1) Puissance d’un nombre relatif
1) Puissance d’un nombre relatif : Règle 1: Soit n un entier supérieur strictement à 1 et b un nombre relatif, on appelle puissance nième de b le nombre noté bn qui est égal au produit de n facteurs égaux à b
Faculté Electronique et Informatique MI 2019/2020 ALGO1 TD N° 4
4- Le calcul de la puissance nième d’un nombre réel X positif ou nul Exercice 2 1- Ecrire une AP Carre vérifiant si un nombre entier naturel est un carré parfait, en utilisant seulement les opérateurs de base, et renvoie sa racine dans le cas favorable ( Indication : X est
Algorithmes et structures de données génériques
1 2 5 Exemple 5 : puissance nième d’un nombre 10 1 2 6 Exemple 6 : Tours de Hanoi 11 1 2 7 Exemple 7 : tracés récursifs de cercles 15 1 2 8 Exemple 8 : tracé d’un arbre 17 1 2 9 Conclusions sur la récursivité des procédures 19 1 3 Récursivité des objets 19 1 3 1 Rappel sur les structures 19 1 3 2 Exemple de déclaration incorrecte 20
TD N° 3: Les actions paramétrées
4 Le calcul de la puissance nième d’un nombre réel X positif ou nul 5 Le calcul de la factoriellle d’un entier naturel N (N) 6 La vérification si un caractère donné est une voyelle (voyelles : 'a' ,'e', 'i', 'o', 'u' , 'y' ) Exercice 02 : 1
å ® ë î ® ô ô ´ ß á î à Ë í ó ß í ó © ¼ × û á î à Ì ß ò Ó ó
Valeurs propres et vecteurs propres d'un endomorphisme d'un K-espace vectoriel Sous espaces propres – Vecteurs propres et valeurs propres d'une matrice carrée – Diagonalisation de matrices carrées –Calcul de la puissance nième d’une matrice carrée Chapitre VI : Formes quadratiques
Chapitre 2 Les formes indirectes de puissance
capacité de disposer d'une puissance qui ne passe pas par la contrainte mais par l'influence Dans le monde actuel, ces voies indirectes de puissance prennent plusieurs formes Elles peuvent être mises en œuvre par des États, mais aussi par des entreprises, ou par des groupes d'influence de plusieurs natures
Cours de Mathématiques TS - LeWebPédagogique
On obtient les n racines nième d’un nombre complexe non nul en multipliant l’une d’entre elle par les racines n ième de l’unité 3 ∀k ∈ [[0;n−1]],ω k =ω k
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TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age1
Puissance n-ième d"une matrice
LimiteI.Puissances d"une matrice(A)Matrices diagonalesDéfinition 1Une matrice diagonale est une matrice carrée dont tous les coefficients qui ne sont pas situés sur
sa diagonale principale sont nuls.Exemple DAE0 @1 0 00¡3 0
0 0 41
A est une matrice diagonale d"ordre 3.Propriété 1 la puissancenles coefficients de D.DémonstrationPar récurrence immédiate.
ExempleSi DAEµ4 0
(B)Matrices triangulaires supérieures (ou inférieures)Définitions 2Une matrice carrée est dite :
ltriangulaire supérieur (inférieure)si tous ses éléments situés en dessous (au-dessus) de
sa diagonale sont nuls. lstrictement triangulairesi elle est triangulaire avec des coefficients diagonaux nuls.Exemple AAE0 @2¡1 30¡4 1
0 0 6 1 A ; BAE0 @0¡3 1 0 0 2 0 0 0 1 A ; CAE0 @40 0¡2 10
5 0 31
A ; DAE0 @00 0 1 0 0 4 2 0 1 A A et C sont triangulaires, B et D strictement triangulaires.Propriété 2 Les puissances d"une matrice triangulaire sont triangulaires de même forme. Les puissances d"une matrice strictement triangulaire d"ordrensont nulles à partir de l"exposant n.Vocabulaire Une matrice dont une puissance est nulle est appeléenilpotente. 1 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age2Exemple
PournAE3, si MAE0
@0a b 0 0c0 0 01
A avec (a,b,c) réels, M2AE0 @0 0ac 0 0 00 0 01
A d"où M3AE0 @0 0 0 0 0 00 0 01
AOn en déduit que pour toutn¸3, MnAEO3
RemarqueCes propriétés permettent de calculer les puissances d"une matrice en décomposant en sommes
de matrices particulière ou alors en décomposant par blocs.Exercicesn o1 - 2 - 3 -4- 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 1 1p 176 - 177 2 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age3 (C)Diagonalisation d"une matrice carrée d"ordre 2Définition 3Une matrice carrée A est dite diagonalisable s"il existe une matrice carrée P inversible et une ma-
trice carrée D diagonale telles que AAEPDP¡1.Remarque Si AAEPDP¡1, on obtient Ande manière simple.En effet, A
lUne matrice carrée d"ordre 2 est diagonalisable si, et seulement s"il existe deux réels¸et¹(non nécessairement distincts) et deux matrices colonnes à coefficients réels non proportion-
nelles V et W telles que AV=¸V et AW=¹W. lSi A est diagonalisable, les réels¸et¹sont appelés lesvaleurs propresde la matrice A. La matrice carrée P=[V W] est inversible et telle que AAEPµ¸0 P¡1Démonstration
Si A est diagonalisable, il existe¸et¹réels et PAEµ® ¯ inversible tels que AAEPµ¸0 P ¡1Soit VAEµ®
et WAEµ¯ . Comme P est inversible, son déterminant est non nul donc®±¡¯°6AE0. On en déduit que V et W ne sont pas proportionnelles. On montre alors, en effectuant les calculs que AV=¸V et AW=¹W.ExempleSoit AAEµ¡4 6
alors VAEµ3 et WAEµ2 sont telles que AV=¡2V et AW=¡W. A a pour valeurs propres¡2 et¡1 et AAEPµ¡2 0 P¡1avec PAEµ32
1 RemarqueLes matrices carrées d"ordre 2 ne sont pas toutes diagonalisables.Prenons AAEµa b
et posons VAEµx . Alors AV=¸V s"écrit axÅbyAE¸x cxÅdyAE¸y½(a¡¸)xÅbyAE0
(c¡¸)xÅdyAE0()BµxAEµ0
avec BAEµa¡¸bAEA¡¸I2. Si A¡¸I2est inversible,µx
AEB¡1µ0
AEµ0
et donc V, qui est nulle, est proportionnelle à toute matrice colonne W.Pour que A soit diagonalisable, il faut donc que B ne soit pas inversible, donc que soit déterminant soit nul, d"où¸2¡(aÅd)¸Åad¡bcAE0.
Pour AAEµ3 7
, l"équation¸2¡4¸Å10AE0 n"a pas de solution réelle. Donc A n"est pas diagonalisable.Exercicesn
o12 - 13 - 14 - 15 -16- 17p 177 - 178Exercicesn
o18 - 19 -20- 21 - 22 - 23 - 24p 178 - 180 3 TS : Puissance n-ième d"une matrice. Limite.p age4II.Suites de matrices colonnes :UnÅ1AEAUnÅBPour toutndeN, Unest une matrice colonne àmlignes, A une matrice carrée d"ordremet B une
matrice colonne àmlignes,m2N. On note (R) la relation de récurrence UnÅ1AEAUnÅB. (A)Expression deUnen fonction denSi l"on sait calculer A n, on peut chercher à exprimer Unen fonction den. Méthode 1: avec une suite constante vérifiant la relation (R) Une suite constante, égale à X, vérifie (R) si, et seulement si, XAEAXÅB.