Équations aux Dérivées Partielles

D´eﬁnition 3 5 (Formulation variationnelle) Soitf ∈ L2(Ω);onditqueu est solution variationnelle de(3 1)si u est solution du probl`eme de minimisation suivant : u ∈ H 1

Introduction au principe variationnel et a la m ecanique

l’approche variationnelle forme la pierre angulaire de la physique statistique, de la th eorie du chaos et de la th eorie des champs Dans ces notes de cours, nous aborderons quelques notions de calcul variationnel (et en particulier les equations d’Euler-Lagrange) que nous appliquerons par la suite dans le cadre de la m ecanique analytique

Mecanique quantique Cours et exercices corriges

13 2 La méthode variationnelle 254 13 3 La méthode JWKB et l’approximation semiclassique 255 Exercices 260 Problèmes 13 1 Théorème de projection et facteurs de Landé atomiques 261 13 2 Mécanisme d’échange – Interaction coulombienne dans l’atome d’hélium 263 13 3 Mécanisme de super-échange – Isolant de Mott et

M thode des l ments finis PLAN - Fanar Campus

Cours de mise niveau, master2 MSROE - 14 - Ecole Centrale Paris, 2006-2007 maillage non structur donc domaine g om trie quelconque structures industrielles formulation variationnelle : prise en compte Ç naturelle È des conditions li es aux vecteurs contraintes " M thode des l ments finis r u (x) 1 Elasticit lin aire - Rapels

Prof dr GHEORGHE IOAN DINCA - imarro

Une méthode variationnelle pour l'étude des opérateur non-linéaires a différentielle K-positivement définis, C R Acad Sci , Paris, 286 (1978), 25-28

23, p 6145 (1981)

(l’exercice 10 3 sur la méthode variationnelle est basé sur un de ses articles), Jean-Noël Fuchs (qui avait rédigé une autre version du problème 12 1 sur le graphène) et Gilles Montambaux (le problème 11 2 a été imaginé comme application de la jolie relation

Cours des Méthodes Numériques Appliquées Master I Energie

finie, un problème écrit sous forme variationnelle (comme minimisation de l’énergieen général) dans un espace de dimension infinie La solution approchée est dans ce cas une fonction déterminée par un nombre infini de paramètres comme, par exemple, ses valeurs en certains points ou nœudsdu maillage • Avantages:

Fiche de cours - Lebanese University

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Équations aux Dérivées Partielles

On a vu dans le cours d’intégration I que l’on peut faire de la convolution f gsi f 2 L1 et g2 Lp;p 1 De plus, f g2 Lpet jjf gjjp jjfjj1 jj gjjp Proposition I 7 8f;g2 L1, 8˘2 Rd;f[g(˘) = f^(˘)^g(˘) En d’autres termes, la transformée de Fourier transforme le produit de convolution en produit usuel I-2 La densité gaussienne I-2

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Équations aux Dérivées Partielles

T. Gallay (Cours) et J. Vovelle (Td)

Transcrit par Idriss Mazari.

ENS de Lyon, 2014-2015

Équations aux Dérivées PartiellesM1Ces notes ont été rédigées par Idriss Mazari. Les erreurs qui s"y trouvent ne sont donc aucunement

du fait de M. Gallay ( ). Les Td ont été rédigés par

Julien Vovelle (

On adoptera dans tout ce polycopié les notations suivantes : On travaillera toujours implicitement avec la mesure de Lebesgue (que l"on notera(n)et que l"on abrérra pardxen dimension 1) sur la tribu borélienne deRn. On désignera parFfou par^fla transformée de Fourier d"une fonctionf2L1. On prendra la convention

Ff() :=∫

R nf(x)eixd(n)(x) On désignera parS(Rn)la classe de Schwarz dansRn.

On désignera parD(Ω)ou parC1c(Ω)l"ensemble des fonctionsC1à support compact inclus dans

un ouvertΩ.

On désignera parD′(Ω)les distributions surΩet parS′(Rn)les distributions tempérées surRn.

Le crochet de dualité sera noté⟨;⟩. R nsera toujours implicitement supposé muni de sa structure euclidienne canonique, et l"on notera le produit scalairexy,⟨xjy⟩,(x;y)ou(xjy),xetydésignant deux vecteurs deRn.

