Chapitre 43 – Le centre de masse
Pour trouver le centre de masse du triangle, nous pouvons découper ce triangle en trois tiges Nous allons évaluer le centre de masse de chaque tige et les considérer comme des masses ponctuelles Puisque les tiges sont homogènes, le centre de masse de chaque tige sera au centre géométrique de la tige : Tige A :
BARYCENTRE - AlloSchool
Le solide ( ) (est constitué d’un disque ????)dont on a enlevé le disque (????′) (????) est le disque de centre et de rayon 2 (????′) est le disque de centre Ω et de rayon Déterminer et tracer le centre de gravité du solide 5) Barycentre de quatre points pondérés 3 1 Définition Propriété :
Exercices sur les équations de cercles Exercice 1
et A 1;5 C est le cercle de centre I passant par A Démontrer que la droite d d’équation 19 22 yx est tangente en A au cercle C Exercice 5 : On considère le cercle C d’équation x y x y22 80 et le cercle C’ de centre 3 O' 1; 2 et de rayon 17 2 1) Déterminez le centre O et le rayon r de C puis déterminez une équation de C
PRODUIT SCALAIRE de lespace - Les cours et exercices
suivant un seul cercle dont on déterminera le centre et le rayon Exercice24 : dans l’espace (ℰ) est muni d’un repère ;k orthonormé On considère les plan P m d’équations m 0 avec m paramètre réel Et la sphère S de centre: 1 et le rayon R 3 1)Etudier et discuter suivant le paramètre la position relative de la sphère et les plan
Centre et rayon d’un cercle passant par trois points donnés
Le fichier cercle_3pts xls contient sur la ligne n o 5, les cellules où l’on rentre les abscisses et ordonnées des trois points Les cellules H5, I5 et J5 donnent la position du centre (xc et yc) et le rayon du cercle (rc) Tableau et formules excel Formules des cellules H5, I5et J5
Chapitre 8 Homothétie 2019-2020 3ème
2) Construire en rouge l’image du triangle gris l’homothétie de centre O et de rapport ½ Exercice 2 : Construire le point A’ image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport 0,5 Exercice 3 : Construire le point A’ image du point A par l’homothétie de centre O et de rapport – 2
Déterminer l’écriture complexe d’une similitude
On applique simplement la formule du cours : avec k le rapport , l’affixe du centre de la similitude et l’angle de la similitude Exemple Déterminer l’écriture complexe de la similitude de centre A d’affixe 1 – 2 i , de rapport 3 et d’angle On applique la formule du cours : En connaissant deux points et leurs images
EXERCICE 1 (7pts) le nickelage électrolytique 35mn
On admet que le centre d'inertie du Satellite effectue un mouvement circulaire dans le référentiel "Uranocentrique" 1-1-Recopier le schéma de la figure et représenter dessus ????⃗⃗⃗S du satellite (S) et F⃗ U/s la force d’attraction universelle appliquée par Uranus sur (S)
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Lycée Oued Eddahab 1Bac SM F A.KARMIM 1
KF I) ACTIVITES Activité 1 : Sur une barre rigide de poids négligeable et de longueur on considère deux boules métalliques de -- en et de - en . un point sur la barre. Déterminer la position de sachant que le système et e équilibre. Activité 2 : Soit un triangle rectangle en et -. 1- Montrer uil eiste un et un seul point tel que : - -- 2- Tracer le point . 3- Si le plan est rapporté au repère où est milieu de , quels seront les coordonnées du point . Activité 3 : Soit une famille de 4 points, et 4 réels dont la somme est non nulle. Montrer ue lapplication : est une bijection. Lapplication sappelle lapplication de Leibniz (Wilhelm Leibniz 1646-1716) II) DEFINITIONS ET PROPRIETES : 1) Vocabulaires Définitions : Soit un point et un réel non nul ; le couple sappelle un point pondéré. Plusieurs points pondérés constituent un système pondéré 2) Barycentre de deux points pondérés. 2.1 Définitions. Propriété : Soit un système pondéré, tel que - lapplication est une bijection. Il existe un et un seul point qui vérifie - A B M
Lycée Oued Eddahab 1Bac SM F A.KARMIM 2 Preuve : est lapplication de Leibniz pour deu points Définition : Soit un système pondéré, tel que - ; le barycentre du système pondéré est le point qui vérifie : -. On écrit : 2.2 Propriétés de barycentre de deux points pondérés. Soit un système pondéré, tel que - et On a donc - et par suite : pour tout réel non nul on a : - et donc . Propriété : Le barycentre dun systme pondéré de deux points ne varie pas si on multiplie les poids par le même réel non nul Si le barycentre du système pondéré sappelle lisobarycentre de et ui nest ue la milieu du segment . Construction : Construire - Soit un système pondéré, tel que - et On a donc : - par suite : - où est un pont quelconque dans le plan do : - on conclut que : . (car - ) Propriété : Soit un système pondéré, tel que - et . Pour tout point du plan on a : . Cette proprit sappelle la propriété caractéristique du barycentre. Propriété : Si alors les points sont alignés. Preuve : Il suffit dutiliser la proprit prcdente en posant dans la propriété ; On aura Do les ecteurs et sont colinéaires et par suite : les points sont alignés.
