsf1,f2,f3etf4.Exercice 8
Soitfl"application
R2→R2
(x,y)?→f(x,y) =?3x-y+ 34,-3x+y+ 34?
Est-ce une application linéaire?
Exercice 9
SoitR2l"espace vectoriel muni de la base canonique(?e1, ?e2). Soitfla rotation de centre O(0,0)et d"angle
π/4(f:R2→R2est une application linéaire). Ecrire la matriceAdefdans la base canonique. Déterminer
le vecteur?yimage parfdu vecteur?xavec?x= 9/4?e1+ 2/3?e2.