[PDF] Livret de liaison Seconde - Premiere S, STI2D, STL`

ALGORITHMIQUE AU LYCÉE Thème 1 - Probabilités

ALGORITHMIQUE AU LYCÉE Thème 1 - Probabilités Après une initiation à l'algorithmique et à la programmation au cours de l'année de seconde, les élèves peuvent utiliser les connaissances acquises (utilisation de boucles et d'instructions conditionnelles) pour répondre à des problèmes mathématiques résolubles au niveau du lycée

Algorithmique

À propos de la seconde édition: C’est avec une curiosité renouvelée que l’enseignant, le chercheur ou l’étudiant abordera cette seconde édition du livre de référence de l’algorithmique L’algorithmicien déjà fami-lier de la précédente édition y trouvera, parmi moult enrichissements disséminés tout le long

Calcul Des Probabilitã S Cours Exercices Et Problã Mes

quiz probabilits seconde cours et exercices de maths calcul des probabilits cours exercices et problmes cours probabilits secondes hmalherbe probabilits des ds wikipdia les probabilits mthode maths calcul probabilit union cours et exercices de maths § 1 exercices pour le niveau 1 378 meilleures images du tableau maths mathmatiques

Fiche 1 : Variables et affectations

Exercice 2 4 Ecrire un algorithme utilisant des variables de type chaîne de caractères, et affichant quatre variantes possibles de la célèbre « belle marquise, vos beaux yeux me font mourir d’amour » On ne se soucie pas de la ponctuation, ni des majuscules corrigé - retour au cours PARTIE 2 Corrigés des Exercices Exercice 2 1

ALGORITHMIQUE - ResearchGate

Cours, Exercices et Programmation Pascal du cours d’algorithmique, à savoir, le langage algorithmique qui couvre toutes les instructions de 60000 instructions par seconde, composé de

7 Lois de probabilité DS1

Exercice n°3 : Bac ES Doha 2013 Tous les jours, Guy joue à un jeu en ligne sur un site, avec trois amis 1) Paul se connecte sur le site La durée D (en seconde) qu’il faut pour réunir les quatre joueurs est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [20 ; 120]

Algorithmique L3 - IRIF

•Algorithmique dans les graphes distribution de probabilit´es sur les donn´ees de taille n seconde 250000, la 3`eme 125000, la 4`eme 62500, la 5`eme

Table des mati`eres - Jobin

• Les probabilit´es s’inscrivent dans la continuit´e de la formation initi´ee d`es la classe de troisi`eme et poursuivie jusqu’en classe de terminale Le formalisme abstrait (axiomatique de Kolmogorov)

Livret de liaison Seconde - Premiere S, STI2D, STL`

Ce livret de liaison de la seconde a la premi` `ere S, STI2D et STL propose des exercices pour s’entra ˆıner et dont la ma ˆıtrise technique est necessaire pour aborder la classe de premi´ ere en toute s` er´ enit´ e (la technique sera bien s´ ur revue rapidementˆ

[PDF] simulations, algorithmes en probabilités et statistique(s) au - Apmep

[PDF] Probabilités, simulation et algorithmique (pour TI)

[PDF] Algorithmes et programmation en Pascal TD corrigés - Limuniv-mrsfr

[PDF] Notes de cours / Algo et Python

[PDF] Algorithmique et Programmation Projet : algorithme de - DI ENS

[PDF] Score ASIA

[PDF] Un algorithme de simulation pour résoudre un problème de probabilité

[PDF] Algorithmique en classe de première avec AlgoBox - Xm1 Math

[PDF] Algorithme U prend la valeur [expression de la suite - Maths en ligne

[PDF] Rappels sur les suites - Algorithme - Lycée d 'Adultes

[PDF] Algorithme U prend la valeur [expression de la suite - Maths en ligne

[PDF] Algorithmique et Suites numériques Utiliser un algorithme avec les

[PDF] Les tableaux - Luc Brun

[PDF] Les tableaux 1 Exercice 1 - Lipn

[PDF] Les tableaux 1 Exercice 1 - Lipn

Livret de liaison Seconde - Premi`ere S, STI2D, STL

I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Groupe Aurillac - Lyc

´ee

Juin 2015

Ont collabor´e`a cet ouvrage :

