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Exo7 ?? ????I Le cours du MOOC3
1 Arithmétique4
1 Division euclidienne et pgcd
52 Théorème de Bézout
73 Nombres premiers
104 Congruences
132 Cryptographie17
1 Le chiffrement de César
172 Le chiffrement de Vigenère
223 La machine Enigma et les clés secrètes
254 La cryptographie à clé publique
305 L"arithmétique pour RSA
346 Le chiffrement RSA
373 Algorithmes et mathématiques43
1 Premiers pas avec??????. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44
2 Écriture des entiers
473 Calculs de sinus, cosinus, tangente
534 Les réels
565 Arithmétique - Algorithmes récursifs
616 Polynômes - Complexité d"un algorithme
65II Les rappels de cours
704 Logique et raisonnements71
1 Logique
722 Raisonnements
765 Ensembles et applications79
1 Ensembles
802 Applications
833 Injection, surjection, bijection
854 Ensembles finis
875 Relation d"équivalence
93III Les exercices97Cours et exercices de maths
Licence Creative Commons - BY-NC-SA
2Première partie
Le cours du MOOC
31 Division euclidienne et pgcd
51.1 Divisibilité et division euclidienne
51.2 pgcd de deux entiers
61.3 Algorithme d"Euclide
61.4 Nombres premiers entre eux
71.5 Mini-exercices
72 Théorème de Bézout
72.1 Théorème de Bézout
72.2 Corollaires du théorème de Bézout
82.3 ÉquationsaxÅbyAEc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8
2.4 ppcm
92.5 Mini-exercices
103 Nombres premiers
103.1 Une infinité de nombres premiers
1 03.2 Eratosthène et Euclide
113.3 Décomposition en facteurs premiers
113.4 Mini-exercices
124 Congruences
134.1 Définition
134.2 Équation de congruenceax´b(modn). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3 Petit théorème de Fermat
154.4 Mini-exercices
16Préambule
Une motivation : l"arithmétique est au coeur du cryptage des communication. Pour crypter un message
on commence par le transformer en un -ou plusieurs- nombres. Le processus de codage et décodage fait
appel à plusieurs notions de ce chapitre : -On choisit deuxnombres premierspetqque l"on garde secrets et on posenAEp£q. Le principeétant que même connaissantnil est très difficile de retrouverpetq(qui sont des nombres ayant des
centaines de chiffres).-La clé secrète et la clé publique se calculent à l"aide de l"algorithme d"Euclideet descoefficients
de Bézout. -Les calculs de cryptage se ferontmodulon. -Le décodage fonctionne grâce à une variante dupetit théorème de Fermat. 41Division euclidienne et pgcd
1.1Divisibilité et division euclidienne
Définition 1.Soienta,b2Z. On dit quebdiviseaet on notebjas"il existeq2Ztel que aAEbq.Exemple 1.
- 7j21; 6j48;aest pair si et seulement si 2ja. -Pour touta2Zon aaj0 et aussi 1ja. -Siaj1 alorsaAEÅ1 ouaAE¡1. -(ajbetbja)AE)bAE§a. -(ajbetbjc)AE)ajc. -(ajbetajc)AE)ajbÅc.Théorème 1 (Division euclidienne).
Soita2Zetb2N\{0}. Ilexistedes entiersq,r2Ztels que aAEbqÅret 0ÉrÇbDe plusqetrsontuniques. Nous avons donc l"équivalence :rAE0 si et seulement sibdivisea. Exemple 2.Pour calculerqetron pose la division "classique». SiaAE6789 etbAE34 alors6789AE34£199Å23
On a bien 0É23Ç34 (sinon c"est que l"on n"a pas été assez loin dans les calculs).678934 19934338306
329306
23dividendediviseur
quotient resteDémonstration.Existence.On peut supposeraÊ0 pour simplifier. SoitNAE©n2NjbnÉaª. C"est un
ensemble non vide carnAE02N. De plus pourn2N, on anÉa. Il y a donc un nombre fini d"éléments
dansN, notonsqAEmaxNle plus grand élément. AlorsqbÉacarq2N, et (qÅ1)bÈacarqÅ1ÝNdonc qbÉaÇ(qÅ1)bAEqbÅb. On définit alorsrAEa¡qb,rvérifie alors 0ÉrAEa¡qbÇb.Unicité.Supposons queq0,r0soient deux entiers qui vérifient les conditions du théorème. Tout d"abord
aAEbqÅrAEbq0År0et doncb(q¡q0)AEr0¡r. D"autre part 0Ér0Çbet 0ÉrÇbdonc¡bÇr0¡rÇb(notez
au passage la manipulation des inégalités). Maisr0¡rAEb(q¡q0) donc on obtient¡bÇb(q¡q0)Çb.