ENS de Lyonpage 12014-2015

Table des matières

I Transformée de Fourier dansRd

1 Transformée de Fourier d"une fonctionL1

1.1 Définitions

1.2 Premières propriétés

1.3 Régularité

1.4 Lien avec la convolution

2 La densité gaussienne

2.1 Présentation

2.2La formule d"inversion de Fourier

3 La transformée de FourierL2

4 Transformée de Fourier de mesures signées

II Introduction générale

1 Mise en jambes

2 Quelques EDP emblématiques

3 Bibliographie

4 Exercices

4.1 Stabilité de la solution d"une EDP

4.2 Equation de transport

4.3 Étude d"un problème elliptique en dimension 1

4.4 Equation des ondes et cordes de guitare

4.5 Minimisation et EDP

4.6 Probas et EDP

4.7 Transport Optimal et équation de Monge-Ampère

21
III EDP linéaires du second ordre à coefficients constants 22

1 Solutions fondamentales de l"équation de Laplace

2 Mesure de surface et formule de Gauss

3 Propriétés des fonctions harmoniques

4 Problème de Dirichlet et fonctions de Green

5 L"équation de la chaleur

6 L"équation des ondes

7 Exercices

7.1 L"équation de Poisson dansR3

7.2 Fonction de Green sur le demi-espace - I

7.3 Principe du maximum

7.4 La formule de la moyenne et applications

7.5 Fonction de Green sur le demi-espace - II

7.6 L"équation de la chaleur sur le Tore

7.7 L"équation de la chaleur avec terme source - Résolution

7.8 L"équation de la chaleur avec terme source - Effet régularisant

7.9 Inégalité de Varopoulos-Carne

7.10 Propagation

7.11 Limite Hydrodynamique

45
IV Opérateurs différentiels-Régularité elliptique-Propagation des singularités 47

1 Définitions générales

2 EDP elliptiques d"ordre 2-Existence de solutions faibles

3 Équations elliptiques d"ordre 2-Résultats de régularité

51
2

Équations aux Dérivées PartiellesM13.1 Rappels sur les quotients différentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . .51

3.2 Régularité intérieure

3.3 Principes du maximum

4 Opérateurs linéaires hyperboliques et propagation

4.1 Définitions et exemples

4.2 Exemples de solution : propagation

5 Exercices

5.1 Un exemple de régularité intérieure

5.2 Un contre-exemple de régularité intérieure

5.3 Principe du maximum faible pour les solutions faibles

5.4 Une équation elliptique semi-linéaire

5.5 Variété caractéristique de l"équation des ondes

5.6 Variété caractéristique - Ensemble caractéristique

5.7 Direction hyperbolique

5.8 Système strictement hyperbolique en dimension1

5.9 Système hyperbolique symétrisable en dimensiond1

5.10 Équation de Hamilton-Jacobi et propagation

5.11 Propagation et équation de Hamilton-Jacobi

74
V Semi-groupes d"opérateurs linéaires bornés 75

1 Premières notions

2 Deux exemples

2.1 Semi-groupe des translations

2.2 Semi-groupe de la chaleur dansL2(Rn)

3 Le théorème de Hille-Yosida

3.1 Ensemble résolvant et spectre

3.2 Théorèmes de représentation

4 Exercices

4.1 Fermeture d"un opérateur non borné

4.2 Adjoint d"un opérateur non-borné sur un Hilbert

4.3 Adjoint d"un opérateur non-borné sur un Hilbert (suite)

4.4 Semi-groupe et inégalité d"interpolation

4.5 Ensembles spectraux d"opérateurs non bornés

91
VI Introduction aux équations d"évolution semi-linéaires 92

1 Solutions classiques et intégrales d"équations d"évolution

2 Recollement, explosion et dépendance en la condition initiale

3 L"équation de la chaleur non linéaire

4 L"équation des ondes non-linéaire

5 Exercices

102

5.1 Equations de la chaleur non-linéaires

102

5.2 Equation de la chaleur non-linéaire - Exposant critique de Fujita

103

VII Examens et partiels

104

1 Examen partiel du 13 mars 2015

104

ENS de Lyonpage 32014-2015

Équations aux Dérivées PartiellesM1I.Transformée de Fourier dansRd I-1.

Transformée de Fourier d"une fonctionL1

I-1- 1.

Définitions

Dans tout le chapitre, on prendd1, et on travaille avec(Rd;B(Rd);d). De plus, on désignera habituellement parL1(reps.L1) l"ensemble1C(d)(reps.L1C(d). On travaillera indifféremment avec ces deux ensembles.

DéfinitionI.1:Transformée de Fourier.

Soitf2 L1une fonction intégrable à valeurs complexes.

On définit, pour tout2Rd

f() :=∫ R deixf(x)dx

la transformée de Fourier defen, pour le produit scalaire usuel surRd. La fonction^fest appelée

transformée de Fourier def.

