A binary relation R over a set A is a subset of A2 xRy is shorthand for (x, y) ∈ R A relation doesn't have to be meaningful; any subset of A2 is a relation Interesting fact: Number of English sentences is equal to the number of natural numbers (More on that later ) Each binary relation over ℕ is a subset of ℕ2
Relation binaire Pascal Lainé 5 CORRECTIONS Correction exercice 1 : 1 D’après le graphe, on a : Pour tout { }on a donc la relation est réflexive On a et d’une part et et ce qui montre que la relation est symétrique et évidemment elle est transitive, donc il s’agit d’une relation d’équivalence 2
• La relation sur P(E) «⊂» : A ⊂ B si que A est inclus dans B • La relation sur les droites du plan «//» : d//d′ si la droite d est parallèle à d′ • La relation sur les droites du plan «⊥» : d ⊥ d′ si la droite d est perpendicu-laire à d′ Remarque : On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia-
EXAMPLE 23 Let Rbe the relation on R de ned by aRbif ja bj 1 (that is ais related to bif the distance between aand bis at most 1 ) Determine whether it is re exive, symmetric, transitive, or antisymmetric EXAMPLE 24 Let Rbe the relation on Z de ned by aRbif a+3b2E Show that Ris an equivalence relation REMARK 25
relation constants, namely the symbol '1' for the universal relation, the symbol '0, for the null relation, the symbol '1" for the identity relation (between indi- viduals) and the symbol '0', for the diversity relation Then we have further six operation signs; namely two symbols for unary operations (on relations), the
" Selection ( ) Selects a subset of rows from relation " Projection ( ) Deletes unwanted columns from relation " Cross-product ( ) Allows us to combine two relations " Set-difference ( ) Tuples in reln 1, but not in reln 2 " Union ( ) Tuples in reln 1 and in reln 2 Additional operations:
Une relation binaire dans un ensemble E est une relation d’équivalence si elle est réflexive, symétrique et transitive Cela correspond à une relation dans laquelle on a des sous-ensembles d'éléments tous reliés entre eux Par exemple, la relation entre molécules « a le même nombre d'atomes que » est une relation d'équivalence
The dataset is characterized in theCurrent relation frame: the name, the number of instances (compounds), the number of attributes (descriptors + activity/property) We see in this frame that the number of compounds is 1846, whereas the number of descriptors is 1024, which is the number of attributes (1025) minus the activity field
Mathematical Theory of Claude Shannon A study of the style and context of his work up to the genesis of information theory by Eugene Chiu, Jocelyn Lin, Brok Mcferron,
D e nition math ematique 2 : un arbre au sens pr ec edent sera dit arbre binaire si chaque p ere a au plus deux ls, appel es alors ls droit et ls gauche Lien avec notre probl eme : Chaque noeud sera un el ement de notre ensemble de couples (motanglais,motfrancais) La relation p ere/ ls entre les mots sera d e nie au niveau des parties
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DERNIÈRE IMPRESSION LE20 août 2017 à 15:44
Relations binaires. Relations
d"équivalence et d"ordre
Table des matières
1 Généralités2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne. . . . . . . . . . . 2
1.3 Qualité d"une relation binaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Relation totale ou partielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Relation d"équivalence4
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient. . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Relation d"ordre5
3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.2 Relation stricte associée à une relation d"ordre. . . . . . . . . . . . 6
4 Éléments fondamentaux d"un ensemble ordonné7
4.1 Majorant, minorant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.2 Plus grand et plus petit élément. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 Borne supérieure et borne inférieur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
PAUL MILAN1CPGE-L1 -ALGÈBRE
1. GÉNÉRALITÉS
1 Généralités
En mathématiques, on cherche souvent à comparer deux éléments d"un ensemble ou la propriété que deux éléments d"un ensemble sont susceptibles d"avoir.
