Calcul des structures hyperstatiques Cours et exercices corrigés
Calcul des moments fléchissant dans les appuis 16 2 4 Exercices 20 2 4 1 Exercice N° 2 1 20 Dans ce cas, les actions (les réactions aux appuis et ou les
RAPPELS DE LA STATIQUE - Technologue Pro
4) Actions-réactions: Les actions sont les forces appliquées à une structure (les forces connues) Ces actions ou forces créent des réactions aux appuis de la structure (forces inconnues) L’ensemble des forces et des réactions d’appui doit constituer un système de forces extérieures en équilibre
Aide-mémoire - Mécanique des structures
4 2 Poutre sur deux appuis 45 5 3 4 Expression des sollicitations et actions de liaison 98 8 2 Calcul des moments dans une poutre comprimée fléchie 178
I Etude Treillis - Autodesk
$ Calculer les actions de liaisons (réaction d’appuis) ; Dessiner la structure éclatée (isolée) en n’oubliant pas de dessiner les nœuds entre chaque barre ainsi que les forces extérieures (Réactions d’appuis et chargement); & Avec un peu de réflexion et grâce au PFS, ainsi que le principe des actions mutuelles, on
POINCONNEMENT DES DALLES SUR POTEAUX RECTANGULAIRES
11 Calcul du coefficient de majoration de l’effort de poin•onnement VEd 12 Poteaux circulaires 13 Exemple de poteau d’angle avec tr‡mie Annexe A Coefficient de majoration des r‡actions d’appuis d — la continuit‡ Annexe B Calcul du param–tre W1 1 - Notations c1 largeur du poteau rectangulaire suivant Oy (c1 ≥ c2)
NOTE TECHNIQUE - BTP
NT Rotplast - p 4/29 Application numérique Poutre de deux travées identiques (Fig 2 et 3) Portée entre nus L n = 18,0 m, appuis de 0,60 m, portée de calcul L
Travaux dirigés de résistance des matériaux
La poutre est considérée en équilibre sur deux appuis linéaires en A et C ; elle est changée dans son plan de symétrie par une charge concentrée et une change concentrée et une charge répartie sur BC 1 Déterminer les reactions aux A et C 2 Donner l’expression des éléments de réductions du torseur des actions internes (N, T, Mfz,
Manuel de pré dimensionnement des éléments de structure des
Calcul à l’ELU (voir page 10) Actions majorées: on ajoute l’indice d (design) M Sd: Moment sollicitant de calcul c à d M calculé avec les actions majorées M Rd: Moment résistant de calcul c à d M calculé avec les résistances caractéristiques des matériaux minorées
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IUT Béthune - Génie Civil Année Spéciale- RDM S. KESTELOOT !"#$!%$!&%"'!())(&% !"#$%&%'()*+%,#-# On appelle treillis un assemblages de barres articulées entre elles de manière à ce que chacune des barres ne soit sollic itée qu'en tract ion-compression. Ceux sont des struc tures triangulées qui sont principalement utilisées en charpente métalliques et en charpente bois (une structure triangulée est une structure composée de barres formant des triangles). Figure 1 : exemple de treillis Terminologie : Figure 2 : Terminologie d'un treillis On appelle noeud une articulation entre plusieurs barres. La !gure 3 présente un exemple de détail de la réalisation pratique d'un noeud de treillis. Pour assurer que chacune des barres ne soit sollicité qu'en traction ou en compression il faut que : - le poids des barres soit négligeable devant les autres sollicitations, - les sollicitations extérieures ne soient que des efforts appliqués sur les noeuds, - les liaisons a vec l'extérie ur soient des appuis !xes ou des appui s m obiles. Lorsque toute la géométrie est dans un même plan et que les efforts appliqués sont dans ce plan, le treillis est dit plan. Figure 3 : Détail d'un noeudMontant Membrure supérieure Diagonale Membrure inférieure Noeud
