Méthode Horner - Free
Appliquer cet algorithme avec les polynômes suivants f(x) = 4x3 −8x2 −7x−1 g(x) 6 Avec python def Horner(C,x): n=len(C) Q=C[0] for k in range(1,n): Q=Q
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IMéthode Horner
1 Le principe
Prenons l"exemple deP(x) = 3x5-2x4+ 7x3+ 2x2+ 5x-3. Pour calculer P(x) le calcul classique nécessite ......multiplications et ......additions. De même si on généralise Pour calculerP(x) =anxn+an-1xn-1+···+a1x+a0 il faut ..................multiplications et ...............additions. Dem : On peut faire de nombreuses économies de calcul en suivant leschéma suivant :P(x) =anxn+···+a2x2+a1x?
on metxen facteur+a0 anxn-1+···+a3x+a2? on metxen facteur+a1)) x+a0 = (...(((anx+an-1)x+an-2)x+an-3)...)x+a0Ici cela donneP(x) = 3x5-2x4+ 7x3+ 2x2+ 5x-3
= (3x4-2x3+ 7x2+ 2x+ 5)x-3 Avec cette forme deP(x) il y a ......multiplications et ......additions. Dans le cas généralP(x) = (...(((anx+an-1)x+an-2)x+an-3)...)x+a0Il y a au maximum ............multiplications et ............additions (voir moins avec les zéros).
Appliquer cet algorithme avec les polynômes suivants. f(x) = 4x3-8x2-7x-1g(x) = 4x4-23x2-15x-2Entrées: Les coefficientsaidans l"ordre décroissant des exposants des monômes, le monôme x1
début2 n :=degré du polynôme P.3Q :=an4
pour kallantde1ànfaire5Q:=Q?x+an-k6
fin7 Sorties: Q qui est égal à P(x) sous la forme d"un polynôme de Horner8Algorithme 1: Algorithme de Horner
1Pour faire les calculs "à la main» il est plus facile de le présenter autrement. Par exemple pour
f(x) = 4x3-8x2-7x-14 -8 -7 -1?
???x 4x(4x-8)x((4x-8)x-7)x4 (4x-8) (4x-8)x-7 ((4x-8)x-7)x-1
Par exemple pour calculer f(2). Calculer de même pourf(3),P(2). f4 -8 -7 -1? ???2 8 0-144 0-7-15
Doncf(2) =-15.
f4 -8 -7 -1? ???3 ... ... ...Doncf(3) =......
P3 -2 7 2 5 -3?
???2 ... ... ... ... ...DoncP(2) =......
2 Démonstration
SoitPun polynôme de degrén,x0un réel.
On cherche à déterminer un polynômeQ(x) tel queP(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). Qest forcément un polynôme de degrén-1 et on a : ➔P(x) =anxn+···+a1x+a0 ➔Q(x) =bn-1xn-1+···+b1x+b0. ➔P(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). Exprimer les coefficients deQen fonction des coefficients dePet deP(x0) (x-x0)Q(x) +P(x0) = (x-x0)(bn-1xn-1+bn-2xn-2+···+b1x+b0) =anxn+ ( )xn-1+···+ ( )x2+ ( )x+ ( ) n=...... a n-1=...... a2=......
a1=......
a n-1=...... b n-2=...... b1 =...... b0=......
P(x0) =......
P anan-1...a2a1a0?
???x0... ... ... ... ... bn-1bn-2...b1b0P(x0) coefficient est bienP(x0). On a démontré l"existence et l"unicité du polynômeQ(x).3 Expérimentation avec xcas
Ouvrer xcas et dans un environnement de programme (Alt+p) taper :Horner(C,x):={
localQ,k,n;//les variables locales n:=size(C)-1;// Le degré du polynome PQ:=C[0];
pourkde1jusquenfaireQ:=(Q*x)+C[k];
fpour; retourne(Q) Compiler ce programme (F9) et dans une autre entrée tester leavec :L:=[3,-2,7,2,5,-3]
Horner(L,2)
Horner(L,10000)
Horner(L,x)
24 Utilisation de cet algorithme
Nous avons démontré queP(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0) oùQ(x) est le polynôme obtenu avec l"algo-
Six0est une racine dePalors On trouvep(x0) =......et doncP(x) =.........Par exemple calculerf?-1
2? en complétant le tableau ci dessous.4 -8 -7 -1?
