Le PRODUIT VECTORIEL - AlloSchool
produit vectoriel est 0 On note w u v Exemple : et deux vecteurs tels que : u ;1 et v 3 et 3 uv S Calculer : uv 3 3 3 sin 1 3sin 3 3 2 2 u v u v S u T III) PROPRIETES DU PRODUIT VECTORIEL 1) Propriétés : 1) uu 0 2)Le produit vectoriel est antisymétrique: v u u v 3)Le produit vectoriel est bilinéaire :
Produit vectoriel - F2School
Chapitre 5 — Produit vectoriel, produit mixte Produit vectoriel 1 Rappels 1 On a vu que Cet exemple assez simple laisse deviner qu’il existe une relation
Sur le produit vectoriel - Université Paris-Saclay
1 2 Remarque Bien entendu, quand on aura d e ni le produit vectoriel, cette identit e s’ ecrira : (ujv)2 + ku^vk2 = kuk2 kvk2; 1 Il n’y a pas de d e nition satisfaisante d’angles orient es dans l’espace Avec la d e nition ci-dessus, le cosinus d’un angle peut ^etre n egatif, mais le sinus est obligatoi-rement positif 2
1 Produit vectoriel : d¶eflnition
Quant au produit mixte il est ¶egalement nul d’aprµes les propri¶et¶es 1 et 2 du produit vectoriel, ajout¶e au fait qu’un produit scalaire entre deux vecteurs orthogonaux est nul Second cas : les trois vecteurs forment un triµedre direct
Produit vectoriel - maths-francefr
Produit vectoriel En SI, on définit et on utilise le produit vectoriel de deux vecteurs de l’espace de dimension 3 La notion de produit vectoriel ne fait pas partie du programme de mathématiques de maths sup et de maths spé Nous donnons ici un complément hors programme sur le sujet
Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel
Le produit scalaire nous permet donc de déduire la perendicularité géometrique lorsqu’il est de valeur nulle Expression analytique : I 3 3 Produit vectoriel Le produit vectoriel de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le vecteur représenté par le bipoint OC avec : - Un module égale à OA OB sin(θ)
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL
Niveau: 1 SCIENCES MATHS - COURS PRODUIT VECTORIEL page Pro Benmoussa Med a Propriété : u et v et w trois vecteurs de l’espace E orienté et on a : 1 L’antisymétrie du produit vectoriel: v u u v 2 Bilinéarité du produit vectoriel : u v w u v u v u v w u w u w ku v u kv k u v
En ING-150, pourquoi utilise-t-on le produit vectoriel?
Une autre utilité du produit scalaire : De façon secondaire, le produit scalaire est aussi un outil permettant de calculer l’angle entre deux droites quelconques en 3D Exemple : On désire calculer l’angle θ compris entre les deux bouts de tuyau OA et OB ci-dessous x y z O A 4m 3m 2m 5m B θ En général, le produit scalaire d’un
Produit mixte et produit vectoriel - Université Paris-Saclay
produit scalairebases orthonorm eesproduit mixteproduit vectorielcalcul a (b c) polaires 3dHadamardLagrange Produit mixte et produit vectoriel Fran˘cois Dubois Applications de l’Analyse a la G eom etrie et Introduction a l’Alg ebre Lin eaire cours num ero 07 CNAM Paris, mars 2020 Conservatoire National des Arts et M etiers, Paris
CALCUL VECTORIEL ET PRODUIT SCALAIRE
calcul vectoriel et produit scalaire: propriÉtÉs et applications Les mathématiques sont l’exploration de tout un monde de conséquences à partir d’une simple définition rigoureuse On a vu dans la 1 re partie de ce cours que le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel
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MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n
9 Jacques V´elu (CNAM)Chapitre 5 - Produit vectoriel, produit mixte
Produit vectoriel
1 Rappels
1.Onavuque
V=a!{+b!|+c!k!V0=a0!{+b0!|+c0!k
V!V0=(bc0cb0)!{+(ca0ac0)!|+(ab0ba0)!ket qu"on le calcule de la fac¸on suivante : a a0bc0cb0
b b0ca0ac0
c c0ab0ba0
2.Quesepasse-t-ilsil"onchangederep
est-ce qu"on trouve un autre r´esultat?
le produit vectoriel est orthogonal`a!V!V0, sa norme est l"aire du parall`elogramme construit`a partir de!V!V0,il est orient´e selon la r`egle des 3 doigts :Conclusion:!V!V0ne d´epend pas du rep`ere choisi pour le
calculer.3. Pour calculer le produit vectoriel, il sut de se rappeller que :
{!|=!k!|!{=!k!{!{=!O |!k=!{!k!|=!{!|!|=!O k!{=!|!{!k=!|!k!k=!O 1 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)et que le produit vectoriel est doublement distributif :
+cc0!k!k2 Quelques utilisations du produit vectoriel
1. Pour lesvecteurs, le produit vectoriel est un d´etecteur decolin´earit´e:
u!V=u0!V0()!V!V0=!O2. Pour lespoints, le produit vectoriel est un d´etecteur de d"alignement:ACBA;B;C align´es()!AB!AC=!O
On peut faire jouer le m
ˆeme rˆole aux 3 points :
!AB!AC=(!OB!OA)(!OC!OA) !OB!OC!OB!OA!OA!OC+!OA!OAA;B;C align´es()!OA!OB+!OB!OC+!OC!OA=!O3. Eng´eom´etrie, le produit vectoriel est li´e`a la notion derotation.
