[PDF] 1) Equations d’un plan a) Vecteur normal à un plan

Table E The Standard Normal Distribution

644 Appendix C Tables A–22 Table E The Standard Normal Distribution Cumulative Standard Normal Distribution z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 23 4 0003

std normal table - University of Arizona

z 0 00 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 0 0 0 5000 0 5040 0 5080 0 5120 0 5160 0 5199 0 5239 0 5279 0 5319 0 5359 0 1 0 5398 0 5438 0 5478 0 5517 0 5557 0

Normal & Tangential ( Coordinates

2 Question of the Day A particle moves in a circular path of radius r = 0 8 m with constant speed (v) of 2 m/s The velocity undergoes a vector change v from A to B ME 231: Dynamics

STU Z Table - University of Arizona

STANDARD NORMAL DISTRIBUTION: Table Values Represent AREA to the LEFT of the Z score Z 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 0 0 50000 50399 50798 51197 51595

THE NEW NORMAL - Miami-Dade County

CARLOS A GIMENEZ MAYOR MIAMI-DADE COUNTY May 15, 2020 Throughout my 45-year career in public service, I have been involved in one way or another in responding to

Table of Standard Normal Probabilities for Negative Z-scores

Table of Standard Normal Probabilities for Negative Z-scores z 0 00 0 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 09 -3 4 0 0003 0 0003 0 0003 0 0003 0 0003 0 0003 0 0003

Shpërndarja normale dhe shpërndrja standarde normale

lakoren normale për cilindo qoftë interval 20 Karakteristikat e Shpërndarjes normale Nuk ka vetëm një shpërndarje normale , por ekzistojnë familje e tërë e shpërndarjeve normale të cilat janë të përcaktuara nga prametrat µ, σ Nga lëvizja e tyre merr formën edhe shpërndarja normale

Loi de Poisson, loi normale

5 2 Loi normale 11 F IGURE 5 1 Table de la loi de Poisson 5 2Loi normale 5 2 1Denition Dénition 5 8 Soient m un réel et un réel positif et non nul On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi normal de paramètres m et si elle admet pour densité de probabilité : f (x ) = 1 p 2 e (x m )2 = (2 2): On dit que X suit une loi N (m; )

L’hémogramme normal : analyse et interprétation

Sa valeur normale est comprise entre 85-95µm³ Microcytose (globule rouge trop petit) si VGM˂80µm³ Macrocytose (globule rouge trop gros) si VGM>100µm³ -Concentration corpusculaire moyenne en hémoglobine (CCMH): rapport de l’hémoglobine sur l’hématocrite Sa valeur normale est comprise entre 0,32-0,36

1) Equations d’un plan a) Vecteur normal à un plan

Page 2 On dit dans ce cas que le plan horizontal (voir figure ci-avant) a pour vecteur normal le vecteur Åk du repère (O ; Åi, Åj, Åk) : cela traduit que la droite (Oz) de vecteur directeur Åk est perpendiculaire

[PDF] loi normale formule

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[PDF] calcul de la latitude

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Terminale S - 2019 / 2020 G6 - cours

L'intervention des coordonnées dans l'espace a déjà permis de traiter les vecteurs, donc la

coplanérité et l'alignement des points, puis les droites, décrites grâce à leurs représentations

paramétriques. Le produit scalaire a apporté l'orthogonalité et la capacité de mesurer des angles.

Il nous manque une description algébrique des plans.

Pour l'obtenir, on va procéder comme en première, où, pour construire l'équation cartésienne d'une

droite, on partait de la notion de vecteur normal.

1) Equations d'un plan

a) Vecteur normal à un plan

Définition

On appelle vecteur normal

Ån à un plan ? tout vecteur directeur d'une droite perpendiculaire à ?.

On dit aussi que le plan

? est orthogonal au vecteur normal Ån.

Remarque

Dire qu'un vecteur

Ån est normal à un plan ? revient à dire que toute droite dirigée par Ån est perpendiculaire à

Le vecteur normal va servir à caractériser la "direction" d'un plan, via une droit à laquelle il soit

perpendiculaire.