On peut diviser parbÈ0 pour avoir¡1Çq¡q0Ç1. Commeq¡q0est un entier, la seule possibilité est
q¡q0AE0 et doncqAEq0. Repartant der0¡rAEb(q¡q0) on obtient maintenantrAEr0.51.2pgcd de deux entiers
Définition 2.Soienta,b2Zdeux entiers, non tous les deux nuls. Le plus grand entier qui divise à la
foisaetbs"appelle leplus grand diviseur commundea,bet se note pgcd(a,b).Exemple 3.
- pgcd(21,14)AE7, pgcd(12,32)AE4, pgcd(21,26)AE1. -pgcd(a,ka)AEa, pour toutk2ZetaÊ0. -Cas particuliers. Pour toutaÊ0 : pgcd(a,0)AEaet pgcd(a,1)AE1. 1.3Algorithme d"Euclide
pgcd(a,b)AEpgcd(b,r)En fait on a même pgcd(a,b)AEpgcd(b,a¡qb) pour toutq2Z. Mais pour optimiser l"algorithme d"Euclide
on applique le lemme avecqle quotient. Démonstration.Nous allons montrer que les diviseurs deaet debsont exactement les mêmes que lesdiviseurs debetr. Cela impliquera le résultat car les plus grands diviseurs seront bien sûr les mêmes.
-Soitdun diviseur deaet deb. Alorsddivisebdonc aussibq, en plusddiviseadoncddivise bq¡aAEr. -Soitdun diviseur debet der. Alorsddivise aussibqÅrAEa.Algorithme d"Euclide. successives. Le pgcd sera le dernier reste non nul. -division deaparb,aAEbq1År1. Par le lemme1 , pgcd(a,b)AEpgcd(b,r1) et sir1AE0 alors pgcd(a,b)AEb sinon on continue : -bAEr1q2År2, pgcd(a,b)AEpgcd(b,r1)AEpgcd(r1,r2), -r1AEr2q3År3, pgcd(a,b)AEpgcd(r2,r3), -rk¡2AErk¡1qkÅrk, pgcd(a,b)AEpgcd(rk¡1,rk), -rk¡1AErkqkÅ0. pgcd(a,b)AEpgcd(rk,0)AErk.Comme à chaque étape le reste est plus petit que le quotient on sait que 0ÉriÅ1Çri. Ainsi l"algo-
rithme se termine car nous sommes sûr d"obtenir un reste nul, les restes formant une suite décroissante
d"entiers positifs ou nuls :bÈr1Èr2È...Ê0Exemple 4.Calculons le pgcd deaAE600 etbAE124.
20AE4£5Å0
Ainsi pgcd(600,124)AE4.Voici un exemple plus compliqué :Exemple 5.Calculons pgcd(9945,3003).
9945AE3003£3Å936
3003AE936£3Å195
936AE195£4Å156
195AE156£1Å39
156AE39£4Å0
Ainsi pgcd(9945,3003)AE39.
61.4Nombres premiers entre eux
Définition 3.Deux entiersa,bsontpremiers entre euxsi pgcd(a,b)AE1. Exemple 6.Pour touta2Z,aetaÅ1 sont premiers entre eux. En effet soitdun diviseur commun àaet àaÅ1. Alorsddivise aussiaÅ1¡a. Doncddivise 1 mais alorsdAE ¡1 oudAE Å1. Le plus grand
diviseur deaetaÅ1 est donc 1. Et donc pgcd(a,aÅ1)AE1. Si deux entiers ne sont pas premiers entre eux, on peut s"y ramener en divisant par leur pgcd : Exemple 7.Pour deux entiers quelconquesa,b2Z, notonsdAEpgcd(a,b). La décomposition suivante est souvent utile :½aAEa0d
bAEb0daveca0,b02Zet pgcd(a0,b0)AE11.5Mini-exercices 1. Écrire la division euc lidiennede 111 111par 20 xx, où 20xxest l"année en cours. 2. Montrer qu"un diviseur positif de 10 008et de 10 014apparti entnécessairement à {1,2,3,6}. 3. Calculer pgcd(560 ,133), pgcd(12121,789), pgcd(99999,1110). 4.Trouver tous les entiers 1 ÉaÉ50 tels queaet 50 soient premiers entre eux. Même question avec
52.2
Théorème de Bézout
2.1Théorème de Bézout
Théorème 2 (Théorème de Bézout).