1.1 Définition
Définition 1 :Une relation binaireRdéfinie sur un ensembleEest au choix : une propriété qui relie ou non deux élémentsxetydeE. On notexRypour dire que l"élémentxest en relation avecy
une partie deE×E. On notexRysi(x,y)?R
?Pour un couple(x,y)?= (y,x)donc on fera la différence entrexRyetyRx. Par exemple siRest la relation < surR: si l"on ax
», "?». La relation surZ" | » :a|bsi "adiviseb». La relation surZ"≡[n]» :a≡b[n]si queaest congru àbmodulon. La relation surP(E)"?» :A?Bsi queAest inclus dansB. La relation sur les droites du plan " //» :d//d?si la droitedest parallèle àd?. La relation sur les droites du plan "?» :d?d?si la droitedest perpendicu- laire àd?. Remarque :On peut représenter une relation binaire par un graphe ou un dia- gramme sagittal (du latinsagitta: flèche). Par exemple la relation?sur [[0,3]] 01 2 3 1.2 Compatibilité d"une relation avec une loi interne
Définition 2 :SoientRune relation binaire surE. La relationRest compatible avec la loi de composition interne?surEsi : (aRbetcRd)?(a?c)R(b?d) Exemples :
La loi?surRest compatible avec l"addition mais pas avec la multiplication. La loi≡[n]surZest compatible avec l"addition et la multiplication. PAUL MILAN2CPGE L1 -ALGÈBRE
1. GÉNÉRALITÉS
1.3 Qualité d"une relation binaire
Définition 3 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest réflexive si :?x?E,xRx
On dit queRest symétrique si :?x,y?E,xRy?yRx On dit queRest antisymétrique si :?x,y?E,(xRyetyRx)?x=y On dit queRest transitive si :?x,y,z?E,(xRyetyRz)?xRz Exemples :
La relation d"égalité=surEest réflexive, symétrique, antisymétrique et tran- sitive. Les relations?et?surRsont réflexives, antisymétrique et transitives. Elles ne sont pas symétriques. Les relationsurRsont antisymétriques et transitives. Elles ne sont ni réflexives, ni symétriques. La relation de divisibilité|surZest réflexive et transitive. Elle n"est ni symé- trique, ni antisymétrique : (2|(-2)et-2|2 mais-2?=2) La relation≡[n]de congruence modulonsurZest réflexive, symétrique et transitive. Elle n"est pas antisymétrique. 1.4 Relation totale ou partielle
Définition 4 :SoitRune relation binaire surE.
On dit quexetydeEsont comparable parRsi :xRyouyRx. On dit que la relationRest totale si deux éléments quelconques deEsont comparable :?x,y?E,xRyouyRx On dit que la relationRest partielle dans le cas contraire. Exemple :
Les relations?et?surRsont totales maissont partielles car on ne peut comparer deux éléments identiques. La relation de divisibilité|surZ?est partielle : on ne peut comparer 3 et 5 car l"un des deux n"est pas un diviseur de l"autre. PAUL MILAN3CPGE L1 -ALGÈBRE
2. RELATION D"ÉQUIVALENCE
2 Relation d"équivalence
2.1 Définition
Définition 5 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest une relation d"équivalence surEsiRest réflexive, symétrique et transitive. Remarque :Une relation d"équivalence est notée parfois≂ Une relation d"équivalence permet de mettre en relation des éléments qui sont similaires pour une certaine propriété. Exemples :
La relation≡[n]surZest une relation d"équivalence. On vérifie facilement qu"elle est réflexive, symétrique et transitive. Soitα?R. Une autre relation≡[α]surRest une relation d"équivalence : x≡y[α]? ?k?Z,x=y+kα. - Réflexivité :a=a+0×αdonca≡a[α] - Symétrie :a≡b[α]?a=b+kα?b=a+ (-k)α?b≡a[α] - Transitivité : (a≡b[α]etb≡c[α])?(a=b+kαetb=c+k?α)? a=k?α+kα= (k?+k)α?a≡c[α] 2.2 Classe d"équivalence. Ensemble quotient
Théorème 1 :SoitRune loi d"équivalence surE. On appelle classe d"équivalence d"un élémentxdeE, l"ensembleC(x)des élé- ments deEen relation avecxparR: C(x) ={y?E,yRx}
L"ensemble des classes d"équivalence pourRforment une partition deE: leur réunion formeEet sont deux à deux disjointes. L"ensemble des classes d"équivalence deEpourRest appelé l"ensemble quo- tient deEparRnotéE/R Remarque :Toute classe d"équivalence peut être exprimée en français sous la forme "avoir le même [... ]». Par exemple "avoir le même reste dans la division parn» dansZ. Notation usuelle pour la classe d"équivalence dex: xoux Pour la relation≡[3]
Troisclassesd"équivalence:?
