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Interpolation polynomiale 1 Interpolation de Lagrange

1 3 Estimation de l’erreur dans l’interpolation de Lagrange Avant de donner une estimation de l’erreur, nous allons d´emontrer le lemme suivant Lemme 7 – Soit f : [a,b] −→ R d´erivable sur [a,b] alors, si f poss`ede au moins n + 2 z´eros distincts sur [a,b], f′ poss`ede au moins n+1 z´eros distincts sur [a,b]

Polynomial Interpolation - Forsiden

Polynomial Interpolation A fundamental mathematical technique is to approximate something compli-cated by something simple, or at least less complicated, in the hope that the simple can capture some of the essential information in the complicated This is the core idea of approximation with Taylor polynomials, a tool that has been

Sur l’évaluation de l’erreur d’interpolation de Lagrange dans

EVALUATION DE L'ERREUR D'INTERPOLATION DE LAGRANGE 9 On peut maintenant montrer le Théorème 1-1 On suppose vérifiées les hypothèses (1-1 ), (1-2) et (1-3) Soient II l'opérateur de ^-interpolation de Lagrange sur Z et {pt}I = lj, ,N l'ensemble des fonctions de base de P relativement à I Alors pour tout u e Wk+i'p(Q) et pour tout

Polyn^omes d’interpolation - WordPresscom

3 On peut estimer l’erreur que l’on fait lors d’une interpolation Pour cette question, on prend n = 2 (interpolation a ne), et on suppose que f est deux fois continumen^ t d erivable sur ]a;b[ On note P le polyn^ome d’interpolation de f aux points x 1 et x 2, et on pose g(x) = f(x) P(x) pour tout x 2[a;b] 2

LECTURE 3 LAGRANGE INTERPOLATION

Lagrange Cubic Interpolation Using Basis Functions • For Cubic Lagrange interpolation, N=3 Example • Consider the following table of functional values (generated with ) • Find as: 0 0 40 -0 916291 1 0 50 -0 693147 2 0 70 -0 356675 3 0 80 -0 223144 fx = lnx i x i f i g 0 60 gx f o xx– 1 xx– 2 xx– 3 x o – x 1 x o – x

Correction TD 1 : Approximation de fonctions

4 Une idée pour diminuer l’erreur serait d’ajouter un point d’interpolation (par exemple, (x 2;f(x 2)) Ce-pendant, il est possible qu’ajouter ce point d’interpolation fasse empirer les choses (phénomène de Runge parexemple) 6

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Agr´egation interneUFR MATH´EMATIQUES

Interpolation polynomiale

1. Interpolation de Lagrange

1.1. Base de Lagrange

Soitx0, x1,...,xnn+ 1 r´eels donn´esdistincts. On d´efinitn+ 1 polynˆomeslipouri= 0 `anpar l i(x) =(x-x0)(x-x1)...(x-xi-1)(x-xi+1)...(x-xn) Le num´erateur de chacun de ces polynˆomes est un produit dentermes (x-xk) et est donc un polynˆome de degr´en. Le d´enominateur est une constante. On a donc i)liest un polynˆome de degr´en iii)li(xi) = 1.

R´eciproquement, pourifix´e, il existe un unique polynˆomeliv´erifiant les trois propri´et´es

pr´ec´edentes. En effet, on en a d´ej`a construit un qui convenait. Supposons qu"il y en ait deux

l ietpi, alorsli-piest un polynˆome de degr´e au plusnet ayantn+ 1 racines distinctes x

0,...,xn, c"est donc le polynˆome nul.

D´efinition 1 -Les polynˆomesli(x) sont les polynˆomes de Lagrange deRn[X] associ´es aux pointsx0,...,xn. Proposition 2 -Les polynˆomesl0(x), l1(x)...,ln(x) forment une base deRn[X]. D´emonstration :il suffit de montrer que ce syst`eme de polynˆomes est libre, puisqu"il est form´e den+1 ´el´ements d"un espace de dimensionn+1 ; supposons qu"il existen+1 r´eels

0,...,αntels que, pour tout r´eelx

n? i=0α ili(x) = 0 alors, pourx=xk n i=0α ili(xk) =αk= 0.