Soienta,bdes entiers. Il existe des entiersu,v2Ztels queauÅbvAEpgcd(a,b)La preuve découle de l"algorithme d"Euclide. Les entiersu,vne sont pas uniques. Les entiersu,vsont
descoefficients de Bézout. Ils s"obtiennent en "remontant» l"algorithme d"Euclide. Exemple 8.Calculons les coefficients de Bézout pouraAE600 etbAE124. Nous reprenons les calculseffectués pour trouver pgcd(600,124)AE4. La partie gauche est l"algorithme d"Euclide. La partie droite
s"obtient debas en haut. On exprime le pgcd à l"aide de la dernière ligne où le reste est non nul. Puis on
remplace le reste de la ligne précédente, et ainsi de suite jusqu"à arriver à la première ligne.
600AE124£4Å104124AE104£1Å20
4AE104¡(124¡104£1)£5AE124£(¡5)Å104£64AE104¡20£5Ainsi pouruAE6 etvAE¡29 alors 600£6Å124£(¡29)AE4.
Remarque.
- Soignez vos calculs et leur présentation. C"est un algorithme : vous devez aboutir au bonrésultat! Dans la partie droite, il faut à chaque ligne bien la reformater. Par exemple 104¡(124¡
104£1)£5 se réécrit en 124£(¡5)Å104£6 afin de pouvoir remplacer ensuite 104.
-N"oubliez de vérifier vos calculs! C"est rapide et vous serez certain que vos calculs sont exacts. Ici on
vérifie à la fin que 600£6Å124£(¡29)AE4. 7 Exemple 9.Calculons les coefficients de Bézout correspondant à pgcd(9945,3003)AE39.936AE195£4Å156
39AE ¢¢¢
39AE ¢¢¢39AE195¡156£1À vous de finir les calculs. On obtient 9945£(¡16)Å3003£53AE39.
2.2Corollaires du théorème de Bézout
Corollaire 1.Sidjaetdjbalorsdjpgcd(a,b).
Exemple : 4j16 et 4j24 donc 4 doit divisé pgcd(16,24) qui effectivement vaut 8.Démonstration.CommedjauetdjbvdoncdjauÅbv. Par le théorème de Bézoutdjpgcd(a,b).Corollaire 2.Soienta,bdeux entiers.a,bsont premiers entre euxsi et seulement siil existeu,v2Z
tels que auÅbvAE1Démonstration.Le sens)est une conséquence du théorème de Bézout. Pour le sens(on suppose qu"il existeu,vtels queauÅbvAE1. Comme pgcd(a,b)jaalors pgcd(a,b)jau.De même pgcd(a,b)jbv. Donc pgcd(a,b)jauÅbvAE1. Donc pgcd(a,b)AE1.Remarque.Si on trouve deux entiersu0,v0tels queau0Åbv0AEd, cela n"impliquepasquedAEpgcd(a,b).
On sait seulement alors que pgcd(a,b)jd. Par exempleaAE12,bAE8; 12£1Å8£3AE36 et pgcd(a,b)AE4.
Corollaire 3 (Lemme de Gauss).Soienta,b,c2Z.
Siajbcet pgcd(a,b)AE1 alorsajcExemple : si 4j7£c, et comme 4 et 7 sont premiers entre eux, alors 4jc.
Démonstration.Comme pgcd(a,b)AE1 alors il existeu,v2Ztels queauÅbvAE1. On multiplie cetteégalité parcpour obteniracuÅbcvAEc. Maisajacuet par hypothèseajbcvdoncadiviseacuÅbcvAE
c.2.3Équations axÅbyAEcProposition 1.
