Python in high school - Exo7
Exo7 Python in high school Let’s go Everyone uses a computer, but it’s another thing to drive it Here you will learn the basics of programming
Exercices de math ematiques - Exo7
Exo7 Ann ee 2009 Exercices de math ematiques Exercises and corrections: Barbara Tumpach Eigenvalues and eigenvectors Exercise 1 1 Let f : R2R2 be the linear map de ned by f x y = 1 5 3x+ 4y 4x 3y : (a) Write the matrix Aof fin the canonical basis of R2 (b) Show that the vector ~v 1 = 2 1 is an eigenvector of f What is the associated
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7 Injection, surjection, bijection Exercice 1 Soient f : RR et g: RR telles que f(x)=3x+1 et g(x)=x2 1 A-t-on f g=g f ? Indication H Correction H Vidéo [000185] Exercice 2
Statistics – Data visualization
Statistics – Data visualization It’s good to know how to calculate the minimum, maximum, average and quartiles of a series It’s even better to visualize them all on the same graph
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ARITHMETIC – WHILE LOOP – I 5 Slightly modify your smallest_divisor(n) function to write your first prime function is_prime_1(n) which returns “True” if n is a prime number and “False” otherwise
Exo7 - Exercices de mathématiques
Exo7 Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire Exercice 1 Mettre sous la forme a+ib (a;b2R) les nombres : 3+6i 3 4i; 1+i 2 i 2 + 3+6i 3 4i; 2+5i 1 i + 2 5i 1+i: Indication H Correction H Vidéo [000001] Exercice 2 Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : 1 Nombre de module 2 et d’argument p=3 2 Nombre de module
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Exo7 Prolongement analytique et résidus 1 Un peu de topologie Exercice 1 Soit W=Cnf] ¥;0]g Déterminer en tout z 0 2Wla série de Taylor de la fonction holomorphe z7Logzainsi que son rayon de convergence Soit z 0 avec Re(z 0) < 0 Soit R 0 le rayon de convergence pour z 0 et soit f(z) la somme de la série dans D(z 0;R 0) A-t-on f(z)=Logz
Journal of Hand Therapy - UCLA
EXO7 39e41 The UL-EXO7 has 7 of freedom (DOF) that correspond to the DOF of the human arm It has seven single-axis revolute jointstoprovide aworkspace thatoverlaps 95 of a healthy human arm workspace and accommodates the range of motion for the flexibility needed to perform daily self care activities (see Fig 2)
Exo7 - Exercices de mathématiques
Title: Exo7 - Exercices de mathématiques Author: Exo7 Created Date: 2/7/2013 9:24:18 PM
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Exo7 Probabilité conditionnelle Exercice 1 Dans la salle des profs 60 sont des femmes; une femme sur trois porte des lunettes et un homme sur deux porte des lunettes : quelle est la probabilité pour qu’un porteur de lunettes pris au hasard soit une femme? Correction H [005992] Exercice 2
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Exo7
Injection, surjection, bijection
Exercice 1
Soientf:R!Retg:R!Rtelles quef(x) =3x+1 etg(x) =x21. A-t-onfg=gf?Soitf:[0;1]![0;1]telle que
f(x) =( xsix2[0;1]\Q;1xsinon.
Démontrer queff=id.
Soitf:[1;+¥[![0;+¥[telle quef(x) =x21.fest-elle bijective? Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives?1.f:N!N;n7!n+1
2.g:Z!Z;n7!n+1
3.h:R2!R2;(x;y)7!(x+y;xy)
4.k:Rnf1g!R;x7!x+1x1
Soitf:R!C;t7!eit. Changer les ensembles de départ et d"arrivée afin que (la restriction de)fdevienne bijective.
1.Déterminer le module et l"ar gumentde ez.
2.Calculer ez+z0;ez
;ez;(ez)npourn2Z. 3. L "applicatione xp: C!C;z7!ez, est-elle injective?, surjective? On considère quatre ensemblesA;B;CetDet des applicationsf:A!B,g:B!C,h:C!D. Montrer que : gfinjective)finjective, gfsurjective)gsurjective.Montrer que :
gfethgsont bijectives,f;gethsont bijectives: 1Exercice 8
Soitf:R!Rdéfinie parf(x) =2x=(1+x2).
1.fest-elle injective? surjective?
