Place les cartes bleues dans les cases blanches pour que la
Matrice 2 Soustractions a trous Place les cartes bleues dans les cases blanches pour que la soustraction soit juste 0 2 3 4 5 9 4 - 3 6
Calcul matriciel Matrices Cours
On appelle MATRICE IDENTITÉ (ou matrice unité) une matrice carrée dont tous les coefficients de la diagonale issue du coin en haut à gauche sont égaux à 1, et dont tous les autres coefficients sont nuls Autrement dit, est une matrice identité si : si et si On note la matrice identité d’ordre
1) Définitions, exemples1) Définitions, exemples
• La matrice « soustraction » A−B est définie par A + ( −1)B et correspond donc bien à la soustraction de chaque coefficient de B au coefficient de A qui lui correspond • Les formules de calcul algébrique habituelles restent vraies pour le calcul matriciel :
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Dans la matrice générique l La matérialité des variables Dans la matrice générique 2 Le quantiel De la torsion au nombre imaginaire La non-philosophie comme quart-de-la-philosophie CHAPITRE V SOUSTRACTION ET SUPERPOSITION De la Différence ontologique à la superposition de l' Un L'immanence radicale par addition et idempotence
Un rappel sur les matrices - ResearchGate
Cette matrice est une matrice de m lignes et de n colonnes : 11 1 1 n ij ij mmn aa aa aa == A " ## " Une matrice V qui ne comporte qu’une seule colonne, V∈Rm*1, est appelé un vecteur colonne
Les questions de mathématiques
la soustraction répétée une matrice 5 x 3 = 15 3 x 5 = 15 15 ÷ 5 = 3 15 ÷ 3 = 5 Les réponses de mathématiques mardi a) 12 ÷ 4 = 3 b)15 ÷ 3 = 5 c)5 ÷ 1 = 5
a b - personalutdallasedu
D’UNE MATRICE QUELCONQUE Dans le cas d’une matrice quelconque, la transformation lineaire associ´ ee´ a cette matrice d` eforme toujours le cercle unitaire en ellipse, mais les vec-´ teurs propres de cette matrice ne correspondent plus aux axes principaux de l’ellipse Ainsi, la matrice B = 4 3 1 2 (IV 153) Abdi H, Valentin D 2005
Université de Constantine 1 Département de Sciences et
B = A' La matrice B est égale à la matrice A transposée E = inv(A) La matrice E est égale à la matrice A inversée C = A + B Addition D = A - B Soustraction Z = X*Y Multiplication X = B/A Division (Équivalent à B*inv(A)) [ X = A\B Équivalent à inv(A)*B ]
Leçon 1 : Des groupes égaux - Grade 3 Muise
2 sur 4 et une matrice de 4 sur 2, puis écrire les opérations 4 × 2 = 8 et 2 × 4 = 8 3 Les élèves doivent dessiner une matrice de 3 sur 4 et une matrice de 4 sur 3 sur du papier quadrillé Ils doivent expliquer que les deux matrices ont 12 carrés parce qu’on peut tourner la matrice de 4 sur 3 pour obtenir la matrice de 3 sur 4
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Page 1
Terminales option maths expertes - 2020 / 21 M1 - exe1) Définitions, exemples1) Définitions, exemples1) Définitions, exemples1) Définitions, exemples
Définition
On appelle matrice d"ordre
n × p ou (n ; p) un tableau de nombres réels possédant n lignes et p colonnes.On note la matrice
A sous la forme (aij) où 1  i  n et 1  j  p et aij est le coefficient situé sur la i-ème ligne et
j-ème colonne.Exemple
A = AEÅÄ
2 4 3-1
5 1 0 2
est une matrice d"ordre......................... et 4 = .......... tandis que 5 = .......... et que 0 = ..........