0 ,1 ,2?
correspondant aux trois restes dans la division par 3 Son ensemble quotient se note :Z/3Z0
reste 01 reste 1 2 reste 2
Z PAUL MILAN4CPGE L1 -ALGÈBRE
3. RELATION D"ORDRE
L"ensemble quotientE/Rest donc un ensemble d"ensembles inclus dansP(E) Démonstration :Montrons queE/Rforme une partition deE. Notons
xla classe d"équivalence dexpourR. ?x?E,x?xcar réflexivitéxRxon en déduit queE=? x?Ex. Montrons que six∩y?=∅alorsx=y.
z? x∩y??zRx zRy??Par symétrie et transitivité xRy?x=y Exemple :
Un bipoint (A,B) est un couple de
points du plan. On définit la relationR(équipollence)
telle que : (A,B)R(C,D) si les segments [AD] et [BC] ont même milieu. AB CD I Rest une relation d"équivalence car :
[AB] et [BA] ont même milieu donc (A,B)R(A,B). (A,B)R(C,D)?m[AD] =m[BC]?m[CB] =m[DA]?(C,D)R(A,B) ?(A,B)R(C,D) (C,D)R(E,F)??m[AD] =m[BC] m[CF] =m[DE]??ABDC et CDFEparallélogrammes? ?(AB)//(CD)//(EF) AB=CD=CF??ABFE parallélogramme
m[AF] =m[BE]?(A,B)R(E,F) La classe d"équivalence du bipoint (A,B) est le vecteur -→AB . C"est une façon de définir proprement un vecteur dans le plan. 3 Relation d"ordre
3.1 Définition
Définition 6 :SoitRune relation binaire surE.
On dit queRest une relation d"ordre siRest réflexive, antisymétrique et transitive. Remarque :On note généralement une relation d"ordre :?,?,?, ... La réflexivité est imposé dans la définition des relations d"ordre. On privilégie les relations d"ordre "large» du type "inférieur ou égal ». La transitivité et l"antisymétrie permettent de hiérarchiser les éléments d"un en- semble. PAUL MILAN5CPGE L1 -ALGÈBRE
3. RELATION D"ORDRE
Exemples :
Les relations?,?surRsont des relations d"ordre tandis que < et > ne le sont pas par manque de réflexivité. La relation de divisibilité|est une relation d"ordre surN?(mais pas surZ?) : -?n?N?,n|ndonc|est réflexive. k,k??N??k=k?=1?n=n?donc|est antisymétrique. donc|est transitive. Visualisation d"une relation d"ordre : idée d"orientation. Lorsque la relation d"ordre est totale comme?dansR. On peut représenterR sur une droite -∞-7-2.5301π203+∞| | | | | ||e|⎷17 Ce n"est plus le cas lorsque la relation d"ordre est partielle comme par exemple la relation de divisibilité|dans[[1,10]]. Dans ce graphe, on se préoccupe uni- quement de l"orientation des entiers de 1 à 10. 12 3 574 6 9 108
3.2 Relation stricte associée à une relation d"ordre
Définition 7 :Soit?une relation d"ordre surE.
La relation?surEdéfinie par :?x,y?E,x?yetx?=yest antisymétrique et transitive, est appelée la relation stricte associée à? PAUL MILAN6CPGE L1 -ALGÈBRE
quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3
Binary Relations - Stanford University