Intuitivement c'est assez évident; par exemple un plan peut être défini comme "horizontal" en le

décrivant comme perpendiculaire à une droite verticale. C'est cette idée qu'il s'agit d'exploiter.

Ån

Page 2

On dit dans ce cas que le plan horizontal (voir figure ci-avant) a pour vecteur normal le vecteur Åk

du repère (O ;

Åi , Åj , Åk) : cela traduit que la droite (Oz) de vecteur directeur Åk est perpendiculaire

au plan P.

Ensuite, parmi les plans "horizontaux" (il y en a une infinité, de hauteurs différentes) il faut en

isoler un, en donnant un point par lequel il passe. Dans l'exemple, P est celui qui passe par le point C(0 ;0;λ). Il est aisé de constater qu'il contient alors uniquement des points de "hauteur"

λ c'est-à-dire des

points M(x ;y;z) pour lesquels z = λ, et qu'il les contient tous !

On dit alors que "z

=λ" est l'équation du plan P. La notion d'équation de plan est donc assez simple à comprendre. On sait déjà utiliser cette notion dans le contexte des droites.

Par exemple, quand on dit que 2x

-y+3 = 0 est l'équation cartésienne d'une droite (ou bien, ce qui revient au même, sous forme affine, y = 2x +3) cela signifie d'une part que tous les points dont les coordonnées (x ;y) vérifient 2x-y+3 = 0 sont situés sur cette droite, et que réciproquement tout point de cette droite a des coordonnées (x;y) telles que 2x-y+3 = 0.

Il s'agit donc de caractériser l'appartenance d'un point (ici, de l'espace) à un plan, grâce à une

équation que vérifient alors ses coordonnées. Cette équation "devient" alors l'équation du plan grâce

à l'équivalence qu'on vient de voir, puisque seuls les points de ce plan vérifient cette équation.

b) Equation cartésienne d'un plan en repère orthonormé

On se place dans un repère orthonormé (O ;

Åi , Åj , Åk) de l'espace.

Soit ? un plan de vecteur normal Ån et A un point de ?.

On suppose

Ån connu, au sens où on connait ses coordonnées : Ån

AEÅÅÄ

a b c. On suppose de même le point A connu par ses coordonnées : A ( )x0;y0;z0.

Alors pour tout point M de l'espace :

M ? ? ? Ån est orthogonal à ÄAM ñ ÄAM ß Ån = 0 On a ainsi caractérisé l'appartenance d'un point M au plan Traduisons ce critère en équation portant sur les coordonnées de M, que l'on note M(x ;y;z). Ån •A •M

Page 3

M(x;y;z) ? ?

? ÄAMAEÅÄ x-x0 y-y0 z-z0

ß Ån

AEÅÅÄ

a b c = 0 ? a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 ? ax + by + cz + d = 0 avec d = -ax0 - by0 - cz0. Donc on constate que l'appartenance d'un point M(x ;y;z) au plan ? est équivalente à l'équation ax

+by+cz+d = 0 où a, b, c, et d ne dépendent que des données connues : les coordonnées de Ån

et de A.

Réciproquement, considérons l'ensemble

? des points M(x;y;z) tels que ax + by + cz + d = 0, où

a, v, c et d sont quatre réels quelconques, l'un au moins des trois nombres a, b ou c étant non nul.

Supposons pa exemple que a

? 0.

Alors A(- d

a +b×0+c×0+d = -d+d = 0.

Si M(x

;y;z), alors ÄAM

AEÅÄ

x+ d a y a +by+cz = ax+by+cz+d. Donc on en déduit la chaine d'équivalences suivante : M(x ;y;z) ? ? ? ax + by + cz + d = 0 ? ÄAM ß Ån = 0 ? M est dans le plan ? passant par A et de vecteur normal Ån.

On constate donc qu'une équation de type ax

+by+cz+d = 0 est celle regroupant tous les points appartenant à un plan de vecteur normal Ån

AEÅÅÄ

a b c et passant par un point A(- d a , 0 , 0).

Ainsi on peut faire le bilan suivant :

1) Soit

? le plan passant par un point A(x0 , y0 , z0) et de vecteur normal Ån(a , b , c) non nul.