On a prouv´e le r´esultat.

1.2. Interpolation de Lagrange

Soitfune fonction donn´ee d´efinie surR`a valeurs dansRetx0, x1,...,xnn+ 1 r´eels donn´es distincts. Interpoler la fonctionfpar un polynˆome de degr´enaux pointsx0, x1,...,xnconsiste `a r´esoudre le probl`eme suivant Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes I Si un tel polynˆome existe, il s"´ecrit de mani`ere unique p(x) =n? i=0α ili(x) queli(xk) = 0 sik?=ietlk(xk) = 1, on obtient k=p(xk) =f(xk). Proposition 4 -L"unique solution du probl`eme (3) est donc p(x) =n? i=0f(xi)li(x). D´efinition 5 -Ce polynˆome s"appelle l"interpolant de la fonctionfde degr´enaux points x

0, x1,...,xn.

Remarque -Le polynˆome d"interpolation de Lagrange aux pointsx0, x1,...,xnd"un

Si l"on prend pourfle polynˆome constant ´egal `a 1, d"apr`es la remarque pr´ec´edente,fest

´egale `a son interpolant et on obtient

n i=0l i(x) = 1. Le but de l"interpolation est de remplacer une fonctionfplus ou moins compliqu´ee par une fonction plus simple car polynˆomiale, mais pour justifier cet ´echange, il nous faut une estimation de l"erreur commise. On rappelle le th´eor`eme de Rolle :

Th´eor`eme 6 - Th´eor`eme de Rolle

Soitf: [a,b]→Rune application continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[ telle que f(a) =f(b),alors il existec?]a,b[ tel quef?(c) = 0.

1.3. Estimation de l"erreur dans l"interpolation de Lagrange

Avant de donner une estimation de l"erreur, nous allons d´emontrer le lemme suivant Lemme 7 -Soitf: [a,b]?-→Rd´erivable sur [a,b] alors, sifposs`ede au moinsn+ 2 z´eros distincts sur [a,b],f?poss`ede au moinsn+ 1 z´eros distincts sur [a,b].

D´emonstration :il suffit d"appliquer le th´eor`eme de Rolle entre deux z´eroscons´ecutifs def

Corollaire 8 -Soitf? Cn+1([a,b]).Sifposs`ede au moinsn+2 z´eros distincts sur [a,b], alorsf(n+1)a au moins un z´ero sur [a,b]. D´emonstration :il suffit de faire une r´ecurrence en appliquant le lemme pr´ec´edent n+1 points de [a,b].On notePle polynˆome d"interpolation de Lagrange defaux points x

0,...,xn.

Th´eor`eme 9 -On supposef? Cn+1([a,b]), alors

?x?[a,b],?ξ?[a,b], f(x)-P(x) =(x-x0)(x-x1)...(x-xn) (n+ 1)!f(n+1)(ξ). - 2 -

Interpolation polynomiale

D´emonstration :six=xi, alors la relation est v´erifi´ee. Soitx?[a,b] fix´e,xdiff´erent de tous lesxi.Posonsq(x) = (x-x0)(x-x1)...(x-xn) et

W(t) =f(t)-P(t)-q(t)

q(x)?f(x)-P(x)?. La fonctionWest de classeCn+1commefet s"annule pourt=x,x0,x1,...,xn; elle admet donc au moinsn+ 2 z´eros. D"apr`es le corollaire8, il existe au moins un nombre ξ?[a,b] tel queW(n+1)(ξ) = 0.On en d´eduit la relation. Le pointξ´etant inconnu, on cherche une majoration et on a le corollaire imm´ediat : Corollaire 10 -Sif(n+1)est continue sur [a,b], alors (n+ 1)!supx?[a,b]|f(n+1)(x)|.

