TD corrigés d’électromagnétisme

Une bobine est un regroupement de spire que l’on peut approximer comme étant superposé les uns sur les autres Le module du champ magnétique produit au centre d’une bobine parcourue par un courant I est défini à l’aide de l’équation suivante : R I B N 2 = µ0 R B I I I I où B: Champ magnétique produit au centre de la bobine en

La bobine et le magnétisme

Figure 3 : champ magnétique d'une bobine Ainsi, si l'on approche le pôle Nord de l'aimant de la bobine par la droite, le courant induit fait apparaître un pôle Nord dans la bobine à droite, pour repousser l'aimant (les pôles de même nature se repoussent)

01 Champ magnétique

la bobine, les lignes de champ magnétique ainsi que les pôles des deux faces de la bobine b) Déterminer la valeur du champ magnétique si le solénoïde à une longueur de 5 cm, contient 1000 spires et est parcourue par un courant de 6 A (151 mT)

Le champ magnétique créé par un courant - AlloSchool

Champ magnétique créé par une bobine plate : II 1- Définition d'une bobine : Une bobine est constituée d’un enroulement de fil conducteur sur un cylindre de rayon r Si L et r sont du même ordre de grandeur on a un solénoïde Si L > 10 r on a un solénoïde infini Si r >>L on a une bobine plate II 2-Etude de la bobine plate : a

Chap 6 Champ magnetique - Free

Le champ magnétique dépend du milieu dans lequel il se trouve Par exemple, si on place un noyau de fer à l'intérieur d'une bobine, la valeur du champ magnétique augmente ; cette valeur est multipliée par ce qu'on appelle la perméabilité relative du matériau µR ( Cela signifie que le

Champs magnétiques (Solénoïde, bobines plates)

Cf "Champ magnétique le long de l'axe du solénoïde (2 enroulements) en fonction de l'intensité" 2 Bobines plates 2 1 Champ magnétique le long de l'axe d'une bobine plate Cf "Champ magnétique le long de l'axe d'une bobine plate" 2 2 Champ magnétique le long de l'axe des bobines de Helmholtz distantes de 2R

Chapitre7 Électromagnétisme

Une aiguille placée au voisinage immédiat d’un ﬁl conducteur parcouru par un courant électrique subit unedéviation Un courant électrique crée un champ magnétique Nous allons étudier les spectres magné-tiques d’un ﬁl rectiligne, d’une bobine plate et d’un solénoïde parcourus par un courant électrique Filrectiligne

Champ magnétique I Introduction

Champ magnétique I Introduction 1 Si on note Rle rayon d’une spire, plus L˛rplus le champ est uniforme à l’intérieur du solénoïde À la limite du

TD corrigés d’électromagnétisme

4) Energie magnétique stockée dans une bobine : Une bobine de longueur l, de rayon a et d’axe (Oz), est constituée par un enroulement de n spires circulaires jointives par unité de longueur On utilisera pour l’étude qui suit l’approximation du solénoïde infini et on se place dans l’ARQS 1) Déterminer le champ magnétique

Electromagnétisme pourlalicencedeSciencespourl’Ingénieur

un champ électriqueet est le siège d’une action mécanique pour le doublet, dipôle magnétique pour l’aimant ou la bobine), dont la carte de champ est

Préparation au Concours Cycle Polytechnicien

Filière universitaire : candidats internationaux (O.Granier, ITC, du 24 au 29 octobre 2011)

TD corrigés d'électromagnétisme

1) Bobines de Helmholtz :

On considère une distribution de courants cylindriques autour de l'axe (Ozà qui crée un

champ magnétique sur l'axe Oz colinéaire à cet axe.

1) Rappeler l'expression du champ créé par une spire de rayon a parcourue par une intensité I

à la distance z du centre de cette spire sur l'axe de la spire.

2) On se place maintenant (tout en étant toujours à la côte z) à une distance r relativement

faible de l'axe. En écrivant la conservation du flux du champ magnétique, montrer que le champ possède une composante radiale donnée par : 2 z rBrB z

2) Champ électrique et champ magnétique :

Soit C un cylindre de révolution d'axe (Oz), de rayon a et de longueur très grande devant a. C,

chargé uniformément avec la densité volumique

ρ, est mis en rotation autour de (Oz) avec la

vitesse angulaire ω (supposée indépendante du temps jusqu'à la dernière question) sans que cette rotation affecte la répartition des charges dans C. a) Déterminer dans tout l'espace le champ électrique Er. b) Déterminer dans tout l'espace le champ magnétique Br. c) Déterminer de même un potentiel vecteur

Ar du champ Br.

d) Que peut-on dire si ω varie dans le temps "pas trop rapidement" ? Quel est dans ce dernier cas l'intérêt du calcul de

Ar fait en (3) ?

