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GÉOMETRIE DESCRIPTIVE

Géométrie descriptive – Cours de première année 12 1 2 2 Epure du point Cote et éloignement : Un point de l’espace est donc figuré sur une épure par ses deux projections orthogonales sur les deux plans de projections Ces deux projections sont situées sur une même perpendiculaire à la ligne de terre appelée ligne de rappel

Géométrie analytique de lespace

Prof/ATMANI NAJIB 4 2 1 1 3 2 1 1 3 1 3 det ; ; 3 2 1 2 1 3 2 3 2 3 2 2 1 2 3 2 m u v w m m m Ssi 1 2 1 21 5 2 0 3 10 10 3 m m m m

GÉOMÉTRIE PLANE

GÉOMÉTRIE PLANE Langage géométrique : notations et vocabulaire [ ] = segment [AB] = segment d’extrémités A et B AB = longueur du segment AB (ou parfois la distance de A à B)

Rappels Géométrie dans le plan Seconde

Rappels Géométrie dans le plan Seconde 1) Droites et centres remarquables d'un triangle Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle Ce point est situé au deux tiers de la médiane à partir du sommet On a alors l'égalité : GA = 2 GA' ; GB = 2GB' ; GC = 2GC'

2020-2021 Chapitre 1: Géométrie analytique

Cours 3 4 Poser et résoudre une équation en mise en situation (VERR) Il y a 5 étapes à faire pour résoudre un problème, quelque que soit la méthode utilisée : 1- « V » identifier les (souvent nous utilisons x et y)

Géométrie des masses

Géométrie des masses 1 Centre d’inertie : 1 1 Définition : Le centre d’inertie d’un système matériel E, de masse m, est le point G défini par : 1, int PE AG APdm le po Aest quelconque m ∈ = ∫ Dans le cas où le système matériel est homogène, on distingue, selon la répartition de la masse (modèle volumique,

MAT 562 : Introduction à la géométrie algébrique et courbes

Les variétés affines que l’on considère en géométrie algébrique sont associées à des idéaux dans k[x 1;:::;x n] On dit que X est une variété algébrique affine quandonconsidèreunevariétéX= V(I) etl’idéalIquidéfinitX;l’ensembledes pointsrationnelsX(k) ˆkn d’unevariétéXsignifiequel’onconsidèreunevariété

Unité 5 : la géométrie de quelques molécules simples

Cours de chimie de tronc commun scientifique et technologie Réalisé par : prof Ait baaziz abderrahmane/ lycée M’hamed belhsane el ouazani/ safi Page 28 III Géométrie spatiale de quelques molécules 1 Disposition spatiale des doublets De nombreuses molécules sont constituées d’un atome central lié à d’autres atomes par des liaisons

Géométrie dans lespace

géométrie plane (Pythagore, Thalès, etc ) • Par deux points distincts de l'espace passe une droite et une seule notée (AB) • Par trois points non alignés A, B, C il passe un unique plan noté (ABC) • Si deux points distincts A et B appartiennent à un plan P alors la droite (AB) est contenue dans le plan P

Mathématiques Cours, exercices et problèmes Terminale S

Questions de cours Les points suivants peuvent être abordés dans lecadre d’une restitution organisée deconnais-sances (ROC) à l’épreuve écrite du bac • 2 - Suites – Si (un) et (vn) sont deux suites telles que un6vn à partir d’un certain rang et si limun= +∞ alors limvn= +∞

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Rappels Géométrie dans le plan Seconde

1) Droites et centres remarquables d'un triangle

Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point G appelé centre de gravité du triangle. Ce point est situé au deux tiers de la médiane à partir du sommet. On a alors l'égalité : GA = 2 GA' ; GB = 2GB' ; GC = 2GC'. La médiane [AA'] sépare l'aire du triangle ABC en deux aires égales.

Les hauteurs

d'un triangle sont concourantes en un point H appelé orthocentre du triangle. Si le triangle ABC est rectangle en C, alors l'orthocentre est le point C. Si H est l'orthocentre du triangle ABC, C est l'orthocentre du triangle AHB.

Les bissectrices

d'un triangle sont concourantes en un point I qui est le centre du cercle inscrit au triangle. La bissectrice d'un angle étant l'ensemble des points équidistants des deux côtés adjacents à l'angle, on a : IU = IV = IW. (IU) et (AC) sont perpendiculaires.

Les médiatrices

d'un triangle sont concourantes en un point O qui est le centre du cercle circonscrit au triangle.

La médiatrice d'un côté étant l'ensemble des points équidistants des deux extrémités

du segment, on a : OA = OB = OC. Le point O est aussi l'orthocentre du triangle A'B'C'.