2. Polynˆomes de Chebyshev

2.1. Choix des points d"interpolation

D"apr`es le corollaire10, pour obtenir la meilleure estimation possible pour une fonctionf donn´ee, il faut choisir lesn+1 points d"interpolationx0,...,xnde mani`ere `a minimiser le maximum sur [a,b] de la fonction|(x-x0)...(x-xn)|.Si on appelleEn+1([a,b]) l"ensemble

des polynˆomes de degr´en+1 unitaires, le meilleur choix desxiest donn´e par le polynˆome

q?En+1([a,b]) tel que Il faudra de plus s"assurer que le polynˆomeqtrouv´e admet bienn+1 racines distinctes sur l"intervalle [a,b].On va montrer l"existence de ce polynˆome qu"on appellera polynˆome de

Chebyshev normalis´e.

Remarque -En faisant le changement de variable

t=2 b-ax-b+ab-a??x=b-a2t+b+a2 on peut toujours se ramener `a une ´etude sur l"intervalle [-1,1]. D´efinition 11 -On appelle polynˆome de Chebyshev de degr´enle polynˆomeTnd´efini sur [-1,1] par T n(x) = cos(nArccos(x)).

La formule donn´ee dans le th´eor`eme ne fait pas apparaitrede mani`ere ´evidente un polynˆome.

Cependant, on peut tout de suite noter que, pour toutx?[-1,1],Tn(x)?[-1,1]. Consid´erons la formule de Moivre : (cosθ+isinθ)n= cosnθ+isinnθ.Pourθ?[0,π], posonsx= cosθ, alors sinθ=⎷

1-x2.On en d´eduit que

cosnθ= cos(nArccos(x)) =[n/2]? i=0C

2in(-1)ixn-2i(1-x2)i.

En particulierTnest un polynˆome de degr´en. - 3 - Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes I

Exemple -

T

0(x) = 1

T

1(x) =x

T

2(x) = 2x2-1

Les formules d"addition des fonctions trigonom´etriques donnent cos(n+ 1)θ+ cos(n-1)θ= 2cosθcosnθ.

On en d´eduit imm´ediatement que

Proposition 12 -Les polynˆomes de Chebyshev v´erifient la relation de r´ecurrence T n+1(x) +Tn-1(x) = 2xTn(x).

Le coefficient du terme enxndeTnest 2n-1.

D´emonstration :le coefficient s"obtient par r´ecurrence. Th´eor`eme 13 -Tna des z´eros simples auxnpoints x k= cos?2k-1

2nπ?, k= 1,2,...,n.

T natteint son extremum sur l"intervalle [-1,1] auxn+ 1 points x k= cos?k nπ?, k= 0,1,...,n pour lesquels il prend alternativement les valeurs 1 et-1.

D´emonstration :calculonsTn(xk).

T n(xk) = cos?nArccos(cos2k-1

2nπ)?= cos(2k-12π) = 0 car2k-12nπ?[0,π].

On a donc trouv´enracines distinctes, orTnest un polynˆome de degr´en; on les a donc toutes. On montre de mˆemeTn(x?k) = (-1)k.

D´efinition 14 -On appelle polynˆome normalis´e de Chebyshev le polynˆomeTnd´efini par

Tn=12n-1Tn.

2.2. Estimation de l"erreur avec les polynˆomes de Chebyshev

On va montrer que ce polynˆomeTnest le polynˆome que l"on cherchait. Th´eor`eme 15 -Pour tout polynˆomepdeEn([-1,1]), on a 1 D´emonstration :supposons qu"il existep?Entel que supx?[-1,1]|p(x)|<1/2n-1.

Consid´erons le polynˆome

r(x?k) = Tn(x?k)-p(x?k) =(-1)k2n-1-p(x?k) pourk= 0,...,n.Cette quantit´e prend alternativement le signe + ou-. On en d´eduit quera au moinsnracines, or c"est un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `an-1, doncr= 0.On obtient

Tn=p.Contradiction.