Solution :

a) On utilise la théorème de Gauss : (le champ électrique est radial)

Pour r > a :

2 2

0012 ( ) ( )2arhE r a h soit E rr

Pour r < a :

0012 ( ) ( )2rhE r r h soit E r rρπ π ρε ε= =

On vérifie que le champ électrique est continu à la traversée du cylindre (en r = a).

b) On utilise le théorème d'Ampère : (le champ magnétique est selon l'axe du solénoïde et on

sait qu'il est nul à l'extérieur). On choisit un contour rectangulaire dont un côté parallèle à

l'axe est dans le solénoïde et un autre à l'extérieur. Alors : 2 20

0( ) ' ' ( )2

a rB r r dr a rμ ρωμ ρω= = -∫ (Pour r < a) c) Le potentiel vecteur est défini par B rotA=uuurrr. Le calcul est identique au calcul du potentiel vecteur créé par un solénoïde classique infini.

On considère un solénoïde infini de section circulaire de rayon R, constitué de n spires

jointives par unité de longueur et parcouru par un courant d'intensité I.

Le plan contenant l'axe du solénoïde et le point M étant un plan d'antisymétrie :

θurAMArr)()(=

En prenant comme contour un cercle centré sur l'axe (Oz) et perpendiculaire à cet axe : dSnBdA SC rrlrr..

On obtient : Si r > R :

4 4 4 2 2

00 0012 ( ) ( )2 ( )

2 2 4 4

aa a arA r a r rdrπ μ ρω π πμ ρω πμ ρω= - = - =∫, soit : 4 0( )8 aA rrμ ρω=

Si r < R :

2 2 4

2 22 2 2

00 00112 ( ) ( ' )2 ' ' ( ) 2

2 2 4 4

ra r rrA r a r r dr a r rπ μ ρω π πμ ρω πμ ρω= - = - = -∫

Soit :

2 2

01( ) 2

8A r a r rμ ρω= -

On constate que le potentiel vecteur est continu à la traversée de la surface r = a du solénoïde.

d) Ces calculs restent valables dans l'ARQS et la connaissance du potentiel vecteur permet de

traiter les problèmes d'induction faisant intervenir le champ électromoteur de Neumann,

A t r 3

3) Condensateur alimenté à haute fréquence :

Un condensateur plan, constitué de deux plaques circulaires d'axe (Oz) et de rayon R,

séparées par une distance e faible devant R, est alimenté par un générateur de tension

sinusoïdale de pulsation ω.

a) Pour ce système à symétrie cylindrique, on écrira le champ électrique sous la forme :

zutrEErrωcos)(= Quelle est l'équation différentielle vérifiée par la fonction E(r) ?

Déterminer la solution sous la forme d'une série entière développée en puissances de la

variable sans dimension c rxω=. b) Pour cmRetMHz520==πω, que peut-on dire de la fonction E(r) à l'intérieur du condensateur ?

L'ARQS est -elle convenable ?

c) Que vaut le champ magnétique à l'intérieur du condensateur ? Donnée : en coordonnées cylindriques, le laplacien d'une fonction ),,(zrfθ est : 22
22
2 11 zff r rfrrrf∂∂+∂∂+)

Solution :

a) Le champ électrique vérifie, en l'absence de courants et de charges :

0)()(0122

2=+Δ=∂∂-ΔrEcrEsoittE

cEωrrr Avec l'expression précédente du laplacien, il vient :

0122=+)

EcdrdErdrd

rω

Soit :

0122

22=++EcdrdE

r drEdω. On pose c rxω= et on cherche une solution de la forme (E0, valeur du champ sur l'axe (Oz)) : 10 nn n xaExE

Alors :

2 1 22
1 1 22
1

1)1(;-

n n nn n nn n nxanncxnacdxd c drEdxnacdrdx dxdE drdEωωωω

Et, par conséquent :

01)1( 122
1 12 1 22
=n n nn n nn n n xacxnacxcxanncωωωω

D'où :

0 122
1 =n n nn n n xaxan

Soit :

22naa
nn--= 4 avec a1 = 0 (diverge en 0 sinon).

La solution recherchée est donc de la forme :

p pp p cr pErE 2 22
00 )!(2)1()() b) On pose

210-==c

RXω ; le champ peut s'écrire :

p ppp p Rr XpErE 2 222
001 )!(2)1()() Le champ est pratiquement uniforme à l'intérieur du condensateur et vaut :

0)(ErE=

L'ARQS est bien vérifiée ; en effet, les retards sont bien négligeables vis-à-vis du temps

caractéristique T : sTsc

Rt71010210.67,1--==<<=≈Δω

Par contre, si

[]10,1?X, les termes de la série donnant E(r) ne sont pas négligeables et le champ E(r) n'est plus uniforme.

c) Dans le condensateur, le champ magnétique est, pour ce problème à géométrie cylindrique,

de la forme :

