TS spé Cours sur les puissances de matrices
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Puissance d'une matrice et décomposition spectrale Calcul des puissances d'une matrice Matrices diagonalisables Exemple 1 reset() A= matrix(QQ,[[2, 1, 1],[1,2,1], [1, 1, 2]])
Suite de matrices Cours 1 Puissance dune matrice
Puissance d'une matrice Soit D une matrice diagonale D= diag (d 1,d 2, ,d k) d'ordre k et n un tier en naturel La puissance n-ième de D est la matrice D n= diag ‰dn 1,d 2, ,d n kŽ Théorème 1 ⋆⋆ ⋆⋆ ⋆⋆ que emar R: En général, on p ourra utiliser ce théorème t directemen ec v a les matrices dia-gonales, sauf si t
Puissance n-ième d’une matrice Limite
TS : Puissance n-ième d’une matrice Limite page 3 (C) Diagonalisation d’une matrice carrée d’ordre 2 Définition 3 Une matrice carrée A est dite diagonalisable s’il existe une matrice carrée P inversible et une ma-trice carrée D diagonale telles que A ˘PDP¡1 Remarque Si A ˘PDP¡1, on obtient An de manière simple
Définition et opérations sur les matrices
La puissance d’une matrice diagonale est une matrice diagonale dont les termes sont les puissances de termes initiaux Soit une matrice 1 2 0 0 n D O O O
Série 6 (Corrigé) - Puissance Maths
Exercice 2 Soit A = 0 3 1 4 1 1 2 2 4 a) Montrer que la décomposition LU de la matrice obtenue en permutant les lignes 1 et 2 de la matrice A s’écrit PA = LU, où P est une matrice élémentaire (matrice de permutation)
Calcul matriciel
1 Calculer J2 et en déduire que A2 est combinaison linéaire de J et de In 2 En déduire que A2 est combinaison linéaire de A et In 3 Prouver que A est inversible et exprimer sa matrice inverse comme combinaison linéaire de A et de In SVF 111 A l’aide de la formule du binôme de Newton, calculer la puissance n-ième des matrices
CALCUL MATRICIEL Exercices - bagbouton
2 b) En déduire alors, pour tout entier naturel n, l'expression sous forme de tableau de la matrice A n 3 a) ( ) ( )Développer le produit + × − + I J I J J 2 b) En déduire que A est inversible et préciser A −1 en fonction de I et J Vérifier que l'égalité obtenue à la question 2 a) reste vraie si n =− 1
Taguchi orthogonal arrays - Pennsylvania State University
b is tested at level 1 twice, level 2 twice, and level 3 twice (twice for all 3 levels) Similarly, parameters c and d are tested twice at levels 1, 2, and 3 (all L levels) The same thing holds when parameter a is at level 2 or level 3 The same thing holds for all of the parameters Hence, our definition of an orthogonal array also
Exercices de programmation en CAML - Alexandre Meslé
Exercice 15 Ecrire la fonction compare lettres : char -> char -> bool telle que compare lettres a b re-tourne vrai ssi la lettre a et situ ee avant la lettre b dans l’alphabet ou si les deux lettres sont les m^emes
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Taguchi Orthogonal Arrays, Page 1
Taguchi Orthogonal Arrays
Author: John M. Cimbala, Penn State University
Latest revision: 17 September 2014
Introduction
There are options for creating Taguchi arrays for the design of experiments, depending on how many times
you choose to test each level of each parameter. For example, consider an experiment with 3 parameters and 3 levels of each parameter (P = 3 and L = 3), asdiscussed in a previous learning module. We showed two Taguchi arrays for this case: o a 6-run array for testing each level of each parameter twice
o a 9-run array for testing each level of each parameter three timesThe 9-run array is more desirable (if cost and time permit) because for each level of any one parameter, all
three levels of the other parameters are tested. Of course, either array here costs less to run than a full-
factorial analysis, since the number of required runs for a full factorial analysis is N = LP = 3 3 = 27.We call a Taguchi array an orthogonal array (some authors call it a full orthogonal array) when for each
level of a particular parameter, all L levels of each of the (P-1) other parameters are tested at least once.
Sometimes, as P increases, it is necessary to test all levels of all parameters more than once in order to meet
the rules for Taguchi arrays, as discussed previously. In such cases, there should be no unnecessary repeats. For example, consider the P = 4, L = 3 case on the next page. When parameter a is at level 1, parameter b is
tested at levels 1, 2, and 3 (all levels). Similarly, parameters c and d are tested at levels 1, 2, and 3 (all L
levels). The same thing holds when parameter a is at level 2 or level 3. The same thing holds for all
of theparameters. Hence, we see that the definition of an orthogonal array holds for this case - for each level of a
particular parameter, all L levels of each of the (P-1) other parameters are tested at least once - only once in
this particular case. The required number of runs is therefore 3 (L = 3 levels) 3 (each level of each
parameter tested 3 times) = 9 required runs for this orthogonal array. Consider another example, the P = 5, L = 3 case on the next page. When parameter a is at level 1, parameter
b is tested at level 1 twice, level 2 twice, and level 3 twice (twice for all 3 levels). Similarly, parameters c and
d are tested twice at levels 1, 2, and 3 (all L levels). The same thing holds when parameter a is at level 2 or
level 3. The same thing holds for all of the parameters. Hence, our definition of an orthogonal array also
holds for this case - for each level of a particular parameter, all L levels of each of the (P-1) other parameters
are tested at least once - actually twice in this particular case. The required number of runs is therefore 3 (L =
3 levels) 6 (each level of each parameter tested 6 times) = 18 required runs for this orthogonal array. Orthogonal arrays are the "best" and most common type of Taguchi array, and you are encouraged to use
orthogonal arrays whenever time and cost permit. A table of Taguchi orthogonal arrays is provided below
for values of P (number of parameters) ranging from 2 to 5, and L (number of levels) ranging from 2 to 5.
P =L = 2 3 4 5
2Taguchi Orthogonal Arrays, Page 2
P =L = 2 3 4 5
3 4Taguchi Orthogonal Arrays, Page 3
P =L = 2 3 4 5
5Bottom line: Experimental test arrays are usually chosen based on a compromise between the cost of the
experiments (cost includes the time required to run the experiments) and required accuracy of the results.
Below is a hierarchy of how you should choose a test array: