Trigonalisation et diagonalisation des matrices
vecteurs en une base de trigonalisation On a A = P 2 6 6 4 i 1 0 0 0 i 0 0 0 0 i 1 0 0 0 i 3 7 7 5P 1; avec P = 1 2 2 6 6 4 1 i 1 0 0 0 1 i 1 i 0 i 0 0 1 i 3 7 7 5: 7 1 8 Somme et produit des valeurs propres — Le theor´ `eme de trigonalisation nous permet de relier des invariants d’une matrice, tels que sa trace et son determinant,´ a
Fiche technique 5 - Diagonalisation, trigonalisation
PSI Dupuy de Lôme – Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation - 2 - 3, tout comme les deux bases évoquées au dessus, et enfin A et u Trigonalisation de matrices • Pour trigonaliser une matrice, il n’y a pas de méthode globale à connaître a priori
Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1
Triangularisation, jordanisation, exponentielle de matrices 1 Triangularisation Soient E un espace vectoriel de dimension n et ϕ un endomorphisme de E de matrice A dans une base donn´ee On suppose que le polynˆome caract´eristique est scind´e et soit λ 1, ,λ n les valeurs propres (non n´ecessairement 2 a 2 distinctes) Th´eor`eme 1 1
Diagonalisation et trigonalisation
le th eor eme de Caylay-Hamilton, le th eor eme de trigonalisation, et de savoir les pratiquer sur des exemples de taille 2, 3, eventuellement 4 On ne demande pas de conna^ tre les d emonstrations de ces th eor emes, mais par contre de savoir les appliquer (diagonaliser ou trigonaliser sur des exemples simples de taille 4)
L2 Math ematiques Math ematiques: ALGEBRE LINEAIRE II Cours
complexe La seule di erence etant au d epart Dans le cas complexe on est assur e de l’existence d’une valeur propre Dans le cas r eel, ceci d ecoule de l’hypoth ese choisie Exemples Les exemples d ecrits dans le paragraphe pr ec edent sont en fait des exemples de trigonalisation dans le cas r eel 3 2
Gauss, LU, pour l’ingénieur Méthodes numériques
de la méthode de Gauss De Gauss à LU U A A A A M A n k k k = = = +) 1 () 1 (et Représentons une étape de la triangularisation par la multiplication de A
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
de A si A~v est proportionnel à ~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λ telle que A~v =λ~v On dit que λ est la valeur propre de A associée à ~v Reprenons notre exemple : A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Donc AP =P a 0 0 b , et A 1 1 =a 1 1 , A 2 3 =b 2 3 1 1 est un vecteur propre, de
Algèbre linéaire - Département de Mathématiques d’Orsay
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, on considère E 1 et E 2 deux sous-espaces vectoriels deE de dimensions respectives n 1 et n 2 a Donner un encadrement de dim(E 1∩E 2) et de dim(E +E ) b Montrer l’égalité : dim(E 1 +E 2)+dim(E 1 ∩E 2) = dim(E 1)+dim(E 2) (Suggestion : considérer une base B 0 de E 1 ∩ E 2
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PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 1 -
Diagonalisation, trigonalisation.
Diagonalisation de matrices.
· Le principe pour diagonaliser en pratique une matrice est simple : calculer les espaces propres de
la matrice et en déterminer des bases.· Sauf théorème préliminaire (polynôme annulateur scindé à racines simples, matrice symétrique
réelle, etc...), la diagonalisabilité d"une matrice en pratique s"obtient après le calcul des valeurs
propres et des sous-espaces propres et le constat fait sur la dimension de ces espaces.· Pour un confort de vocabulaire (et de compréhension), il peut être utile d"avoir une vision
vectorielle du problème et d"évoquer l"endomorphisme canoniquement associé à la matrice (dans :E = n, ou n suivant le cas).
Dans les exemples ci-dessous, la matrice sera notéeA et l"endomorphisme canoniquement
associé u. exemple 1 : diagonaliser : 9 99200011011
A Les valeurs propres de A sont données par son polynôme caractéristiqueAc, qui vaut :
2)2.()(-=xxxAc.
Donc :
==)()(ASpuSp { 2,0 }, avec 2 valeur propre double.Puis :
9 999 99
011
0VectAE, et :
9 999 99
9 99
100
011
2VectAE, et A est diagonalisable.