4. Le produit vectoriel permet de calculer l"aire d"un triangle:
aire(ABC)=12 !AB!AC5. Enphysique(m´ecanique, ´electricit´e, ...), on rencontre tr`es souvent des produits vectoriels.
Exemple:Th´eor`eme du moment cin´etique
LepointOestfixe.Lemomentcin´etiqueparrapport`aOdupointmobileM,demassemetdevitesse!Vest!OMm!V. SiFest la r´esultante des forces qui s"appliquent`aM, on a :
ddt (!OMm!V)=!OM!FEn eet, si!Aest l"acc´el´eration deM: ddt (!OMm!V)=!Vm!V+!OMm!A=!OM!FDans le cas o
`uMest soumis`a uneforce centraledirig´ee versO, le deuxi`eme membre est nul et!OMm!Vest un vecteur constant, donc lemouvement est plan.
2 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)3 Applications `a la g´eom´etrie plane
1. Dans le cas o
`u!Vest dans le plan( !{ ;!|), on a!V=a!{+b!|et le calcul de!V!kdonne : a0b b0a0 1 0)!V!k=b!{a!|
est le vecteur qui se d´eduit de!Vpar une rotation de+2
Cet exemple assez simple laisse deviner qu"il existe une relation entre lesproduits vectorielset les rotations.2. On consid
`ere deux vecteurs!Vet!V0dans le planR2muni d"un rep`ere orthonorm´e( O;!{ ;!|): !V=a!{+b!|!V0=a0!{+b0!| Pour pouvoir calculer leur produit vectoriel, il faut introduire une troisi `eme dimension. On ajoute un vecteur!k, pour compl´eter le rep`ere orthonorm´e( O;!{ ;!| ;!k)de R3. a a 00 b b 000 0ab0ba0)!V!V0=(ab0ba0)!kLe produit vectoriel est remplac
´e par le nombre =ab0ba0. On le note :
=ab0ba0= a a 0 b b 0 =det(!V;!V0)On l"appelle led´eterminantdes vecteurs!Vet!V0car il d´etermine s"ils sont colin´eaires ou pas.
Sa valeur absolue est l"aire du parall
´elogramme :V'
V3. Dans le plan rapport
´e au rep`ere( O;!{ ;!|), une droite( D)est l"ensemble des point sM=(x;y) qui v´erifient une´equation du type :
x+y= dans laquelleetne sont pas nuls tous les deux. Avec!N=!{+!|et!OM=x!{+y!|, cette´equation devient : N!OM= 3 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)On en tire plusieurs cons
´equences :
.La droite( D)passe par Osi et seulement si =0. .SiM0est un autre point de( D):N!OM0=
!N!OM= )!N(!OM0!OM0)=!N!MM0=0N OM M' D )Le vecteur !Nest orthogonal`a( D)Pour obtenir
!D, un vecteur directeur de( D), il su t de calculer le produit vectoriel de!Net de!k: 0 00 1 0)
!D=!{!|4. Soient deux droites( D)et ( D0)d" ´equations : (D)x+y= (D0)0x+0y= 0 det( !D;!D0)= 0 0 =00= 0 0 =det(!N;!N0)D!D0=0+0=!N!N0
(D)==(D0)()det(!D;!D0)=00=0 (D)?(D0)()!D!D0=0+0=0 4 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)5. Chercher les pointsM=(x;y)communs `a!Det!D0revient`a r´esoudre un syst`eme de 2´equations
a 2 inconnues : (S)8 >><>>:x+y=0x+0y=
0C"est pour cela qu"un tel syst
`eme est qualifi´e delin´eaire.Il y a 3 possibilit
´es :
Cas (I) :(D)
D )les deux droites sontconfondues, leurs´equations sont les mˆemes`a un facteur pr`es, le syst`eme estind´etermin´e.Cas (II) :
D D )les deux droites sontparall`eles, lespremiers membresde leurs´equations sont les mˆemes`a un facteur pr `es, le syst`eme estimpossible.Cas (III) :
M(D) D )les deux droites sontconcourantes, le syst`eme admetune et une seule solution.On va le r
´esoudre en utilisant le produit vectoriel.
(S)8 >><>>:x+y=0x+0y=
0On introduit les 3 vecteurs :
!A=!{+0!|!B=!{+0!|!C= 0!|Sixetysont des nombres quelconques :
x !A+y!B=(x+y)!{+(x0+y0)!| et le syst `eme( S)est ´equivalent`a l"´equation vectorielle : x !A+y!B=!C5 MVA006 Applications de l"Analyse `a la G´eom´etrie- Cours n9 Jacques V´elu (CNAM)En multipliant`a droite par!B:
x !A!B+y!B!B=!C!B xdet(!A;!B)=det(!C;!B))x= 0 0000En multipliant`a gauche par!A:
x !A!A+y!A!B=!A!C ydet(!A;!B)=det(!A;!C))y= 000004 Application `a la g´eom´etrie dans l"espace
1. On a choisi un rep
`ere orthonorm´edirect(O;!{ ;!| ;!k): Un plan( P)est l"ensemble des points M=(x;y;z)qui v ´erifient une´equation du type :
x+y+ z=dans laquelle,et ne sont pas nuls tous les trois. Avec!N=!{+!|+ !k, cette´equation devient :!N!OM=2. On en tire plusieurs cons