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°2/10 Hypothèses : Pour pouvoir calculer la structure comme un treillis, certaines hypothèses sont posées : - les articulations entre barres sont considérées comme parfaites ; - les charges sont appliquées au noeud ; - les axes des barres doivent concourir aux noeuds : Méthodes de résolution : ! La première étape consiste à déterminer la nature du treillis. En effet, comme n'importe quelle structure (portiques par exemple), il existe des treillis hyperstatiques. On pose : - b : le nombre de barres ; - e : le nombre de réactions d'appuis ; - n : le nombre de noeuds. " Si b + e < 2 n, la structure est hypostatique ; " Si b + e = 2 n, la structure est isostatique ; " Si b + e > 2 n, la structure est hyperstatique ; # La deuxième étape consiste à trouver les valeurs des réactions d'appuis (grâce au PFS sur la structure entière) ; $ Puis, on résout le problème en recherchant les efforts normaux dans les barres. En effe t, les barres étant bi-articulées, seul un effort de compress ion ou de traction pe ut solliciter les barres (la flexion n'est pas possible car les forces sont appliquées aux noeuds). De nombreuses méthodes de résolution sont possibles : • Méthodes graphiques (par vecteurs représentés à l'échelle - polygones des forces) ; • Méthodes analytiques (par calcul). Parmi ces méthodes, 2 principes se distinguent : • Méthodes des noeuds (on équilibre les noeuds des treillis) ; • Méthodes des sections (on équilibre les barres du treillis). p Ya Xb Xa Yb
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°3/10 !!!"#.%+/012,#(&()3+*452,#-#III.1) Méthode des noeuds : a) Principe de la méthode : Le principe de la méthode des noeuds consiste à déterminer de manière analytique l'équilibre de chaque noeud du treillis. b) Méthodologie : ! Modéliser la structure entière (barres, appuis et chargements) ; # Déterminer la nature du treillis ; $ Calculer les actions de liaisons (réaction d'appuis) ; % Dessiner la structure éclatée (isolée) en n'oubliant pas de dessiner les noeuds entre chaque barre ainsi que les forces extérieures (Réactions d'appuis et chargement); & Avec un peu de réflexion et grâce au PFS, ainsi que le principe des actions mutuelles, on détermine l'équilibre des noeuds (sachant que seul les efforts normaux passent dans les barres - pas d'effort tranchant ni de moment). On équilibre les noeuds af in de n'avoi r que 2 inconnues pour résoudre la structure (!Fx = 0 ; !Fy = 0) ; ' Etablir un tableau bilan donnant les efforts dans chaque barre. c) Exemple : ! # Nature : b = 17 ; n = 10 ; e = 3 b + e = 17 + 3 = 20 2 n = 20 b + e = 2 n => isostatique $ A
XFx== 01202040600!+=!!!+==
"BABAYYYYFy
200432024016040
#BBZA YYM 0= A X kNY B 50=kNY A 70=
40 kN 20 kN 60 kN 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m A B C E G I J H F D
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°4/10 % Exemple de résolution sur le deuxième noeud : ' Barre Signe Intensité AC - 70 AD 0 CD + 70"2 DE - 10 CE - 70 DF + 70 EF + 10"2 EG - 80 FG - 40 FI + 30"2 FH + 50 GI - 80 HI - 30 IJ - 50 HJ + 50"2 HB 0 BJ - 50 40 kN 20 kN 60 kN A B C E G I J H F D 70 kN 50 kN 70 70 70 70 70"2 70 70 70"2 70"2 70"2 70 70 70 70 70 70 10 10 80 80 80 80 10 10 10"2 10"2 10"2 10"2 40 40 40 40 80 80 80 80 50 50 50 50 50"2 50"2 50"2 50"2 50 50 50 50 30"2 30 30 30 30"2 30"2 30"2 50 50 50 50 30 2 3 4 5 6 7 8 9 10 70 FCE FCD !FY = O !FX = O 1 Vérification
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°5/10 d) Conclusion sur la méthode analytique des noeuds : Cette méthode est s imple. Juste en appl iquant le PFS sur les noeuds de mani ère simplifiée (seulement efforts normaux), on détermine les valeurs exactes de sollicitation de chaque barre. On peut se vérifier sur le dernier noeud. Seuls problèmes : - il faut beaucoup de place pour pouvoir éclater la structure (dessin) ; - on doit généralement résoudre entièrement le treillis pour obtenir l'effort dans une barre bien précise ; - les erreurs se cumulent au fur et à mesure de l'avancement de la résolution.