2.Montrer que f(R) = [1;1].
3. Montrer que la restriction g:[1;1]![1;1]g(x) =f(x)est une bijection. 4. Retrouv erce résultat en étudiant les v ariationsde f. exercices de maths sur Indication pourl"exer cice1 NProuver que l"égalité est fausse.Indication pour
l"exer cice2 Nidest l"application identité définie parid(x) =xpour toutx2[0;1]. Doncff=idsignifieff(c) =xpour toutx2[0;1].Indication pourl"exer cice3 NMontrer quefest injective et surjective.Indication pourl"exer cice4 N1.fest injective mais pas surjective.
2.gest bijective.
3.haussi.
4.kest injective mais par surjective.Indication pourl"exer cice5 NMontrer que la restriction defdéfinie par :[0;2p[!U,t7!eitest une bijection. IciUest le cercle unité deC, c"est-à-dire l"ensemble
des nombres complexes de module égal à 1.Indication pourl"exer cice7 NPour la première assertion le début du raisonnement est : "supposons quegfest injective, soienta;a02Atels quef(a) =f(a0)",... à
vous de travailler, cela se termine par "...donca=a0, doncfest injective."Indication pourl"exer cice8 N1.fn"est ni injective, ni surjective.
2.Pour y2R, résoudre l"équationf(x) =y.
3.On pourra e xhiberl"in verse.3
Correction del"exer cice1 NSifg=gfalors
8x2Rfg(x) =gf(x):
Nous allons montrer que c"est faux, en exhibant un contre-exemple. Prenonsx=0. Alorsfg(0)=f(1)=2, etgf(0)=g(1)=0
doncfg(0)6=gf(0). Ainsifg6=gf.Correction del"exer cice2 NSoitx2[0;1]\Qalorsf(x) =xdoncff(x) =f(x) =x. Soitx=2[0;1]\Qalorsf(x) =1xdoncff(x) =f(1x), mais
1x=2[0;1]\Q(vérifiez-le!) doncff(x) =f(1x) =1(1x) =x. Donc pour toutx2[0;1]on aff(x) =x. Et donc
ff=id.Correction del"exer cice3 Nfest injective : soientx;y2[1;+¥[tels quef(x) =f(y): f(x) =f(y))x21=y21 )x=yorx;y2[1;+¥[doncx;ysont de même signe )x=y:fest surjective : soity2[0;+¥[. Nous cherchons un élémentx2[1;+¥[tel quey=f(x) =x21 . Le réelx=py+1 convient!Correction del"exer cice4 N1.fn"est pas surjective car 0 n"a pas d"antécédent : en effet il n"existe pas den2Ntel quef(n) =0 (si cenexistait ce serait
n=1 qui n"est pas un élément deN). Par contrefest injective : soientn;n02Ntels quef(n) =f(n0)alorsn+1=n0+1
doncn=n0. Bilanfest injective, non surjective et donc non bijective. 2.Pour montrer que gest bijective deux méthodes sont possibles. Première méthode : montrer quegest à la fois injective et
surjective. En effet soientn;n02Ztels queg(n) =g(n0)alorsn+1=n0+1 doncn=n0, alorsgest injective. Etgest surjective
car chaquem2Zadmet un antécédent parg: en posantn=m12Zon trouve bieng(n) =m. Deuxième méthode : expliciter
directement la bijection réciproque. Soit la fonctiong0:Z!Zdéfinie parg0(m) =m1 alorsg0g(n) =n(pour toutn2Z)
etgg0(m) =m(pour toutm2Z). Alorsg0est la bijection réciproque deget doncgest bijective. 3.Montrons que hest injective. Soient(x;y);(x0;y0)2R2tels queh(x;y) =h(x0;y0). Alors(x+y;xy) = (x0+y0;x0y0)donc(
x+y=x0+y0 xy=x0y0En faisant la somme des lignes de ce système on trouve 2x=2x0doncx=x0et avec la différence on obtienty=y0. Donc les
couples(x;y)et(x0;y0)sont égaux. Donchest injective.Montrons quehest surjective. Soit(X;Y)2R2, cherchons lui un antécédent(x;y)parh. Un tel antécédent vérifieh(x;y) =
(X;Y), donc(x+y;xy) = (X;Y)ou encore :( x+y=X xy=Y Encore une fois on faisant la somme des lignes on obtientx=X+Y2 et avec la différencey=XY2 , donc(x;y) = (X+Y2 ;XY2La partie "analyse" de notre raisonnement en finie passons à la "synthèse" : il suffit de juste de vérifier que le couple(x;y)que
l"on a obtenu est bien solution (on a tout fait pour!). Bilan pour(X;Y)donné, son antécédent parhexiste et est(X+Y2
;XY2Donchest surjective.