θutrBBrr),(=

Le théorème d'Ampère généralisé indique que la circulation du champ magnétique sur un

cercle de rayon r (r < R) et d'axe (Oz) est égale au flux du courant de déplacement à travers le

disque correspondant, multiplié par μ 0 : )sin)((),(202 002

0trErt

Soit :

θωωutrrEctrBrrsin)(21),(2-=

Si l'ARQS est vérifiée, alors

0)(ErE= et : θωωutrEctrBrrsin21),(02-=

4) Energie magnétique stockée dans une bobine :

Une bobine de longueur l, de rayon a et d'axe (Oz), est constituée par un enroulement de n

spires circulaires jointives par unité de longueur. On utilisera pour l'étude qui suit

l'approximation du solénoïde infini et on se place dans l'ARQS.

1) Déterminer le champ magnétique créé par la bobine parcourue par le courant I.

2) Quelle est l'énergie magnétique de la bobine ? En déduire la valeur de l'inductance L de la

bobine.

3) La bobine est placée dans un circuit série avec une résistance R et un générateur de fém

constante U

0. Déterminer l'expression I(t) du courant dans la bobine en fonction du temps.

4) Calculer les champs magnétique et électrique créés par la bobine en tout point à l'instant t.

5) Déterminer les densités volumiques d'énergies magnétique et électrique. Que peut-on dire

du rapport de ces deux énergies ? Conclure. 5

6) Quelle est l'expression du flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant le

volume de la bobine ? Commentaires.

Solution :

1) Le champ magnétique est zutnIBrr)(0μ=.

2) L'énergie magnétique s'écrit de deux manières :

mHanLoudLIaB100'21)(222 022

02===πμπμll

3) Classiquement :

R Lt R etI=--=ττ)),/exp(1()( .

4) On note

R neB0

0μ= ; à l'intérieur, ztueBBrr)1(/

0τ--=. A l'extérieur, le champ est nul.

Le champ électrique est orthoradial (faire une étude de symétries) ; il dépend de r et du temps.

[PDF] TD corrigés d’électromagnétisme

Préparation au Concours Cycle Polytechnicien

TD corrigés d'électromagnétisme

1) Bobines de Helmholtz :

1) Rappeler l'expression du champ créé par une spire de rayon a parcourue par une intensité I

2) On se place maintenant (tout en étant toujours à la côte z) à une distance r relativement

2) Champ électrique et champ magnétique :

ρ, est mis en rotation autour de (Oz) avec la

Ar du champ Br.

Ar fait en (3) ?

Solution :

Pour r > a :

0012 ( ) ( )2arhE r a h soit E rr

Pour r < a :

0012 ( ) ( )2rhE r r h soit E r rρπ π ρε ε= =

0( ) ' ' ( )2

θurAMArr)()(=

On obtient : Si r > R :

00 0012 ( ) ( )2 ( )

2 2 4 4

Si r < R :

2 22 2 2

00 00112 ( ) ( ' )2 ' ' ( ) 2

2 2 4 4

Soit :

01( ) 2

8A r a r rμ ρω= -

3) Condensateur alimenté à haute fréquence :

L'ARQS est -elle convenable ?

Solution :

0)()(0122

2=+Δ=∂∂-ΔrEcrEsoittE

0122=+)

EcdrdErdrd

Soit :

22=++EcdrdE

Alors :

1)1(;-

Et, par conséquent :

D'où :

Soit :

La solution recherchée est donc de la forme :

210-==c

RXω ; le champ peut s'écrire :

0)(ErE=

Rt71010210.67,1--==<<=≈Δω

Par contre, si

θutrBBrr),(=

0trErt

Soit :

θωωutrrEctrBrrsin)(21),(2-=

Si l'ARQS est vérifiée, alors

0)(ErE= et : θωωutrEctrBrrsin21),(02-=

4) Energie magnétique stockée dans une bobine :

1) Déterminer le champ magnétique créé par la bobine parcourue par le courant I.

2) Quelle est l'énergie magnétique de la bobine ? En déduire la valeur de l'inductance L de la

3) La bobine est placée dans un circuit série avec une résistance R et un générateur de fém

0. Déterminer l'expression I(t) du courant dans la bobine en fonction du temps.

4) Calculer les champs magnétique et électrique créés par la bobine en tout point à l'instant t.

5) Déterminer les densités volumiques d'énergies magnétique et électrique. Que peut-on dire

6) Quelle est l'expression du flux du vecteur de Poynting à travers la surface délimitant le

Solution :

1) Le champ magnétique est zutnIBrr)(0μ=.

2) L'énergie magnétique s'écrit de deux manières :

02===πμπμll

3) Classiquement :

4) On note

0μ= ; à l'intérieur, ztueBBrr)1(/

0τ--=. A l'extérieur, le champ est nul.

Si r < a :

θμudt

2),(0-=

Si r > a :

θμudt