Cas particuliers
• Une matrice d"ordre .................. est appelée matrice - ligne d"ordre p.Par exemple,
( )0 1-6 5 4 est une matrice - ligne d"ordre 5. • Une matrice d"ordre ...................... est appelée matrice - colonne d"ordre n.Par exemple,
AEÅÄ
-1 2 est une matrice - colonne d"ordre 3. • Une matrice d"ordre n × n est appelée matrice ........................... d"ordre n.Par exemple,
AEÅÄ
-1 0 3 1 est une matrice carrée d"ordre 2. On appelle diagonale d"une matrice carrée d"ordre n, l"ensemble des termes .......... (où 1  i  n) joignant lecoin en haut à gauche du coin en bas à droite. Si tous les autres termes sont nuls, la matrice carrée est dite
diagonale. Par exemple,AEÅÄ
0-5 0 0 0 2 est une matrice diagonale d"ordre 3.Si de plus les termes de la diagonale sont tous égaux à 1, la matrice est appelée identité d"ordre
n et notée In.Par exemple,
I4 = est la matrice identité d"ordre 4.Remarque
Deux matrices de mêmes ordres sont dites égales si leurs coefficients situés aux mêmes places sont deux à deux
égaux.
Par exemple,
AEÅÄ
x23 2 1 = AEÅÄ 4 3 2 1 si et seulement si x =.........................................Page 2
2) Opérations sur les matrices2) Opérations sur les matrices2) Opérations sur les matrices2) Opérations sur les matrices
a) a) a) a) TranspositionTranspositionTranspositionTranspositionDéfinition
La transposée d"une matrice
A d"ordre n × p est la matrice d"ordre p × n, notée tA, dont les lignes sont les colonnes de A (ou dont les colonnes sont les lignes de A). SiA = (aij) alors tA = (tij) où tij =
Exemple
A = AEÅÄ
2 5 1 6 d"ordre 3 × 2, et tA = d"ordre...............b) Produit par une constante réelleb) Produit par une constante réelleb) Produit par une constante réelleb) Produit par une constante réelle
Définition
Le produit d"une matrice
A d"ordre n × p par un réel k est la matrice d"ordre n × p, notée kA, obtenue en multipliant
tous les coefficients deA par k.
SiA = (aij) alors kA = (sij) où sij =
Exemple
SiA = AEÅÄ
1-3 5 4
2 3 3-2
, alors 3A = c) Additionc) Additionc) Additionc) AdditionDéfinition
La somme de deux matrices
A et B de même ordre n × p, est la matrice d"ordre n × p, notée A+B, dont les coefficients sont tous égaux aux sommes des coefficients deA et B qui se correspondent.
Si A = (aij) et B = (bij) alors A+B = (cij) où cij =Exemple
SiA = AEÅÄ
et B = AEÅÄ , alors A+B =Page 3 Remarques
• La matrice " soustraction » A-B est définie par A + (-1)B et correspond donc bien à la soustraction de
chaque coefficient deB au coefficient de A qui lui correspond.
• Les formules de calcul algébrique habituelles restent vraies pour le calcul matriciel : Si A, B et C sont des matrices de mêmes dimensions, et k, k" deux réels, alors :A+B = B+A
A+B)+C = A+(B+C)
k(A+B) = kA+kB d) Multiplicationd) Multiplicationd) Multiplicationd) MultiplicationDéfinition
Si L est une matrice ligne d"ordre n et C une matrice colonne d"ordre n, alors le produit de L par C, noté LC, est le nombre obtenu en multipliant les coefficients correspondants de L etC puis en faisant la somme des produits :
SiL = ( )l1l2l3...ln et C =
AEÅÅÄ
c1 c2 c3 cn alors LC =Exemple
( )5 1-3 2×AEÅÅÄ
ÕÕÔ4
6 -1 3Remarques
On ne peut multiplier une ligne par une colonne que s"ils possèdent le même nombre de coefficients.
Définition
Soit A une matrice d"ordre n×p et B une matrice d"ordre p×m.Alors la matrice produit, notée
AB, est une matrice d"ordre n×m.
On la définit de la façon suivante :
Le coefficient de la matrice
AB situé à l"intersection de la ligne i et de la colonne j, est le produit de la ième ligne de
A par la jème colonne de B.
Page 4 Exemple
AEÅÅÄ
ÕÕÔ1 1 53 2 80 7 45 5 3
AEÅÄ
2 3 1 5
6 0 2 7
Remarques
• On ne peut multiplier A par B que si A possède autant de..................... que B n"a de ........................