Considérons l"équation
axÅbyAEc(E) oùa,b,c2Z. 1.L "équation(
E ) possède des solutions (x,y)2Z2si et seulement si pgcd(a,b)jc. 2.Si pgcd( a,b)jcalors il existe même une infinité de solutions entières et elles sont exactement les
(x,y)AE(x0Å®k,y0ůk) avecx0,y0,®,¯2Zfixés etkparcourantZ.Le premier point est une conséquence du théorème de Bézout. Nous allons voir sur un exemple comment
prouver le second point et calculer explicitement les solutions. Il est bon de refaire toutes les étapes de
la démonstration à chaque fois.Exemple 10.Trouver les solutions entières de
161xÅ368yAE115 (E)
8 -Première étape. Y a-t"il de solutions ?L "algorithmed"Euclide. On effectue l"algorithme d"Eu- clide pour calculer le pgcd deaAE161 etbAE368.368AE161£2Å46
161AE46£3Å23
46AE23£2Å0
Donc pgcd(368,161)AE23. Comme 115AE5£23 alors pgcd(368,161)j115. Par le théorème de Bézout,
l"équation ( E ) admet des solutions entières.Deuxième étape. T rouverune solution particulière : la remontée de l"algorithme d"Euclide.
On effectue la remontée de l"algorithme d"Euclide pour calculer les coefficients de Bézout.368AE161£2Å46
161AE46£3Å23
23AE161¡3£46
On trouve donc 161£7Å368£(¡3)AE23. Comme 115AE5£23 en multipliant par 5 on obtient :161£35Å368£(¡15)AE115
Ainsi (x0,y0)AE(35,¡15) est unesolution particulièrede (E). T roisièmeétape. Recherche de toutes les solutions. Soit (x,y)2Z2une solution de (E). Nous savons que (x0,y0) est aussi solution. Ainsi :161xÅ368yAE115 et 161x0Å368y0AE115
(on n"a aucun intérêt à remplacerx0ety0par leurs valeurs). La différence de ces deux égalités conduit
161£(x¡x0)Å368£(y¡y0)AE0
Nous avons simplifier par 23 qui est le pgcd de 161 et 368. (Attention, n"oubliez surtout pas cette simplification, sinon la suite du raisonnement serait fausse.) Ainsi 7j16(y¡y0), or pgcd(7,16)AE1 donc par le lemme de Gauss 7jy¡y0. Il existe donck2Ztel que¡16£7£k. D"oùx¡x0AE ¡16k. (C"est le mêmekpourxet poury.) Nous avons donc (x,y)AE(x0¡
16k,y0Å7k). Il n"est pas dur de voir que tout couple de cette forme est solution de l"équation (E). Il
reste donc juste à substituer (x0,y0) par sa valeur et nous obtenons :Les solutions entières de 161xÅ368yAE115 sont les (x,y)AE(35¡16k,¡15Å7k),kparcourantZ.Pour se rassurer, prenez une valeur dekau hasard et vérifiez que vous obtenez bien une solution de
l"équation. 2.4 ppcmDéfinition 4.Le ppcm(a,b) (plus petit multiple commun) est le plus petit entierÊ0 divisible para
et parb.Par exemple ppcm(12,9)AE36.
Le pgcd et le ppcm sont liés par la formule suivante :Proposition 2.
Sia,bsont des entiers (non tous les deux nuls) alors 9pgcd(a,b)£ppcm(a,b)AEjabjDémonstration.PosonsdAEpgcd(a,b) etmAEjabjpgcd(a,b). Pour simplifier on supposeaÈ0 etbÈ0. On écrit
aAEda0etbAEdb0. AlorsabAEd2a0b0et doncmAEda0b0. AinsimAEab0AEa0best un multiple deaet deb.Il reste à montrer que c"est le plus petit multiple. Sinest un autre multiple deaet debalorsnAEkaAE`b
donckda0AE`db0etka0AE`b0. Or pgcd(a0,b0)AE1 eta0j`b0donca0j`. Donca0bj`bet ainsimAEa0bj`bAEn.Voici un autre résultat concernant le ppcm qui se démontre en utilisant la décomposition en facteurs
premiers :