· diagonalisation vectorielle :
Dans la base :
B = (321,,eee), de 3, avec : )0,1,1(1-=e, )0,1,1(2=e, )1,0,0(3=e, la matrice représentative de u est diagonale et vaut : matB))) 9 99200020000
)(Du : u est aussi diagonalisable.Si on note :
9 99100011011
P, alors la formule de changement de base donne : PAPD..1-=.On a donc bien diagonalisé
A.Remarque :
P est ici clairement une matrice de passage, les bases utilisées (et l"espace de référence 3) étant
bien identifiées.· diagonalisation matricielle directe :
On pose :
9 99100011011
P, et : PAPD..
2000200001-=
9 99PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 2 -
P peut ici être interprétée comme la matrice de passage de la base canonique de M3,1(), à la
base 9 999 99
9 99
9 99
100
011 011
Remarques :
la nouvelle base de 3 (ou la matrice P) permettant de diagonaliser u n"est pas unique.· la similarité des objets manipulés fait qu"on identifiera couramment les espaces M3,1() avec
3, tout comme les deux bases évoquées au dessus, et enfin A et u.
Trigonalisation de matrices.
· Pour trigonaliser une matrice, il n"y a pas de méthode globale à connaître a priori.· La trigonalisabilité d"une matrice s"obtient après le calcul de son polynôme caractéristique et le
constat que ce polynôme est scindé sur le corps de référence de la matrice.· Si la matrice est considérée comme matrice complexe, elle est donc toujours trigonalisable.
· On verra les différentes situations pouvant se présenter pour une matrice 3´3. Dans les exemples ci-dessous, on continuera à noterA la matrice étudiée et u l"endomorphisme
canoniquement associé à A (en pratique, il peut être nécessaire de préciser s"il s"agit de l"endomorphisme de :E = n, ou de n canoniquement associé à A).
exemple 2 : A a deux valeurs propres, l"une simple, l"autre double et A n"est pas diagonalisable.Trigonaliser la matrice :
9 99023021113
AOn trouve (et on factorise)
Ac en ajoutant toutes les colonnes à la première :2)2).(1()(--=xxxAc.
Les espaces propres de
A sont :
9 999 99
111
1VectAE, et :
9 999 99
-=110
2VectAE.
A n"est pas diagonalisable.
· Trigonalisation " standard » de A :
Si on choisit :
)1,1,1(1=e, )1,1,0(2-=e, et 3e formant avec les deux premiers une base de 3, alors l"endomorphisme u a pour matrice dans cette nouvelle base : 9 99200*20*01
"A, puisque la trace de "A étant égale à celle de A, elle vaut 5.On choisit par exemple : )0,1,1(
3=e, de telle sorte que : B = (321,,eee) soit une base de 3, et :
233.2)1,1,2()(eeeu-==.
PSI Dupuy de Lôme - Fiche technique 5 : diagonalisation, trigonalisation. - 3 -On en déduit que : matBTu=
9 99200120001
, et avec : 9 99011111101
P , on a : PAPT..1-=. · Trigonalisation de A en réduite de Jordan : On conserve les mêmes deux premiers vecteurs (propres deA) dans cet ordre, et il est possible
de trouver3"e dans 3 de telle sorte que :
B" = (321",,eee), soit une base de 3, et : matB"))) 9 99200120001
)(uLe vecteur : ),,("
3zyxe=, s"obtient en résolvant : 323".2)"(eeeu+=, soit en traduction
matricielle dans la base canonique, en résolvant le système : 9 999 99
9 99
1 10 .2. zyx z yx A
On trouve alors : 1,1
-=+-=zyx, ce qui laisse encore le choix.On peut proposer alors : )0,1,1("
3--=e, la famille : B" = (321",,eee), est bien libre et :
matB""200120001
)(Tu= 9 99, soit avec : 9 99
011111101
"P , alors : "".."1TPAP=-. exemple 3 : A a une valeur propre triple, et un espace propre associé de dimension 2.Trigonaliser la matrice :
9 99210100001
AEn développant, on trouve :
3)1()(-=xxAc, puis on détermine l"espace propre associé à cette
valeur propre triple et on trouve : 9 999 99
9 99
110
001