PROBABILITÉS - Maths & tiques
- La variance (respectivement l'écart-type) est la variance (respectivement l'écart-type) de la série des x i pondérés par les probabilités p i L'écart-type est donc une caractéristique de dispersion "espérée" pour la loi de probabilité de la variable aléatoire Propriétés : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω
04a Lecture RiskPreferences - Princeton University
Mean Mean--variance preferencesvariance preferences [L4 6] Slide 04Slide 04--22 Fin 501: Asset Pricing Proba Z 2 4 4 2 EZ 1 = 64, z 1 σ = 44 z1 EZ2 = 444, z2
Ch 5 Probabilités 1 S - Les MathémaToqués
Autre formule de la variance : V (X)=(∑ i=1 r pi xi 2) –(E(X))2 « la moyenne des carrés moins le carré de la moyenne » Plus l'écart type (ou la variance) est grand, plus les valeurs sont dispersées autour de l'espérance E(X) Si X est le gain à un jeu, son espérance E(X) est le gain moyen sur un très grand nombre de parties
3 Logit - University of California, Berkeley
The variance of this distribution is π2/6 By assuming the variance is π2/6, we are implicitly normalizing the scale of utility, as discussed in Section 2 5 We return to this issue, and its relevance to interpretation, in the next section The mean of the extreme value distribution is not
Estimating the Volatility in the Black-Scholes Formula
any probability distributions and instead calculate volatility both from average sample variance as well as weighted sample variance Keywords: Black-Scholes formula, option pricing, volatility models, exponential smoothing 1 Introduction An option is a type of nancial contract where the owner has the right, but not the obligation, to buy
Fiche 10 : Probabilités - Studyrama
A E nombre d'éléments de nombre de cas favorables nombre d'éléments de nombre de cas possibles == b) Dans un supermarché, il y a 150 cartons de lait, dont 8 sont avariés
2Bac SEco Chapitre9: Probabilité (Résumé)
Variance de X: VX EX E X 22 = 2 2 1 in ii i px E X Écart-type de X: XVX Exemple : On lance 3 fois de suite un dé Le joueur gagne 6 dirhams s’il n’obtient aucun 1 et aucun 2 et il perd 3 dirhams dans le cas contraire
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On utihscr la question précédente et la formule des probabilités totales 5 Pour tout entier n non nul, on considère la variable aléatoire Yo (a) Soit n € N' Donner la loi de Yn (b) On considère F la fonction de répartition d'une loi uniforme sur [O, 1] Rappeler, pour tout réel r, la valeur de F (C) Soit [O, 1] Ina: 1], oil l'on
GENERALITES SUR LES PROBABILITES - LeWebPédagogique
4- Formule des probabilités totales Définition 11 : On dit que les événements B 1, B 2, , B n constituent une partition de l’univers Ω si: o leurs probabilités sont non nulles; o ils sont deux à deux incompatibles; o leur réunion est égale à Ω
MATHÉMATIQUES - EDHEC Business School
b) Montrer que X2 possède une variance et que V X a(2 2)=4 c) Déterminer le risque quadratique r Sa n( ) de Sn en tant qu’estimateur de a En déduire que Sn est un estimateur convergent de a 7) On suppose que a est inférieur ou égal à 1 a) Écrire l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour la variable aléatoire Sn et en déduire :