I-1- 2.

Premières propriétés

PropositionI.1.

on a les propriétés suivantes i f7!^fest une applicationC-linéaire. ii Sif2L1et sih2Rd, posonsg:x7!f(xh) :=hf. Alors^g() =ei h^f()et ce82Rd. iii Sig(x) =eih xf(x), alors^g() =^f(+h)et ce pour tout2Rd. iv

Si2R f0get sig(x) =f(x

)alors82Rd;^g() =jjd^f(). De manière plus générale, si M2Gld(R), sig(x) =f(M1x), alors^g() =jdetMj^g(tM). En particulier, f() =^ f()et ce 82Rd.

Il s"agit de petits calculs sans grandes difficultés; on en déduit que sifest à valeurs réelles et

paire, alors^fest une fonction paire à valeurs réelles.

PropositionI.2.

Sif2L1, alors^fest bornée, etjj^fjj1 jjfjj1. En particulier, l"application linéaire deL1dansL1,f7!^fest continue.

PropositionI.3:Formule de réciprocité.

Soitf;g2L1. Alors

R df^g=∫ ^fg(I.1)

Démonstration de la proposition.

Les deux intégrales sont bien définies par la proposition pré- cédente.∫ R df^g=∫ R df(x)∫ R deix ug(u)dudx (I.2) R d∫ R dg(u)eix uf(x)dxdu (I.3) R d^fg (I.4)

Pour justifier l"interversion des intégrales, on applique le théorème de Fubini-Lebesgue; son application

est ici licite, dans la mesure où le produit des deux fontctions reste intégrable : les variables sont

indépendantes, et l"on peut majorer∫ R d∫ R df(x)g(y)dxdypatjjfjj1 jjgjj1.

I-1- 3.

Régularité

La transformée de Frouier hérite de propriétés de régularité plus fortes que celles de la fonction

initiale;

PropositionI.4.

Soitf2L1. Alors^f2C0(Rd;C) :=fhcontinue; limx!1f(x) = 0gmuni de la norme jj jj 1.

ENS de Lyonpage 42014-2015

Équations aux Dérivées PartiellesM1Démonstration de la proposition.La continuité résulte d"une application du théorème sur la

continuité des intégrales à paramètres. La deuxième partie de la proposition consiste en ce que l"on

appelle le Lemme de Riemann-Lebesgue : on peut le démontrer grâce à des résultats de densité dans

les espacesLp, en le faisant par approximations successives.

On remarque que

^f() =∫ R dei (x+ jj2)f(x)dx=\ jj2f(). On en déduit donc 2 ^f() =∫ R dei x(f(x)f(x jj2))dx et donc j ^f()j 1 2 jjf jj2fjj1 taper la fin de la preuve et le lemme

PropositionI.5.

Soitf2L1telle quex7!xf(x)2L1. Alors^f2C1(Rd;C)et8k2 f1;:::;dg;@k^f() = i∫ R dxkei xf(x)dx. Plus généralement, six7! jxjkf(x)2L1, alors^f2 Ck(Rd;C)et, pour tout multi-indice= (1;:::;d)2Ndtel que∑ iid, on a , en notant@f:=@^f i=1 R d(ix)f(x)ei xdx

Ainsi, la décroissance def"lisse" sa transformée de Fourier^f. Étudions une réciproque partielle

de cette propriété :

PropositionI.6.

Soitf2L1telle quef2 C1(Rd;C)et telle que8k2Nd;@kf2L1. Alors82 R

d;d@kf() =ik^f(). Aavec les mêmes hypothèses que pour la proposition précédente, on en déduit

que d@f() = (i)^f(). En particulier,^f() =o!1(1 jjk).

I-1- 4.

Lien avec la convolution

On a vu dans le cours d"intégration I que l"on peut faire de la convolutionfgsif2L1et g2Lp;p1. De plus,fg2Lpetjjfgjjp jjfjj1 jjgjjp.

PropositionI.7.

8f;g2L1,82Rd;[fg() =^f()^g()

En d"autres termes, la transformée de Fourier transforme le produit de convolution en produit usuel. I-2.

La densité gaussienne

I-2- 1.

Présentation

DéfinitionI.2:Densité gaussienne.

Soit2R+. Notonsg(x) :=ejxj2

22
(22)d 2 . On l"appelle densité gaussienne. Notons par ailleurs queg=1 dg1(

PropositionI.8.

