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Conversion dun entier Méthode par soustraction

Soit 173 à convertir en base b = 16 173 16 13 10 173 = 10 16 + 13 avec 10 = A 16 et 13 = D 16 Le résultat est (173 )10 = ( AD )16 G Koeper Numération et Logique Conversion entre bases L1 2014-2015 53 Les multiples de la base b On considère la forme polynomiale d'un entier écrit en base b n b = ( s k s k 1:::s 1 s 0)b

Passerelle entre la base 16 et la base 2

convertir en héxadécimal_ Résultat obtenu : Exemple : Soit le nombre 23D516 à convenir en binalre Résultat obtenu : 11 1101 101 Passage de la base 2 à la base 16 On décompose ce nombre par tranches de 4 bits à partir du bit de poids faible ( 2 On complète la demière tranche (celle des bits de poids forts)par des 0 s'il y a lieu

Conversion d’un nombre décimal entier vers une base B quelconque

Conversion d’un nombre décimal entier vers une base B quelconque Rappel : valeur de chaque chiffre Nous avons vu précédemment comment convertir un nombre de base quelconque en base 10 Il suffit pour ce faire d’avoir compris le principe de la numération de position

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–Convertir un nombre N exprimé en base 8 vers la base 2 s’effectue en remplaçant chacun des chiffres du nombre par leur équivalent binaire sur 3 bits –Convertir un nombre N exprimé en base 2 vers la base 8 s’effectue en découpant la chaîne binaire N en paquet de 3 bits depuis le bit de poids faible jusqu’au bit de poids fort pour la

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base 10 Por ejemplo, para convertir un número en base 3 a base 7 el proceso a seguir sería: Nº EN BASE 3 N EN BASE 10 Nº EN BASE 7 →CONVERTIR CONVERTIR →º En el caso de que una de las bases sea una potencia de la otra, la conversión puede hacerse de forma directa, sin pasar por la base 10

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Estas relaciones de equivalencia permiten convertir un valor de H de una base a otra y son independientes de la masa del material (ecuaciones 4 y 5) La ecuación (6) permite realizar la conversión entre ambas bases incluyendo la masa húmeda y la masa seca del material Al evaluar numéricamente las relaciones de

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IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesSystèmes de nombres IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesRappel

Dans un système en base X, il faut X symboles

différents pour représenter les chiffres de 0 à X-1

Base 2:0, 1

Base 5:0, 1, 2, 3, 4

Base 8:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Base 10:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Base 16:0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesSystèmes de nombres

SystèmeBaseSymboles

Décimal100, 1, ... 9

Binaire20, 1

Octal80, 1, ... 7

Hexadécimal160, 1, ... 9, A, B, ... F

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesQuantité/Comptage

DécimalBinaireOctalHexadécimal

0000 1111
21022
31133

410044

510155

611066

711177

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion d'une base à une autre •Exemples:

HexadécimalDécimalOctal

Binaire

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

2510 = 110012 = 318 = 1916

Base IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesRappel, système décimal

Le nombre 125 signifie:

1 groupe de 100 (100 = 102)

2 groupes de 10 (10 = 101)

5 groupes de 1 (1 = 100)

KC IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesPlacer les valeurs

Système décimal

3 groupes de 1000

7 groupes de 100

3 groupes de 10

2 groupes de 1 Exemple: 3 7 3 2

/KC IFT-1215Introduction aux systèmes informatiques12510 =>5 x 100= 5

2 x 101= 20

1 x 102= 100

125 = 1 x 102 + 2 x 101 + 5 x 100

BasePoidsReprésentation d'un nombre N en base X Représentation d'un nombre N en base X : Nx = ∑diXi

Chiffre de

poids faibleChiffre de poids fort IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X•Exemples:

HexadécimalDécimalOctal

Binaire

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X •Conversion d'un nombre entier -Méthode des divisions successives -Méthode des soustractions successives IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X •Conversion d'un nombre entier -Méthode des divisions successives •N est itérativement divisé par X jusqu'à obtenir un quotient égal à 0 •La conversion du nombre N dans la base X est obtenue en notant les restes de chacune des divisions effectuées depuis la dernière division jusqu'à la première IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X •Conversion d'un nombre entier -Méthode des divisions successives

12510 = ?2125 2

1 62 2 0 31 2 1 15 2

1 7 2

1 3 2

1 1 2

1 0 12510 = 11111012

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X •Conversion d'un nombre entier -Méthode des soustractions successives •La plus grande puissance de X qui est inférieure ou

égale à N est soustraite à N.

•Répéter jusqu'à obtenir un résultat égale à 0 •Le nombre N exprimé en base X est obtenu en notant le nombre de fois où une même puissance de X a été retirée et ce pour chaque puissance depuis la plus grande apparaissant dans l'ordre décroissant des puissances. IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X •Conversion d'un nombre entier -Méthode des soustractions successives

23510 = ?8

23510 = 3 x 64 + 5 x 8 + 3 x 1 = 353880 = 1; 81 = 8; 82 = 64; 83 = 512

235 - 64 = 171; 171 - 64 = 107; 107 - 64 = 43; => 3 x 64

43 - 8 = 35; 35 - 8 = 27; 27 - 8 = 19; 19 - 8 = 11; 11 - 8 = 3 => 5 x 8

3 - 1 = 2; 2 - 1 = 1; 1 - 1 = 0; => 3 x 1

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base 10 vers une base X •Conversion d'un nombre fractionnaire -Nombre N est fractionnaire •Sa partie entière vers une base X -Méthode des division successives -Méthode des soustractions •Partie fractionnaire -Multiplier cette partie fractionnaire par la base X -La multiplication est itérée sur la partie fractionnaire du résultat obtenu -Prendre des parties entières de chacun des résultats des multiplications effectuées IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion d'un nombre fractionnaire •Décimal en binaire