• SiA = (aij) avec 1  i  n et 1  j  p et si B = (bjk) avec 1  j  p et 1  k  m, alors
AB = (dik) avec 1  i  n et 1  k  m et dik = • Là aussi, la plupart des formules habituelles restent vraies :A(BC) = (AB)C
A(B+C) = AB+AC
A+B)C = AC+BC
Attention
SiA = AEÅÄ
2 1 4 7 et B = AEÅÄ 3-2 4-4 alors AB = et BA =D"autre part si
A = AEÅÄ
-1 1 2-2 et B = AEÅÄ 3 1 3 1 alors AB = AB n"est en général pas égal à BA ! Le produit matriciel n"est pas commutatif. AB peut être nul sans quel A ni B ne le soient.Page 5
eeee) Matrice identité) Matrice identité) Matrice identité) Matrice identitéContexte
• Dans ? l"addition possède un élément neutre : 0.En effet, pour tout réel
x, on a : 0+x = x+0 = x.De plus tout réel possède un élément symétrique pour l"addition appelé " opposé », noté " -
x » et qui vérifie : x+(-x) = (-x)+x = 0. • Dans ? la multiplication possède un élément neutre :En effet, pour tout réel
x, on a :De plus tout réel non nul possède un élément symétrique pour la multiplication appelé " », noté
" » et qui vérifie :Observation
Considérons
I2 = AEÅÄ
1 0 0 1 et une matrice carrée d"ordre 2 quelconque A = AEÅÄ a b c d A×I2 = et I2×A =La matrice identité
In d"ordre n est l"unique matrice carrée d"ordre n telle que pour toute matrice A carrée d"ordre n
on ait :A×In = In×A = A
On dit que
In est l"élément neutre pour le produit matriciel.3) Utilisation des matrices3) Utilisation des matrices3) Utilisation des matrices3) Utilisation des matrices
a) Matrice inversea) Matrice inversea) Matrice inversea) Matrice inverseToute matrice carrée ne possède pas d"élément symétrique par rapport au produit matriciel.
Quand c"est le cas, la matrice
A est dite inversible et son symétrique est noté A-1.Définition
SoitA une matrice carrée d'ordre n.
On dit que
A est inversible s"il existe une matrice carrée d"ordre n notée A-1 telle que l"on ait :A×A-1 = A-1×A = In
Cas particulier
n = 2AEÅÄ
a b c d× AEÅÄ
d-b -c a = et AEÅÄ d-b -c a × AEÅÄ a b c dPage 6 Si on note δ =
ad-bc alors AEÅÄ a b c d× AEÅÄ
d-b -c a = AEÅÄ d-b -c a × AEÅÄ a b c dOn en déduit le :
Théorème
SoitA = AEÅÄ
a b c d une matrice carrée d"ordre 2.Soit δ =
ad-bc le déterminant de la matrice A (que l"on note parfois det(A)).Alors la matrice
A est inversible si et seulement si δ ≠ 0, et dans ce cas on a alors : A-1 = .Exemples
SiA = AEÅÄ
4 3 6 5 alors SiA = AEÅÄ
7-2 -1,75 0,5 alorsb) Système d"équationsb) Système d"équationsb) Système d"équationsb) Système d"équations
Principe
Tout système de n équations à n inconnues a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2 an1x1+an2x2+...+annxn=bn s"écrit sous la forme AX = B où A =AEÅÅÄ
a11a12...a1n a21a22...a2n an1an2...ann est la matrice carrée d"ordre n des coefficients du système, X =AEÅÅÄ
x1 x2 xn la matrice colonne d"ordre n des inconnues, et B =AEÅÅÄ
b1 b2 bn la matrice colonne d"ordre n des seconds membres. Alors le système admet une solution unique si et seulement si A est inversible et la solution est alors X = A-1×B.Exemple
2x-3y=1
-4 x+5y=2 ñ AX = B avec A = X = et B = Ordet(A) = donc A est inversible et X = A-1×B = donc la solution du système est le
couplePage 7
c) Puissancesc) Puissancesc) Puissancesc) Puissances de matricesde matricesde matricesde matrices
Définition
SoitA une matrice carrée.
On pose :
A0 = In ;
• Pour tout entier n à 0 : An+1 = An×A = A×An.Exemple
A = AEÅÄ
2 0 0 3Calculons les premières puissances de
A : A0 = A1 = A2 = A3 =Montrons par récurrence que pour tout entier
n à 0 on a : An =Théorème (admis)
Toute puissance
n d"une matrice diagonale est une matrice diagonale.Autrement si
A est une matrice carrée diagonale, alors pour tout entier naturel n, An est une matrice carrée
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