R dg= 1, ou, en d"autres termes,gest une mesure de probabilité surR. i=1g1(x1).

Le résultat dans le casd= 1est immédiat, et le théorème de Fubini nous permet de conclure (la

fonction est positive).

PropositionI.9.

82Rd;^g() =ejj22

2 = (2

2)d=2g1

ENS de Lyonpage 52014-2015

Équations aux Dérivées PartiellesM1Démonstration de la proposition.On traite ici le casd== 1. On va montrer que^gvérifie

une "quation différentielle simple à résoudre : En effet, la fonctionx7!xg′(x)est de classeC1, donc

sa transformée de Fourier est dérivable, de classeC1. De plus,( ^g)′() =^g(): en effet ^g′() =i∫ R dxeixg(x)dx =i1 (22)1=2(([eixg(x)]11| {z =0)i∫ R deixg(x)dx) =^g()

On sait résoudre cette équation différentielle et on trouve immédiatement les formules vouluesx.

PropositionI.10.

Les fonctionsgsont des approximations de l"unité au sens où, sif2Lp;p <1 g f!!0;jjjjpf

Démonstration de la proposition.

jjgffjjp p=∫ R dj∫ R dg(y)f(xy)f(x)dyjpdxquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

[PDF] Équations aux Dérivées Partielles

Équations aux Dérivées Partielles

T. Gallay (Cours) et J. Vovelle (Td)

Transcrit par Idriss Mazari.

ENS de Lyon, 2014-2015

Julien Vovelle (

Ff() :=∫

ENS de Lyonpage 12014-2015

Table des matières

I Transformée de Fourier dansRd

1 Transformée de Fourier d"une fonctionL1

1.1 Définitions

1.2 Premières propriétés

1.3 Régularité

1.4 Lien avec la convolution

2 La densité gaussienne

2.1 Présentation

2.2La formule d"inversion de Fourier

3 La transformée de FourierL2

4 Transformée de Fourier de mesures signées

II Introduction générale

1 Mise en jambes

2 Quelques EDP emblématiques

3 Bibliographie

4 Exercices

4.1 Stabilité de la solution d"une EDP

4.2 Equation de transport

4.3 Étude d"un problème elliptique en dimension 1

4.4 Equation des ondes et cordes de guitare

4.5 Minimisation et EDP

4.6 Probas et EDP

4.7 Transport Optimal et équation de Monge-Ampère

1 Solutions fondamentales de l"équation de Laplace

2 Mesure de surface et formule de Gauss

3 Propriétés des fonctions harmoniques

4 Problème de Dirichlet et fonctions de Green

5 L"équation de la chaleur

6 L"équation des ondes

7 Exercices

7.1 L"équation de Poisson dansR3

7.2 Fonction de Green sur le demi-espace - I

7.3 Principe du maximum

7.4 La formule de la moyenne et applications

7.5 Fonction de Green sur le demi-espace - II

7.6 L"équation de la chaleur sur le Tore

7.7 L"équation de la chaleur avec terme source - Résolution

7.8 L"équation de la chaleur avec terme source - Effet régularisant

7.9 Inégalité de Varopoulos-Carne

7.10 Propagation

7.11 Limite Hydrodynamique

1 Définitions générales

2 EDP elliptiques d"ordre 2-Existence de solutions faibles

3 Équations elliptiques d"ordre 2-Résultats de régularité

3.2 Régularité intérieure

3.3 Principes du maximum

4 Opérateurs linéaires hyperboliques et propagation

4.1 Définitions et exemples

4.2 Exemples de solution : propagation

5 Exercices

5.1 Un exemple de régularité intérieure

5.2 Un contre-exemple de régularité intérieure

5.3 Principe du maximum faible pour les solutions faibles

5.4 Une équation elliptique semi-linéaire

5.5 Variété caractéristique de l"équation des ondes

5.6 Variété caractéristique - Ensemble caractéristique

5.7 Direction hyperbolique

5.8 Système strictement hyperbolique en dimension1

5.9 Système hyperbolique symétrisable en dimensiond1

5.10 Équation de Hamilton-Jacobi et propagation

5.11 Propagation et équation de Hamilton-Jacobi

1 Premières notions

2 Deux exemples

2.1 Semi-groupe des translations

2.2 Semi-groupe de la chaleur dansL2(Rn)

3 Le théorème de Hille-Yosida

3.1 Ensemble résolvant et spectre

3.2 Théorèmes de représentation

4 Exercices

4.1 Fermeture d"un opérateur non borné

4.2 Adjoint d"un opérateur non-borné sur un Hilbert