?Emmanuelle BOYER, Lyc´ee´Emile Duclaux, Aurillac. ?Patrick DE GIOVANNI, Lyc´ee Jean Monnet, Aurillac. ?Bruno GRENIER, Lyc´ee´Emile Duclaux, Aurillac. ?Fabrice LALLEMAND, Lyc´ee´Emile Duclaux, Aurillac. ?J´erˆome MATHIEU, Lyc´ee Jean Monnet, Aurillac. ?Alexandre ROCQ, Lyc´ee´Emile Duclaux, Aurillac. ?Nathalie SOBELLA, Lyc´ee Jean Monnet, Aurillac. ?St´ephane SOBELLA, Lyc´ee Georges Pompidou - ENILV, Aurillac. 1

Table des mati`eres

1 Symboles?,?,?,∩4

2 Calcul litt

´eral6

3 Fonctions8

4

´Equations10

5 In

´equations et tableaux de signes12

6 G

´eom´etrie14

7

´Equations de droites et syst`emes15

8 Vecteurs16

9 G

´eom´etrie : Probl`eme pour chercher ...18

10 Statistiques20

11 Probabilit

´es22

12 Algorithmique24

13 Indications26

Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 2/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

IntroductionPour pouvoir faire un cursus scientifique avec des math´ematiques, il est n´ecessaire de maˆıtriser des notions de base, mais

aussi de d

´evelopper une motivation pour la recherche d"exercices dont la solution n"est pas trouv´ee en 5 minutes.

Ce livret de liaison de la seconde

`a la premi`ere S, STI2D et STL propose des exercices pour s"entraˆıner et dont la maˆıtrise

technique est n

´ecessaire pour aborder la classe de premi`ere en toute s´er´enit´e (la technique sera bien sˆur revue rapidement

en classe avec le professeur).

Il contient aussi des probl

`emes`a chercher, ... comme un challenge! La r´esolution de ces probl`emes, un peu plus difficiles,

signal

´es par un ou plusieurs symboles?, ne fait appel qu"`a des connaissances de la classe de seconde, mais ils pourront

aussi ˆetre r´esolus au fur et`a mesure de la classe de premi`ere. La ma

ˆıtrise de l"utilisation de la calculatrice et de logiciels (tableurs, g´eom´etrie dynamique, programmation, ...) est un

objectif

`a atteindre le plus rapidement possible . Quelques exercices sont propos´es : ils sont signal´es par le symbole?.

Bon courage

`a tous,

Les maths, c"est tout un monde

`a explorer ...

Les professeurs de math

´ematiques, auteurs du livret.

Il n"est pas pr´evu de compl´eter les exercices directementsur le livret (les espaces laiss´es dans certains exercicessont volontairement

insuffisants). Il faut travailler avec un cahier de recherche. Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 3/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

1 Symboles?,?,?,∩

Pr´erequis

D´efinition 1: Les ensembles A et B sont deuxsous ensemblesde l"ensemble E si, et seulement si, tous les´el´ements

de A et de B sont dans l"ensemble E. On note : A?E et B?E et on lit : “A est inclus dans E".

Remarque: la notation est diff´erente lorsqu"on s"int´eresse`a un´el´ementxde cet ensemble : on emploie le symbole?

qui se lit “appartient `a".

Traduction: six?A, alorsx?E.

D

´efinition 2: L"ensemble not´e

A est l"ensemble de tous les´el´ements de l"ensemble E qui n"appartiennent pas`a l"ensemble A, on l"appelle lecompl´ementaire de A dans l"ensemble Eet on lit : “A barre". Traduction: soitxun´el´ement de E, six?A alorsx? A. D

´efinitions 3:

A?B est l"ensemble des´el´ements de E qui appartiennent`a Aou `a B ou aux deux`a la fois. On l"appellela r´eunion des deux ensemblesA et B et on lit : “A union B". A∩B est l"ensemble des´el´ements de E qui appartiennent`a Aet `a B (`a la fois). On l"appellel"intersection des deux ensemblesA et B et on lit : “A inter B".

Traduction: Soitxun´el´ement de E, six?Aet

x?B alorsx?A∩B. Soitxun´el´ement de E, six?Aoux?B alors x?A?B. Remarque: si A∩B=∅, alors on dit que les deux ensembles sont disjoints.

Exercice 1

Le tableau ci-dessous donne le nombre de ch

ˆomeurs (en milliers) selon le sexe et l"ˆage en 2012 (source : INSEE, enquˆete

Emploi 2012).

Femmes (F)Hommes (H)Ensemble

15 ans ou plus (C)1 3611 4512 812

15-24 ans (C1)297361658

25-49 ans (C2)8128161 628

50-64 ans (C3)250272522

65 ans ou plus (C4)224

Champ : France m´etropolitaine, population des m´enages, personnes de 15 ans ou plus (ˆage courant).

1.Combien d"´el´ements poss`ede l"ensemble F?