En utilisant le changement de variable d´efinie plus haut, ona donc montr´e le th´eor`eme - 4 -

Interpolation polynomiale

Th´eor`eme 16 -Sur l"intervalle [a,b], en choisissant les points d"interpolation x k=a+b

2+b-a2cos2k+ 12(n+ 1)πpourk= 0,...,n

on obtient la majoration suivante : (n+ 1)!22n+1supx?[a,b]|f(n+1)(x)|. C"est la meilleure majoration globale que l"on puisse obtenir. Remarque -La formule de Taylor-Lagrange montre que, si l"on approche la fonctionfpar la fonction polynˆomiale P f:x-→f(a) +f?(a)(x-a) +···+f(n)(a) n!(x-a)n, on a alors (n+ 1)!supx?[a,b]|f(n+1)(x)|. Cette estimation montre la sup´eriorit´e de la m´ethode de Chebychev.

3. Introduction aux polynˆomes orthogonaux

3.1. D´efinition des polynˆomes orthogonaux

On se donne une fonctionwd´efinie sur ]a,b[, int´egrale sur [a,b] et `a valeurs positives ou nulles. Cette fonction est appel´eepoids. On d´efinit un produit scalaire sur l"ensemble des fonctionscontinues sur [a,b] par la relation (f,g) =? b a f(t)g(t)w(t)dt.

A ce produit scalaire, on associe la norme?f?2=?

b a [f(t)]2w(t)dt. D´efinition 17 -On appellepolynˆomes orthogonauxrelativement au poidswla suite des polynˆomesP0, P1,..., Pn,...ayant les propri´et´es suivantes

1 - Pour toutn,Pnest de degr´enet le coefficient de son terme de plus haut degr´e est 1.

2 - (P0,...,Pn) forme une base orthogonale deRn[X].

On admet la proposition suivante

Proposition 18 -Quelquesoit la fonction poidsw, il existe une unique suite de polynˆomes orthogonaux.

3.2. Exemple : les polynˆomes de Chebyshev

On prenda= 1, b=-1 etw(x) = 1/⎷1-x2.La fonctionwest bien d´efinie sur ]-1,1[ `a valeurs positives et? 1 -1w(x)dx=?

Arcsin(x)?

1 -1=π.

On a vu que

Tnest de degr´enet que le coefficient de son terme de plus haut degr´e est 1.

Il reste `a montrer que (

T0,...,Tn) forme une base orthogonale deRn[X] pour le produit scalaire (P,Q) =? 1 -1P(t)Q(t)dt ⎷1-t2·

Le changement de variablest= cosθdonne

(P,Q) =? 1 -1P(t)Q(t)dt ⎷1-t2=? 0

P(cosθ)Q(cosθ)dθ.

- 5 - Pr´eparation`a l"agr´egation interne UFR maths, Universit´e de Rennes I

On en d´eduit que, sin?=l,

(Tn,Tl) =? 0 cos(nθ)cos(lθ)dθ=1 2?

0?cos(n+l)θ+ cos(n-l)θ?dθ

1 2? sin(n+l)θb+l+sin(n-l)θn-l? 0= 0.

3.3. Approximation au sens des moindres carr´es

Soitfune fonction d´efinie sur l"intervalle r´eel [a,b] etwune fonction poids. L"approximation au sens des moindres carr´es consiste `a trouver un polynˆomePde degr´enqui minimise la valeur de? b a?? f(x)-P(x)??2w(x)dx=?f-P?2.Ce polynˆome, s"il existe, est appel´e approximation defde degr´e au plusnau sens des moindres carr´es. On admettra qu"un tel polynˆome existe et qu"il est unique. C"est en fait la projection orthogonale defsurRn[X] et il est donn´e parP=n? i=0(f,Pi)Pi o`u (P0,...Pn) est la base orthonormale deRn[X] associ´ee `aw. On est alors ramen´e `a un calcul d"int´egrales. - 6 -

INTERPOLATION POLYNOMIALE

1. Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1. Base de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 1

1.2. Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3. Estimation de l"erreur dans l"interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Polynˆomes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1. Choix des points d"interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2. Estimation de l"erreur avec les polynˆomes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3. Introduction aux polynˆomes orthogonaux . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.1. D´efinition des polynˆomes orthogonaux . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3.2. Exemple : les polynˆomes de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 5

3.3. Approximation au sens des moindres carr´es . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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