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°6/10 III.2) Méthode de Ritter : a) Principe de la méthode : Le principe de la méthode de Ritter consiste à effectuer des coupes habilement positionnées de manière à déterminer les efforts qui passent dans les barres. Les coupes ne doivent libérer au maximum que 3 inconnues. En appliquant le PFS sur l'une des deux parties de la structure, on détermine ces efforts. Puisque l'on applique les 3 équations du PFS sur la demi-structure (de gauche ou de droite), il faut choisir judic ieusement le point pour effectuer la somme du moment. On essaye généralement de ne pas faire intervenir d'autres équations pour ne pas cumuler les erreurs. b) Méthodologie : ! Modéliser la structure entière (barres, appuis et chargements) ; # Déterminer la nature du treillis ; $ Calculer les actions de liaisons (réaction d'appuis) ; % Effectuer une première coupure traversant au maximum 3 barres. ; & Appliquer le PFS sur l'un des tronçons du treillis et en déterminer les actions de liaisons entre les tronçons (on mettra toutes les forces dans le sens de la traction) ; ' Passer aux coupures suivantes traversant de nouvelles barres ; ( Etablir un tableau bilan donnant les efforts dans chaque barre. c) Exemple : Nous allons reprendre l'exemple résolu grâce au Crémona : ! # Nature : b = 17 ; n = 10 ; e = 3 b + e = 17 + 3 = 20 2 n = 20 b + e = 2 n => isostatique $ A
XFx== 01202040600!+=!!!+==
"BABAYYYYFy
200432024016040
#BBZA YYM 0= A X kNY B 50=kNY A 70=
40 kN 20 kN 60 kN 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m A B C E G I J H F D Coupe 1 Coupe 2
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°7/10 % & ' AD
FFx== 0700+==
!AC FFy kNF AD 0= kNF AC 70!=00 !ADZC FM 70
2 2 0+!== "CD FFy 700
"CEZD FM kNF CD 270=
kNF CE 70!=
kNF DF 70=
kNF EF 210=
kNF EG 80!=
kNF DE 10!= kNF GI 80!=
40!=
GF F
40 kN 60 kN A C E G D 70 kN FGI 10"2 70 FGF 60 kN A C D 70 kN -70 FDE 70 60 kN A C E D 70 kN FEG FEF FDF A 70 kN FAC FAD A C 70 kN FCE FCD FAD D
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°8/10 kNF
FI 230=50=
FH F NF IJ 50!=
30!=
IH F kNF JH 250=
0= BH F 50!=
BJ F
( Barre Signe Intensité AC - 70 AD 0 CD + 70"2 DE - 10 CE - 70 DF + 70 EF + 10"2 EG - 80 FG - 40 FI + 30"2 FH + 50 GI - 80 HI - 30 IJ - 50 HJ + 50"2 HB 0 BJ - 50 B 50 kN 0 FBJ B J 50 kN -50 FBH FJH 40 kN 60 kN A C E G I F D 70 kN 50 FIH FIJ 40 kN 60 kN A C E G F D 70 kN -80 FFH FFI
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°9/10 d) Conclusion sur la méthode analytique de Ritter : Cette méthode est simple. Juste en appliquant le PFS sur la demi-structure, on détermine les valeurs de sollicitation de chaque barre. Cependant, les calculs sont plus laborieux que la méthode des noeuds. Un gros avantage à retenir : pour connaître les sollicitations dans 1 barre bien précise , on n'est pas obligé de réso udre le t reillis t otalement. De plus, en pos ant correctement le PFS, les erreurs ne se cumulent pas dans la plupart des cas. Cependant, on ne peut pas se vérifier.
IUT Béthune - Génie Civil - Mécanique des structures Cours - S. KESTELOOT MS1 - Partie 1 : STATIQUE - Etude des Treillis Page n°10/10 ETUDE DES TREILLIS ................................................................................................................... 1 I) Généralités : ................................................................................................................................... 1 Terminologie : ............................................................................................................................................ 1 Hypothèses : ............................................................................................................................................... 2 Méthodes de résolution : ............................................................................................................................ 2 III) Méthodes analytiques : ............................................................................................................... 3 III.1) Méthode des noeuds : ............................................................................................................................. 3 a) Principe de la méthode : ......................................................................................................................... 3 b) Méthodologie : ....................................................................................................................................... 3 c) Exemple : ................................................................................................................................................ 3 d) Conclusion sur la méthode analytique des noeuds : .............................................................................. 5 III.2) Méthode de Ritter : ................................................................................................................................ 6 a) Principe de la méthode : ......................................................................................................................... 6 b) Méthodologie : ....................................................................................................................................... 6 c) Exemple : ................................................................................................................................................ 6 d) Conclusion sur la méthode analytique de Ritter : .................................................................................. 9
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