Alors il existe un réel d tel que l'on ait :

M(x ;y;z) ? ? ? ax + by + cz + d = 0.

2) Réciproquement, si a, b, c et d sont quatre réels tels que a, b et c ne soient pas tous nuls,

alors l'ensemble des points M(x ;y;z) tels que ax + by + cz + d = 0 est un plan de vecteur normal

Ån(a , b , c).

Page 4

Remarque

On dit que ax + by + cz + d = 0 est l'équation cartésienne du plan ?. C'est donc l'équation que tous les points du plan ?, et seulement eux, vérifient.

Exemples

1) Trouver une équation du plan

? passant par A(2 , 1 , -3) et de vecteur normal Ån

AEÅÅÄ

1 5 2. • 1

ère méthode

On utilise la caractérisation d'un plan de laquelle on est parti : M(x ;y;z) ? ? ? ÄAM

AEÅÅÄ

x-2 y-1 z+3

ß Ån

AEÅÅÄ

1 5 2 = 0 ? 1(x - 2) + 5(y - 1) + 2(z + 3) = 0 ? x + 5y + 2z - 1 = 0. Donc ? a pour équation x + 5y + 2z - 1 = 0. • 2

ème méthode

Puisque

? a pour vecteur normal Ån

AEÅÅÄ

1 5

2, alors son équation est x + 5y + 2z + d = 0.

Pour trouver d, traduisons que A ?

2 + 5×1 + 2×(-3) + d = 0

? 1 + d = 0 ? d = -1. Donc ? a pour équation x + 5y + 2z - 1 = 0.

2) -x + 2y - 4z + 6 = 0 est l'équation d'un plan

? de vecteur normal Ån

AEÅÅÄ

-1 2 -4

Pour trouver un point de

?, il suffit de chercher une coordonnée quand les deux autres sont nulles, par exemple pour y = z = 0, il vient -x + 6 = 0 donc x = 6 et ainsi A(6 , 0 , 0) ?

Ou alors pour x = y = 0 il vient

-4z+6 = 0 donc z = 3 2 2

Page 5

c) Positions relatives

Maintenant que nous disposons d'un mode de représentation algébrique pour les droites

(représentation paramétrique) aussi bien que pour les plans (équation cartésienne), on peut faire un

bilan des différentes méthodes de détermination des positions relatives.

Droites entre elles

Dans l'espace, deux droites

? et ?' de vecteurs directeurs Åu et Äu' peuvent être : • Si Åu et Äu' sont colinéaires, alors les droites ? et ?' sont parallèles.

Un point A étant choisi sur

V si A ? ?', alors ? et ?' sont confondues.

V si A ? ?' alors ? et ?' sont strictement parallèles. • Si

Åu et Äu' ne sont pas colinéaires, alors les droites ? et ?' sont soit sécantes soit non

coplanaires.

On détermine leur intersection éventuelle.

V s'il existe une intersection M à ? et ?', alors ? et ?' sont sécantes en M. V s'il n'existe pas d'intersection à ? et ?', alors ? et ?' sont non coplanaires.

Par exemple, on dispose d'une droite d

1 de représentation

x=-2+5t y =-1-t z =3+4t, où t ☻?, et d'une droite d2 de représentation x=1-k y =4+3k z =5-k où k

Åu1

AEÅÅÄ

5 -1 4 est directeur de d1 tandis que Åu2

AEÅÅÄ

-1 3 -1 est directeur de d2. Mais 5 -1 ? -1

3 donc les vecteurs Åu1 et Åu2 ne sont pas colinéaires : d1 et d2 ne sont pas parallèles.

Cherchons leur une intersection M(x

;y;z) en posant

2+5t=1-k

-1-t=4+3k 3 +4t=5-k.

Page 6

On isole le système ÌËÊ

-2+5t=1-k -1-t=4+3k ñ ÌËÊ k=3-5t -1-t=4+3(3-5t) ñ ÌËÊ k=3-5t -1-t=13-15t t=1 k =3-5×1=-2. On teste la troisième équation : pour t = 1, 3 +4t = 7 et pour k = -2, 5-k = 7. Donc le système complet a pour solution t = 1 et k = -2.