3.14579 .14579

x 2

0.29158

x 2

0.58316

x 2

1.16632

x 2

0.33264

x 2

0.66528

x 2

1.33056

etc.11.001001... Le développement s'arrête lorsque la précision voulue est obtenue IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base X vers la base 10•Exemples:

HexadécimalDécimalOctal

Binaire

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé en base X vers la base 10 •Technique -Multiplier chaque digit par la base Xn, où n est le "poids" de ce digit -Additionner les résultats Nx = dn ... d0 = dn x Xn + dn-1 x Xn-1 + ... + d0 x X0 IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

1010112 => 1 x 20 = 1

1 x 21 = 2

0 x 22 = 0

1 x 23 = 8

0 x 24 = 0

1 x 25 = 32

4310Bit "poids 0"

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesFractions •Décimal (rappel)

3.14 =>4 x 10-2 = 0.04

1 x 10-1 = 0.1

3 x 100 = 3

3.14 IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesFractions •Binaire vers décimal

10.1011 => 1 x 2-4 = 0.0625

1 x 2-3 = 0.125

0 x 2-2 = 0.0

1 x 2-1 = 0.5

0 x 20 = 0.0

1 x 21 = 2.0

2.6875

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé dans la base 8, 16 vers la base 2 (et vice versa) •Toutes les informations sont représentées dans un ordinateur sous forme d'une chaîne binaire -Base de représentation - base 2 -Chaînes binaires ne sont pas aisément manipulables par l'esprit humain •Deux autres bases sont très souvent utilisées -La base 8 (système octal) -La base 16 (système hexadécimal) IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé dans la base 8, 16 vers la base 2 (et vice versa)

HexadecimalOctal

Binary

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiques•Technique -Convertir un nombre N exprimé en base 8 vers la base 2 s'effectue en remplaçant chacun des chiffres du nombre par leur équivalent binaire sur 3 bits -Convertir un nombre N exprimé en base 2 vers la base 8 s'effectue en découpant la chaîne binaire N en paquet de 3 bits depuis le bit de poids faible jusqu'au bit de poids fort pour la partie entièreConversion du nombre N exprimé dans la base 8 vers la base 2 et vice versa IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

7058 = ?2

7 0 5

111 000 101

7058 = 1110001012

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

10110101112 = ?8

1 011 010 111

1 3 2 7

10110101112 = 13278Digit de

poids faible IFT-1215Introduction aux systèmes informatiques•Technique -Convertir un nombre N exprimé en base 16 vers la base 2 s'effectue en remplaçant chacun des chiffres du nombre par leur équivalent binaire sur 4 bits -Convertir un nombre N exprimé en base 2 vers la base 16 s'effectue en découpant la chaîne binaire N en paquet de 4 bits depuis le bit de poids faible jusqu'au bit de poids fort pour la partie entièreConversion du nombre N exprimé dans la base 16 vers la base 2 et vice versa IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

10AF16 = ?2

1 0 A F

0001 0000 1010 1111

10AF16 = 00010000101011112

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

10101110112 = ?16

10 1011 1011

2 B B

10101110112 = 2BB16

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiques•Technique -Convertir un nombre N exprimé en base 8 (16) vers la base 2 s'effectue en remplaçant chacun des chiffres du nombre par leur équivalent binaire sur 3 (4) bits -Convertir un nombre N exprimé en base 2 vers la base 8 (16) s'effectue en découpant la chaîne binaire N en paquet de 3 (4) bits depuis le bit de poids fort jusqu'au bit de poids faible pour la partie fractionnaireFractions IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesFractions •Octal vers binaire

0.148 = ?2

0 . 1 4

000 001 100

0.148 = 0.0011002

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesFractions •Binaire vers octal

10.111012 = ?8Digit de

poids faibleDigit de poids fort

010 . 111 010

2 7 2

10.111012 = 2.728

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesFractions •Binaire vers hexadécimal

10.111012 = ?16Digit de

poids faibleDigit de poids fort

0010 . 1110 1000

2 E 8

10.111012 = 2.E816

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesConversion du nombre N exprimé dans la base 8 vers la base 16 et vice versa•Technique -Utiliser système binaire comme un système intermédiaire

Base 8 Base 2Base 16

Base 16 Base 2Base 8

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

10768 = ?16

1 0 7 6

001 000 111 110

2 3 E

10768 = 23E16Digit de

poids faible IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple

1F0C16 = ?8

1 F 0 C

0001 1111 0000 1100

1 7 4 1 4

1F0C16 = 174148

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesMesure de la quantité d'information•Base 10

PuissanceNomSymbole

10-12picop

10-9nanon

10-6microm

10-3millim

103kilok

106megaM

109gigaG

1012teraTValeur

.000000000001 .000000001 .000001 .001 1000

1000000

1000000000

1000000000000

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesMesure de la quantité d'information •Base 2

PuissanceNomSymbole

210kilok

220megaM

230GigaGValeur

1024

1048576

1073741824

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesExemple / 230 = IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesAddition binaire •Deux valeurs de 1 bit

ABA + B

000 011 101

1110"deux"

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesAddition binaire •2 valeurs de n-bits -Additionner les bits dans chaque position -Propager les retenues

10101 21

+ 11001 + 25

101110 4611

IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesMultiplication •Décimal (rappel) 35
x 105 175
000 35
3675
IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesMultiplication •2 valeurs de 1-bit

ABA ´ B

000 010 100
111
IFT-1215Introduction aux systèmes informatiquesMultiplication •2 valeurs de n-bits •Comme les valeurs décimales 1110
x 1011 1110
1110
0000 1110

10011010

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