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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPROBABILITÉS En 1654, Blaise Pascal (1623 ; 1662) entretient avecPierre de Fermat(1601 ; 1665) des correspondances sur le thème des jeux de hasard et d'espérance de gain qui les mènent à exposer une théorie nouvelle : les calculs de probabilités. Ils s'intéressent à la résolution de problèmes de dénombrement comme par exemple celui duChevalierdeMéré: "Commentdistribueréquitablementlamiseàunjeudehasardinterrompuavantlafin?» I. Variable aléatoire et loi de probabilité 1) Variable aléatoire Exemple : Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat." L'ensemble de toutes les issues possibles Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} s'appelle l'univers des possibles. On considère l'événement A : "On obtient un résultat pair." On a donc : A = {2; 4; 6}. On considère l'événement élémentaire E : "On obtient un 3". On a donc : E = {3}. Définitions : - Chaque résultat d'une expérience aléatoire s'appelle une issue. - L'univers des possibles est l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire. - Un événement est un sous-ensemble de l'univers des possibles. - Un événement élémentaire est un événement contenant une seule issue. Exemple : Dans l'expérience précédente, on considère le jeu suivant : - Si le résultat est pair, on gagne 2€. - Si le résultat est 1, on gagne 3€. - Si le résultat est 3 ou 5, on perd 4€. On a défini ainsi une variable aléatoire X sur Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} qui peut prendre les valeurs 2, 3 ou -4. On a donc : X(1) = 3, X(2) = 2, X(3) = -4, X(4) = 2, X(5) = -4, X(6) = 2 Définition : Une variable aléatoire X est une fonction définie sur un univers Ω et à valeur dans
2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 2) Loi de probabilité Exemple : On considère la variable aléatoire X définie dans l'exemple précédent. Chaque issue du lancer de dé est équiprobable et égale à
1 6 . La probabilité que la variable aléatoire prenne la valeur 2 est égale à 1 6 1 6 1 6 1 2 . On note : P(X = 2) = 1 2 . De même : P(X = 3) = 1 6 et P(X = -4) = 1 6 1 6 1 3 . On peut résumer les résultats dans un tableau : xi -4 2 3 P(X = xi) 1 3 1 2 1 6Ce tableau résume la loi de probabilité de la variable aléatoire X. Définition : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω et prenant les valeurs x1, x2, ..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité P(X = xi). Remarques : - P(X = xi) peut se noter pi. - p1 + p2 + ... + pn = 1 Exemple : Dans l'exemple traité plus haut : p1 + p2 + p3 =
1 3 1 2 1 6= 1. Méthode : Déterminer une loi de probabilité Vidéo https://youtu.be/2Ge_4hclPnI Soit l'expérience aléatoire : "On tire une carte dans un jeu de 32 cartes." On considère le jeu suivant : - Si on tire un coeur, on gagne 2€. - Si on tire un roi, on gagne 5€. - Si on tire une autre carte, on perd 1€. On appelle X la variable aléatoire qui à une carte tirée associe un gain ou une perte. Déterminer la loi de probabilité de X.
3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frLa variable aléatoire X peut prendre les valeurs 2, 5, -1 mais aussi 7. En effet, si on tire le roi de coeur, on gagne 5(roi) + 2(coeur) = 7€. - Si la carte tirée est un coeur (autre que le roi de coeur), X = 2. P(X = 2) =
7 32. - Si la carte tirée est un roi (autre que le roi de coeur), X = 5. P(X = 5) = 3 32
. - Si la carte tirée est le roi de coeur, X = 7. P(X = 7) = 1 32
. - Si la carte tirée n'est ni un coeur, ni un roi, X = -1. P(X = -1) = 21
32
. La loi de probabilité de X est : xi -1 2 5 7 P(X = xi) 21
32
7 32
3 32
1 32
On constate que : p1 + p2 + p3 + p4 =
2132
7 32
3 32
1 32
= 1 II. Espérance, variance, écart-type Définitions : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω et prenant les valeurs x1, x2, ..., xn. La loi de probabilité de X associe à toute valeur xi la probabilité pi = P(X = xi). - L'espérance mathématique de la loi de probabilité de X est : E(x) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn
=p i x i i=1 n- La variance de la loi de probabilité de X est : V(x) = p1(x1 - E(X))2 + p2(x2 - E(X))2 + ... + pn(xn - E(X))2