-12... ... ...
Donner alors une première factorisation def(x). En déduire une factorisation "complète» def(x).
Nous allons donc modifier le programme précédent pour faire apparaitre tous les coefficientsHorner2(C,x):={
localQ,k,n; n:=size(C)-1;// Le degré du polynome PQ:=[];// on crée une liste vide
Q[0]:=C[0];
pourkde1jusquenfaireQ[k]:=(Q[k-1]*x)+C[k];
fpour; retourne(Q)En utilisant cette fois le programme que nous avons crée calculerg(-2) en déduire une factorisation
deP. CalculerQ? -1 2? . En déduire une factorisation deQ(x) puis deP(x).5 Avec une calculatrice TI
PGRM➔NEW➔HORNER
Pour afficher seulementP(x0).
Prompt X
ClrList L6
Disp ??{AN,...,A0}??
Input L6
dim(L6)-1->NL6(1)->Q
For(K,1,N,1)
Q*X+L6(K+1)->Q
End Disp QPour afficher la liste des coefficients deQetP(x0).
Prompt X
ClrList L6
Disp ??{AN,...,A0}??
Input L6
dim(L6)-1->NFor(K,1,N,1)
L6(K)*X+L6(K+1)->L6(K+1)
EndDisp L6
On écrira seulement le deuxième programmecar il donne la liste des coefficients deQ(x). Pour tester plus facilement le programme écrire dans la listeL1 les coefficients 4-8-7-1.Exécuter le programme par exemple pour-0,5. Horner2➔-0.5➔L1 et vous devez obtenir 0 pour le
premier programme et pour le deuxième la liste qui est enL6 ={4-10-2 0}. On a doncP(-0.5) = 0 etP(x) = (x+ 0,5)(4x2-10x-2). On peut aussi modifier le programme pour faire afficher des fractions.Ce programme fonctionne aussi avec des complexes.
36 Avec python
defHorner(C,x): n=len(C)Q=C[0]
forkinrange(1,n):Q=Q?x+C[k]
returnQP=[4,-8,-7,-1]
print(Horner(P,0)) defHorner(C,x): n=len(C)Q=[0]?n;
Q[0]=C[0];
forkinrange(1,n):Q[k]=Q[k-1]?x+C[k]
returnQP=[4,-8,-7,-1]
print(Horner(P,-0.5))7 Correction de la démonstration
SoitPun polynôme de degrén,x0un réel.
On cherche à déterminer un polynômeQ(x) tel queP(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). Qest forcément un polynôme de degrén-1 et on a : ➔P(x) =anxn+···+a1x+a0 ➔Q(x) =bn-1xn-1+···+b1x+b0. ➔P(x) = (x-x0)Q(x) +P(x0). (x-x0)Q(x) +P(x0) = (x-x0)? b n-1xn-1+···+b1x+b0? +P(x0) =bn-1xn+···+b1x2+b0x-x0bn-1xn-1- ··· -x0b1x-x0b0+P(x0) =bn-1xn+ (bn-2-x0bn-1)n-1+···+ (b1-x0b2)x2+ (b0-x0b1)x-x0b0+P(x0)On a donc par identification
?b n-1=an b n-2-x0bn-1=an-1 b1-x0b2=a2
b0-x0b1=a1
n-1=an b n-2=x0bn-1+an-1 b1=x0b2+a2
b0=x0b1+a1
P(x0) =x0b0+a0
bienP(x0).Pour la programmation nous avons utilisé les listes [anan-1...a1a0] qui sont numérotées [p0p1p2...pn-1pn]
car les listes commencent à 0 (ou 1 pour la TI). 4quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34