2.Concr`etement, dans cet exemple, l"ensemble de tous les´el´ements´etudi´es est l"ensemble de tous les ....

Quel est le nom donn

´e`a cet ensemble dans le tableau? Combien d"´el´ements poss`ede-t-il? Quel symbole peut-on mettre entre l"ensemble F et l"ensemble C?

3.H∩C2est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il?

4.F?C3est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il?

5. F est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il? 6. C1est l"ensemble des .... Combien d"´el´ements cet ensemble poss`ede-t-il?

Exercice 2

Recopier et compl

´eter les pointill´es :

1.3...N;-3,1...N;N...R;⎷

5...Q.

2.Soitxun nombre compris entre 1 et 2, mais diff´erent de 2, alorsx...[1;2[ et [1;2[...R.

3.]1,1;1,2]...[1;2]??si 1,1< x <1,2 alors 1< x <2.

4.Six?[1;3[ etx?[0;2[, alorsx?[1;3[∩[0;2[, donc [1;3[∩[0;2[=....

5.Six?[1;3[ oux?[0;2[, alorsx?[1;3[?[0;2[, donc [1;3[?[0;2[=....

6.Les deux intervalles [1;3] et ]4;+∞[ sont ....

7.L"ensemble de tous les nombres r´eels qui ne sont pas strictement sup´erieurs`a 4 est l"intervalle ....

8.Soitxun nombre r´eel, six?[1;3[, alorsx?.... Le compl´ementaire de l"ensemble [1;3[ dansRest donc ....

9.Le compl´ementaire de l"ensemble des r´eelsxtels quex >-1 est ....

Groupe Aurillac - Lyc

´ee Page 4/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Exercice 3

1.Soit (O,I,J) un rep`ere du plan, D1la droite d"´equationy= 2x+1 et D2la droite d"´equationy=-x+3

a.Justifier que le point A(-1;-1) appartient`a D1. On peut´ecrire : A...D1. b.De mˆeme A?D2car .... c.D´eterminer D1∩D2.

2.Dans l"espace, on consid`ere le cube ci-dessous. Recopier et compl´eter les pointill´es.

a.F...(EGB). b.(FG)...(FBC). c.(EHB)∩(ABD) =.... d.(EHB)∩(FG) =.... e.(HD)∩(ABC) =.... Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 5/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

2 Calcul litt´eral

Pr´erequis

?Maˆıtriser les identit´es remarquables, les priorit´es de d´eveloppements. ?Rep´erer ou mettre en´evidence un facteur commun pour factoriser. ?Mettre en´evidencea2-b2pour factoriser. ?R´eduire des fractions au mˆeme d´enominateur.

Exercice 4

D

´eveloppe les expressions suivantes :

Exemple guid´e :

A = 2(3x-1)2-(5x+3)(2-3x)

A = 2(...x2-...+1)-(10x-...+...-...)

A = 18x2-...+...-10x+...-...+...

A =...

A toi de jouer :B= (2x-9)(3-2x)+5(2x+1)2C= 4(x-6)2-3(5x+3)(5x-3)

Exercice 5

Factorise les expressions suivantes :

Exemple guid´e :

A = 6x+3+4(2x+1)2

A =...(2x+1)+4(2x+1)2

A = (2x+1)(...+4(...))

A = (2x+1)(...+8x+...)

A = (...)(...)

A toi de jouer :

B= 2(5x-1)2+10x-2

C = (x2-4)-(x+2)2

Exemple guid´e :

A= 36x2-(5x+1)2

A= (...)2-(5x+1)2

A= ((6x)+(...))((6x)+(...))

A= (6x...)(6x...)

A= (...)(...)

A toi de jouer :

B= (4x-3)2-25x2

C = 49-(5x+2)2

Groupe Aurillac - Lyc

´ee Page 6/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Exercice 6´Ecrire sous la forme d"une seule fraction :Exemple guid´e :

A = 4+

3 x+2(cette expression existe si, et seulement si,x+2?...(valeur interdite pour A)) A =

4×(...+...)

x+2+3x+2 A = x+2+3x+2 A = x+2

A toi de jouer :B=2x

3x-1-5 C =42x+6-3x-5.

Exercice 7?

ABCD est un carr

´e de cˆot´e 6 cm. I est le milieu de [AD]. M est un point de [BC] et N un point de [CD] tels que BM = CN =x.

Exprimer l"aire du triangle IMN en fonction dex.

A× D× C ×B ×M N× I Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 7/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

3 Fonctions

Pr´erequis

?Notions de fonction, image, ant´ec´edent, fonctions affines, r´esolution d"´equations. ?Fonctions polynˆomes de degr´e 2, tableaux de signes et de variations.