En prenant t

=1 sans le système paramétrique de d1 on trouve x=-2+5t=3 y =-1-t=-2 z =3+4t=7.

Ainsi d

1 et d2 sont sécantes en M(3;-2;7).

Comparons maintenant d

2 à une droite d3 de représentation

x=3+2s y =-1-6s z =2s où s

Åu3

AEÅÅÄ

2 -6 2 est directeur de d3 tandis que Åu2

AEÅÅÄ

-1 3 -1 est directeur de d2. Mais Åu3 = -2Åu2 donc Åu3 et Åu2 sont colinéaires et ainsi d2 et d3 sont parallèles.

Fixons A(1

;4;5) ☻ d2.

Testons l'appartenance de A à d

3 en posant le système

3+2s=1

-1-6s=4 2s =5 s=-1 s =- 5 6 s= 5 2 Il n'y a pas de solution s aux trois équations donc A ? d3 et ainsi les droites d2 et d3 sont strictement parallèles.

Droites et plans

Dans l'espace, une droite

? de vecteur directeur Åu et un plan ? de vecteur normal Ån peuvent être : Ån Ån

Ån Åu Åu

Åu

Page 7

• Si Åu · Ån = 0, alors la droite ? est parallèle au plan ?.

Un point A étant choisi sur

V si A ? ?, alors ? est incluse dans ?.

V si A ? ?, alors ? est strictement parallèle au plan ?. • si Åu · Ån ? 0, alors la droite ? est sécante au plan ? en un point M.

Par exemple, soit

? le plan d'équation 2x - y + 3z - 2 = 0 et ? la droite de représentation paramétrique x=-2+t y =1+t z =2t où t Åu

AEÅÅÄ

1 1

2 est un vecteur directeur de la droite ? et Ån

AEÅÅÄ

2 -1 3 est un vecteur normal au plan ?.

Åu · Ån = 1×2+1×(-1)+2×6 = 13 ? 0 donc la droite ? est sécante au plan ? en un point M.

Cherchons les cordonnées de M en posant M(x

;y;z).

D'une part M

☻ ? donc il existe un réel t tel que x=-2+t y =1+t z =2t.

D'autre part M

☻ ? donc 2x-y+3z-2 = 0.

Ainsi 2(

-2+t)-(1+t)+3×2t-2 = 0 ñ -7+7t = 0 ñ t = 1. Il s'ensuite en remplaçant dans la représentation paramétrique de ? que x=-2+1=-1 y =1+1=2 z =2×1=2. Donc ? est sécante au plan ? en M(-1;2;2).

Plans entre eux

Dans l'espace, deux plans

? et ?' de vecteurs normaux Ån et Än' peuvent être :

Än'

Ån

Än'

Ån Ån

Än'

Page 8

• Si Ån et Än' sont colinéaires, alors les plans ? et ?' sont parallèles.

Un point A étant choisi dans

V si A ? ?', alors ? et ?' sont confondus.

V si A ? ?' alors ? et ?' sont strictement parallèles. • si

Ån et Än' ne sont pas colinéaires, alors les plans ? et ?' sont sécants selon une droite ?.

Par exemple, on considère les plans

?1 d'équation 2x - y - 2z - 1 = 0 et le plan ?2 d'équation

4x - 2y - 4z - 5 = 0.

?1 a pour vecteur normal Ån1

AEÅÅÄ

2 -1 -2 et ?2 a pour vecteur normal Ån2

AEÅÅÄ

4 -2 -4 Or Ån2 = 2Ån1 donc Ån1 et Ån2 sont colinéaires et les plans ?1 et ?2 sont parallèles.

Cherchons un point A dans

?1.

Par exemple en fixant x

=z=0 on trouve -y-1 = 0et donc y = -1, d'où le point A(0;-1;0) ☻ ?1.

On teste son appartenance à

?2 : 4×0-2×(-1)-4×0-5 = -3 ? 0 donc A ? ?2. Ainsi ?1 et ?2 sont strictement parallèles.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13