=p i x i -E(X) 2 i=1 n - L'écart-type de la loi de probabilité de X est :σ(X)=V(X)
4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Méthode : Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type d'une loi de probabilité Vidéo https://youtu.be/AcWVxHgtWp4 Vidéo https://youtu.be/elpgMDSU5t8 Dans le jeu de la "Méthode" du paragraphe précédent, calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de la loi de probabilité de X et interpréter les résultats pour l'espérance et l'écart-type. E(X) =
2132
×-1
7 32×2 3 32
×5 1 32
×7 15 32
. V(X) = 21
32
×-1-
15 322 7 32
×2-
15 322 3 32
×5-
15 322 1 32
×7-
15 322 ≈5,1865 σX ≈5,1865≈2,28 . L'espérance est égale à 15 32
≈0,5
signifie qu'en jouant, on peut espérer gagner environ 0,50€. L'écart-type est environ égal à 2,28 signifie qu'avec une espérance proche de 0,50 le risque de perdre de l'argent est important. Remarques : - L'espérance est la moyenne de la série des xi pondérés par les probabilités pi. En effet : E(X) = p1 x1 + p2 x2 + ... + pn xn
p 1 x 1 +p 2 x 2 +...+p n x n 1 p 1 x 1 +p 2 x 2 +...+p n x n p 1 +p 2 +...+p nEn répétant un grand nombre de fois l'expérience, la loi des grands nombres nous permet d'affirmer que les fréquences se rapprochent des probabilités théoriques. La moyenne des résultats se rapprochent donc de l'espérance de la loi de probabilité. L'espérance est donc la moyenne que l'on peut espérer si l'on répète l'expérience un grand nombre de fois. - La variance (respectivement l'écart-type) est la variance (respectivement l'écart-type) de la série des xi pondérés par les probabilités pi. L'écart-type est donc une caractéristique de dispersion "espérée" pour la loi de probabilité de la variable aléatoire. Propriétés : Soit une variable aléatoire X définie sur un univers Ω. Soit a et b deux nombres réels. On a : E(aX+b) = aE(X)+b V(aX+b) = a2V(X)
5YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Démonstrations :
E(aX+b)=p
i ax i +b i=1 n =ap i x i i=1 n +bp i i=1 n =ap i x i i=1 n +b =aE(X)+bV(aX+b)=p
i ax i +b-aE(X)+b 2 i=1 n =p i ax i -aE(X) 2 i=1 n =a 2 p i x i -E(X) 2 i=1 n =a 2 VXMéthode : Simplifier les calculs d'espérance et de variance à l'aide d'une variable aléatoire de transition Vidéo https://youtu.be/ljITvCBExVY Une entreprise qui fabrique des roulements à bille fait une étude sur une gamme de billes produites. Le diamètre théorique doit être égal à 1,3 cm mais cette mesure peut être légèrement erronée. L'expérience consiste à tirer au hasard une bille d'un lot de la production et à mesurer son diamètre. On considère la variable aléatoire X qui à une bille choisie au hasard associe son diamètre. La loi de probabilité de X est résumée dans le tableau suivant : xi 1,298 1,299 1,3 1,301 1,302 P(X = xi) 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1 Calculer l'espérance et l'écart-type de la loi de probabilité de X. Pour simplifier les calculs, on définit la variable aléatoire Y = 1000X - 1300. La loi de probabilité de Y est alors : xi -2 -1 0 1 2 P(Y = xi) 0,2 0,1 0,2 0,4 0,1 Calculons l'espérance et la variance de la loi de probabilité de Y : E(Y) = -2x0,2 + (-1)x0,1 + 1x0,4 + 2x0,1 = 0,1 V(Y) = 0,2x(-2 - 0,1)2 + 0,1x(-1 - 0,1)2 + 0,2x(0 - 0,1)2 + 0,4x(1 - 0,1)2 + 0,1x(2 - 0,1)2 = 1,69 On en déduit l'espérance et la variance de la loi de probabilité de X : E(Y) = E(1000X - 1300) = 1000 E(X) - 1300
6YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frDonc :
E(X)=E(Y)+1300
10000,1+1300
1000=1,3001
V(Y) = V(1000X - 1300) = 10002 V(X) Donc :
V(X)= V(Y) 10002 1,69 1000
2
Et donc :
σX 1,69 10002 1,3 1000
=0,0013
Conclusion : E(X) = 1,3001 cm et
σX =0,0013cm. Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
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