Exercice 8

On consid

`ere la fonction affinefd´efinie surRparf(x) = 2x-3.

Sa repr

´esentation graphique est donn´ee ci-contre.

1. a.D´eterminer graphiquement l"image de 2 parf.

b.Retrouver ce r´esultat par le calcul.

2. a.D´eterminer graphiquement l"ant´ec´edent parfde-0,5.

b.Retrouver ce r´esultat par le calcul. 123
-1 -2 -3 -41 2 3-1 f(x) = 2x-3 0

Exercice 9

On consid`ere la fonctionfd´efinie surRparf(x) =x2-6x-7.

Sa repr

´esentation graphique est donn´ee ci-contre.

1. a.D´eterminer graphiquement l"image parfde 5.

b.Retrouver ce r´esultat par le calcul.

2. a.D´eterminer graphiquement les ant´ec´edents de 0 parf.

b.Montrer que, pour tout r´eelx,f(x) = (x-3)2-16. c.D´eterminer les ant´ec´edents de 0 par le calcul.

3.Donner le tableau de variation de la fonctionf.

4.Donner le tableau de signes de la fonctionf.

5. a.R´esoudre graphiquement l"´equationf(x) = 2.

b.R´esoudre alg´ebriquement l"´equationf(x) = 2. 246
-2 -4 -6 -8 -10 -12 -14 -161 2 3 4 5 6 7 8 -1-2 f(x) =x2-6x-7 0

Exercice 10?

On consid

`ere les deux algorithmes donn´es ci-contre.

1.Programmer ces deux algorithmes sur votre calculatrice.Les tester sur quelques nombres.

2.Quelle conjecture pouvez-vous formuler? La d´emontrer.

3.Quels nombres doit-on entrer pour obtenir 48 comme r´esultat?

(r

´esolution alg´ebrique attendue).

Groupe Aurillac - Lyc

´ee Page 8/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Exercice 11On consid`ere la fonctionfd´efinie surRparf(x) =x3-x2-6x.

Sa repr

´esentation graphique est donn´ee ci-contre.

1. a.D´eterminer graphiquement l"image parfde-3

2. b.Retrouver ce r´esultat par le calcul.

2. a.D´eterminer graphiquement les ant´ec´edents de 0 parf.

b.D´evelopper (x-3)(x+2). En d

´eduire une factorisation de la fonctionf.

c.R´esoudre l"´equationf(x) = 0.

3.Donner le tableau de variation de la fonctionfpar lecture

graphique.

4.En utilisant la factorisation trouv´ee en 2.b., dresser le tableau

de signes de la fonctionf.

5. a.D´eterminer graphiquement les ant´ec´edents de-6 parf.

b.Factoriserx3-x2et-6x+6. c.R´esoudre alg´ebriquement l"´equationf(x) =-6.

On utilisera les factorisations trouv

´ees en 5.b.

1234
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -91 2 3 4 -1-2-3 f(x) =x3-x2-6x 0

Exercice 12?

On dispose d"un carr

´e de m´etal de 10 cm de cˆot´e.

Pour fabriquer une bo

ˆıte sans couvercle, on enl`eve`a chaque coin un carr´e de cˆot´excm et on rel`eve les bords pour obtenir

un pav

´e droit.

1.Donner un intervalle pour la variablex.

2.Exprimer le volume V(x) de la boˆıte en fonction dex.

3.Utiliser la calculatrice pour d´eterminer le volume maximal et la valeur dexcorrespondante (on arrondira au

dixi `eme). Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 9/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

4´Equations

Pr´erequis

?Maˆıtriser le d´eveloppement et la factorisation d"une expression math´ematique.

?Maˆıtriser les trois identit´es remarquables vues au coll`ege que ce soit pour d´evelopper une expression ou la

factoriser.

?Maˆıtriser les fonctions de calculs de la calculatrice. En particulier le calcul fractionnaire.

M

´ethode de r´esolution d"une´equation

A la fin de votre ann

´ee de seconde, vous disposez de trois fac¸ons de r´esoudre une´equation.

— Sil"

´equation est lin´eaire (C"est`a direqu"elle necomporteaucune puissance dex,nide fractioncomportantdes termes

enxaud´enominateur), il suffit de d´evelopper,si besoin, chaque membre de l"´equation et d"isoler les diff´erents termes

enxd"un mˆeme cˆot´e de l"´egalit´e.