2) Triangle rectangle et théorème de PythagoreThéorème: Si ABC est un triangle rectangle en C, alors AB² = BC² + AC².

Réciproque

: Si dans un triangle ABC, AB² = BC² + AC² alors le triangle est rectangle en C.

Théorème

: Si ABC est un triangle rectangle en C, alors il est inscriptible dans le cercle de diamètre [AB]. Le centre du cercle circonscrit est le milieu de [AB].

Réciproque

: Si le triangle ABC est inscriptible dans le cercle de diamètre [AB] alors il est rectangle en C. Voir animations : http://dominique.frin.free.fr/geogebra/pythagore.html Propriétés : Si le triangle ABC est rectangle en C, et O le milieu de [AB], alors la médiane [CO] a pour longueur la moitié de [AB]. Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Soient deux point A et B du plan. L'ensemble des points M du plan tel que le triangle ABM est rectangle en M est le

cercle de diamètre [AB] (privé des points A et B).

3) Les angles

a) Égalités d'angles : Par deux droites parallèles et une sécante, on forme comme sur la figure ci-contre: des angles correspondants a et c, ainsi que b et d; des angles alternes-internes b et c, des angles alternes-externes a et d . b) Angles complémentaires : deux angles sont complémentaires si leur somme égale 90°. Dans un triangle ABC rectangle en A, les angles en B et en

C sot complémentaires.

c) Angles supplémentaires : deux angles sont supplémentaires si leur somme égale 180°.

Dans un parallélogramme ABCD les angles adjacents (en A et en B par exemple) sont supplémentaires.

d) Angles inscrits, angles au centre : ?L'angle inscrit AMB a pour mesure la moitié de l'angle au centre AOB. Ces deux angles interceptent le même arc de cercle. ?Les angles AMB et ANB interceptent le même arc de cercle, donc sont de même mesure.

AMB = ANB = 1

2 AOB.

Voir exercice sur les angles :

4) Théorème de Thalès

a) Théorème de Thalès: Si les triangles ABC et AMN sont tels que M est sur (AB), N est sur (AC) et les droites (MN) et (BC) sont parallèles, alors AM

AB = AN

AC = MN

BC. b) Réciproque : Si ABC est un triangle tel que M est sur (AB), N est sur (AC) et AM

AB = AN

AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles, et AM

AB = AN

AC = MN

BC. c) Remarques: •Si k est le rapport de proportionnalité entre les cotés des deux triangles, le rapport entre leurs aires sera k2 .

•Le théorème de la droite des milieux est un cas particulier du théorème de Thalès.

5) Trigonométrie dans le triangle rectangle

a) Dans un triangle ABC rectangle en C, on définit : cos(

BAC) = côté adjacent

hypoténuse = AC AB, sin(

BAC) = côtéopposé

hypoténuse = BC AB , tan(

BAC) = côtéopposé

côté adjacent = BC AC. b) Valeurs remarquables de sinus, cosinus et tangente Soit ABC un triangle isocèle rectangle en C tel que AC = BC = 1. Le triangle ABC étant isocèle rectangle en C,

BAC = ABC = 45°.

D'après Pythagore dans le triangle ABC rectangle en C, on a : AB

2 = AC2 + BC2 = 12 + 12 = 2 donc AB =

?2 (AB ? -?2 car c'est une longueur !) cos 45° = AC

AB = 1

?2 = ?2

2; sin 45° = BC

AB = 1

?2 = ?2 2; tan 45° = BC

AC = 1

1 = 1.

Soit ABC un triangle équilatéral de coté 1. Appelons H le pied de la hauteur issue de B.

Le triangle ABC étant équilatéral,

BAC = 60°.

Dans un triangle équilatéral, hauteurs et médianes sont confondues donc H est aussi le milieu de [AC] donc AH = 1 2. D'après Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a : AB2 = AH2 + BH2 donc BH

2 = AB2 AH-2 = 12 -

1 2? 2 = 3

4, donc BH = ?3

2 (BH ? -?3

2 car c'est une longueur !). cos 60° = AH

AB = AH = 1

2 ; sin 60° =BH

AB = BH = ?3

2 ; tan 60° = BH

AH = ?3

2?2 =?3.

Le triangle ABC étant équilatéral, hauteurs et bissectrices sont confondues, donc

ABH = 60°/2 = 30°.

cos 30° = BH

AB = BH = ?3

2 ; sin 30° = AH

AB= AH = 1

2 ; tan 30° = AH

BH = 1

2?2 ?3 = 1 ?3 = ?3 3.

Résumé :

x30° 45° 60° sin x 1 2?2 2?3 2 cos x?3 2?2 2 1 2 tan x?3 31?3
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