Lycée Oued Eddahab 1Bac SM F A.KARMIM 3 Propriété : Le plan et rapporté à un repère , Soient et et on a : Preuve : Il suffit dutiliser la proprit caractristiue du barycentre. Exercice : Considérons les applications et - définies sur soient et leurs courbes respectives dans un repère orthonormé. Pour tout dans , on pose le point de daffie et le point daffie de . 1- Déterminer les coordonnées du point isobarycentre de et . 2- Dterminer et tracer lensemble dans lequel varie quand varie dans . 3) Barycentre de trois points pondérés 3.1 Définition Propriété : Soit un système pondéré, tel que - lapplication : est une bijection. Il existe un et un seul point qui vérifie - c est à dire : - Preuve : est lapplication de Leibniz pour trois points Propriété : Soit un système pondéré, tel que - et On a pour tout point du plan : Preuve : Même démonstration que dans le cas précèdent. Propriété : Le plan et rapporté à un repère , Soient ; et on a : Propriété : Le barycentre dun systme pondr de trois points ne arie pas si on multiplie les poids par le mme nombre non nul : pour - Exercice : Soit où - et
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Montrer que Propriété : Si avec - et Alors : Remarque : La proprit dassociatiit nous permet de construire le barycentre de trois points pondérés. Application : Construire le barycentre du système pondéré - Cas particulier Si les poids sont égaux le barycentre de sappelle le centre de gravité du triangle . Exercice 1 : Soit un triangle. Pour tout point on pose - - 1- Rduire lcriture de . 2- Montrer que le vecteur est constant. 3- Dterminer lensemble des points tel que les vecteurs et soient colinéaires. Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants : - - - - - Exercice 3 : Le solide est constitu dun disue dont on a enlevé le disque est le disque de centre et de rayon - est le disque de centre et de rayon Déterminer et tracer le centre de gravité du solide. 5) Barycentre de quatre points pondérés 3.1 Définition Propriété : Soit un système pondéré, tel que - lapplication : est une bijection. Il existe un et un seul point qui vérifie - Preuve : est lapplication de Leibniz pour uatre points
Lycée Oued Eddahab 1Bac SM F A.KARMIM 5 Propriété : Soit un système pondéré, tel que - et On a pour tout point du plan : où Preuve : Même démonstration que dans les cas précédents. Propriété : Le plan et rapporté à un repère , Soient ; ; et et on a : Où Propriété : Le barycentre dun systme pondr de quatre points ne varie pas si on multiplie les poids par le même nombre non nul : pour - Exercice : Soit où - et - Si et Montrer que : Propriété : Si avec - et - Si et Alors Remarque : La proprit dassociatiit nous permet de construire le barycentre de quatre points pondérés. Application : un rectangle tel que : - Construire le barycentre du système pondéré - Cas particulier Si les poids sont égaux le barycentre de sappelle le centre de gravité du quadrilatère Exercice : Déterminer des poids pour les points pour que dans le figure ci-dessous