— Sil"

´equation comportedes puissances dex(et qu"iln"est paspossible "d"´eliminer" celles-ci parunsimple d´eveloppement),

il faut tenter de factoriser l"expression afin de se ramener `a la r´esolution d"une´equation produit.

— Si l"

´equation comporte des fractions rationnelles (C"est`a dire des fractions comportant desxau d´enominateur). Il

conviendratout d"abordde d ´eterminer l"ensemble des valeurs interdites (celles quidonnentunoudes d´enominateurs egaux`a 0)

Puis, il faudra transformer l"

´ecriture de mani`ere`a se ramener`a l"´egalit´e de deux fractions. On pourra alors utiliser

la r

`egle des produits en croix ou la mise au mˆeme d´enominateur afin de se ramener`a l"un des deux cas pr´ec´edents.

Trois exemples "concrets"

Cas d"une´equation lin´eaireCas d"une´equation-produitCas d"une´equation rationnelle 3

4(2x-3)+3x= 5x-23(5-9x)81x2-16 = (9x-4)(2x-3)x+1 =9x+1

D´evelopper et se ramener`a :Reconnaˆıtre une identit´e remarquable et se ramener `a :D´eterminer les´eventuelles valeurs interdites -132x=-1312(9x-4)(9x+4)-(9x-4)(2x-3) = 0

Montrer que l"on peut se

ramener `a : (x+1)2= 9

Montrer alors que

S = ?1 6?

´Ecrire la r`egle du produit nul et

montrer que S = ?4 9;-1?

Montrer alors que

S = {2;-4} Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 10/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Exercice 13R´esoudre dansRles´equations suivantes :

1.(5x-1)(x-9)-(x-9)(2x-1) = 0

2. 3x-1 x-5=3x-4x 3.

16x2-25

2x-3=4x-53

4.2(x-1)(x-3,5) = 4x2-28x+49

5. x2-3x (x-3)2= 4

Exercice 14?

On cherche une m

´ethode pour r´esoudre l"´equation suivantex2+2x-8 = 0. L"id´ee est de se ramener`a la r´esolution d"une

equation produit.

1. a.En utilisant une identit´e remarquable, compl´etez l"´egalit´e ci dessus :

x

2+2x= (x+...)2-...

b.En d´eduire que l"´equationx2+2x-8 = 0´equivaut`a (x+1)2-9 = 0.

c.En remarquant la pr´esence d"une identit´e remarquable, d´eduire alors les solutions de l"´equationx2+2x-8 = 0.

2.En s"inspirant de la m´ethode pr´ec´edente, r´esoudre l"´equationx2+12x+11 = 0.

Groupe Aurillac - Lyc´ee Page 11/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

5 In´equations et tableaux de signes

Pr´erequis

R`egle des signes pour un produit ou un quotient, signe d"une fonction affine, valeurs interdites pour un quotient,

intervalles et r

´eunion d"intervalles.

Signe d"un produit

Exemple guid

´e

On veut

´etudier dansRle signe du produit P(x) = (-2x-6)(x-5).

Racine de-2x-6 : Racine dex-5

-2x-6 = 0?x=... x-5 = 0?x=... Compl ´eter le tableau avec les signes qui conviennent : x-∞... ...+∞ -2x-60 x-50

P(x)0 0

En d´eduire les solutions dansRdes in´equations suivantes : P(x)>0 et P(x)?0.

A toi de jouer ...

Exercice 15

1. ´Etudier surRle signe de P(x) = (-3x+12)(7-2x).

2.En d´eduire les solutions des in´equations suivantes : P(x)?0 et P(x)<0.

Exercice 16

R

´esoudre dansRles in´equations suivantes :

1.(3x+2)2-(3x+2)(5x+1)?0

2.(2-x)2>36.

Conseil : se ramener

`a une in´equation produit avec un second membre nul, r´ealiser un tableau de signes et conclure.

Exercice 17?

On consid

`ere deux nombres r´eelsxetydont la somme est 20.

On souhaite que leur produit P soit sup

´erieur ou´egal`a 91.

1.Exprimeryen fonction dex.

2.D´emontrer que r´esoudre l"in´equation P?91 revient`a r´esoudre l"in´equation (7-x)(13-x)?0.

3.Conclure.

Groupe Aurillac - Lyc

´ee Page 12/26 I.R.E.M. de Clermont-Ferrand

Signe d"un quotientExemple guid´e

On veut

´etudier dansRle signe du quotient Q(x) =3x+9

x-2. Condition d"existence du quotient ou recherche de la valeurinterdite :

Q(x) existe?x-2?0?x?...

Racine de 3x+9 : Racine dex-2

quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9