L’ANNEAU Z ET SES QUOTIENTS

ANNEAUX ET CORPS

L'image d'un sous-anneau par un morphisme est un sous-anneau CARACTÉRISTIQUE 5 1 Le morphisme d'anneaux : ﬁ A n n 1 A a un noyau de la forme k L'entier positif k est appelé caractéristique de A A est de caractéristique nulle Û "n ˛ * ; n 1 A „ 0 Sinon, A est de caractéristique inf{n ˛ * ; n 1 A = 0} (c'est alors l'ordre additif

Alg bre Cours 9 [3ex] Anneaux

élément Montrer qu’il existe sur A une unique structure d’anneau unitaire, que cette structure est commutative et que 1 = 0 Inversement, que peut-on dire d’un anneau unitaire (A,+,∗) tel que 1 = 0 Exemple Anneaux de nombres Les ensembles suivants ont une structure naturelle d’anneau unitaire :Z, Q, R, C Citons aussi

ANNEAUX ET CORPS PRÉPARATION À L’AGRÉGATION EXTERNE

Un sous-anneau d’un anneau (A;+;) est un sous-ensemble Bde Acontenant 0 A et 1 A tel que B muni de la restriction des opérations + et est un anneau (c’est-à-dire qu’il est stable par addition et multiplication)

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Si × admet un élément neutre 1 on dit que l’anneau est unitaire Si × est commutative on dit que l’anneau est commutatif L’anneau des matrices d×d pour d ≥ 2 est unitaire mais pas commutatif Les ensembles Ret Zsont des anneaux Soit A un anneau commutatif Un idéal de A est un sous-ensemble non-videI tel que (I,+)

ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

4 3 Seconde application : factorialit e de l’anneau des polyn^omes sur un anneau factoriel 67 Universit e Blaise Pascal, Licence de Math ematiques, U E 35MATF2, Alg ebre : groupes et anneaux 1, F Dumas

ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012–2013

1 1 Idéaux — Si Aest un anneau, une partie I Aest un idéal si c’est un sous-groupe additif et si, pour tout a2Aet tout b2I, on a ab2I C’est exactement la propriété qu’il faut pour pouvoir mettre sur le groupe additif A=Iune structure d’anneau qui fait de la projection canonique AA=Iun morphisme d’anneaux

Groupes, anneaux, corps

Soit ( ) un groupe d’élément neutre 1 Soit l’application de dans qui à tout élément son inverse Prouver que est un (homo)morphisme de groupe si et seulement si est abélien 2 Soit un élément d’ordre fini de Justifier que la partie { } est un sous-groupe de 3

Cours de théorie des corps

de corps ϕ: K → Lsont les morphismes d'anneaux entre deux corps Il résulte de la nature des idéaux d'un corps qu'un tel morphisme est ou bien nul ( ϕ(x) = 0 pour tout xde K), ou bien injectif Dans tout ce cours on suppose que les morphismes de corps ϕ: K→ Lsont unitaires, c'est à dire

Master-1 de mathématiques (MAlg 1), 2004/2005 module MAlg 1

– Solution d’un système algébrique et homomorphismes d’anneaux – Variétés aﬃnes (exemples) Courbes planes, points singuliers – Cubiques planes, lois de groupe, points rationnels sur des exemples PRÉREQUIS : Le cours est accessible aux étudiants de Master 1 en Mathématiques et en Informatique Tous les résultats des cours d

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