En fait on pourrait montrer directement quehest bijective en exhibant sa bijection réciproque(X;Y)7!(X+Y2
;XY2 ). Mais vousdevriez vous convaincre qu"il s"agit là d"une différence de rédaction, mais pas vraiment d"un raisonnement différent.
4. Montrons d"abord que kest injective : soientx;x02Rnf1gtels quek(x) =k(x0)alorsx+1x1=x0+1x01donc(x+1)(x01) =
(x1)(x0+1). En développant nous obtenonsxx0+x0x=xx0x0+x, soit 2x=2x0doncx=x0.Au brouillon essayons de montrer quekest surjective : soity2Ret cherchonsx2Rnf1gtel quef(x) =y. Si un telxexiste
alors il vérifie x+1x1=ydoncx+1=y(x1), autrement ditx(y1) =y+1. Si l"on veut exprimerxen fonction deycela se faitpar la formulex=y+1y1. Mais attention, il y a un piège! Poury=1 on ne peut pas trouver d"antécédentx(cela revient à diviser
par 0 dans la fraction précédente). Donckn"est pas surjective cary=1 n"a pas d"antécédent.
Par contre on vient de montrer que s"il l"on considérait la restrictionkj:Rnf1g!Rnf1gqui est définie aussi parkj(x) =x+1x1(seull"espaced"arrivéechangeparrapportàk)alorscettefonctionkjestinjectiveetsurjective,doncbijective(enfaitsabijection
réciproque est elle même).Correction del"exer cice5 NConsidérons la restriction suivante def:fj:[0;2p[!U,t7!eit. Montrons que cette nouvelle applicationfjest bijective. IciUest le
cercle unité deCdonné par l"équation(jzj=1). 4fjest surjective car tout nombre complexe deUs"écrit sous la forme polaireeiq, et l"on peut choisirq2[0;2p[.
fjest injective : f j(t) =fj(t0),eit=eit0 ,t=t0+2kpaveck2Z ,t=t0cart;t02[0;2p[et donck=0:En conclusionfjest injective et surjective donc bijective.Correction del"exer cice6 N1.Pour z=x+iy, le module deez=ex+iy=exeiyestexet son argument esty.
2.Les résultats : ez+z0=ezez0,ez
=e z,ez= (ez)1,(ez)n=enz. 3.La fonction e xpn"est pas surjecti vecar jezj=ex>0 et doncezne vaut jamais 0. La fonction exp n"est pas non plus injective
car pourz2C,ez=ez+2ip.Correction del"exer cice7 N1.Supposons gfinjective, et montrons quefest injective : soienta;a02Aavecf(a) =f(a0)doncgf(a) =gf(a0)orgf
est injective donca=a0. Conclusion on a montré :8a;a02A f(a) =f(a0))a=a0
c"est la définition definjective. 2.Supposons gfsurjective, et montrons quegest surjective : soitc2Ccommegfest surjective il existea2Atel que
gf(a) =c; posonsb=f(a), alorsg(b) =c, ce raisonnement est valide quelque soitc2Cdoncgest surjective. 3. Un sens est simple (()sifetgsont bijectives alorsgfl"est également. De même avechg.Pour l"implication directe()): sigfest bijective alors en particulier elle est surjective et donc d"après la question 2.gest
surjective.Sihgest bijective, elle est en particulier injective, doncgest injective (c"est le 1.). Par conséquentgest à la fois injective et
surjective donc bijective.Pour finirf=g1(gf)est bijective comme composée d"applications bijectives, de même pourh.Correction del"exer cice8 N1.fn"est pas injective carf(2) =45
=f(12 ).fn"est pas surjective cary=2 n"a pas d"antécédent : en effet l"équationf(x) =2 devient 2x=2(1+x2)soitx2x+1=0 qui n"a pas de solutions réelles.