[PDF] La fonction exponentielle

FONCTION EXPONENTIELLE

Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ Démonstration : On a démontré dans le paragraphe I que la fonction exponentielle ne s'annule jamais Or, par définition, donc pour tout x, Comme , la fonction exponentielle est strictement croissante 3) Limites en l'infini Propriété : et

Fonction exponentielle et fonction logarithmique 5

5 1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique) André Lévesque 5-2 a) la fonction exponentielle définition 5 1 1 fonction exponentielle La fonction définie par l’équation y = bx ( b > 0 et b ≠ 1 ) est appelée fonction exponentielle de base b exemple 5 1 2 les équations y = 1x ou y = (-2)x ne définissent pas des

La fonction exponentielle

1 LA FONCTION EXPONENTIELLE 1 2 Approche graphique de la fonction exponentielle Algorithme : Déterminer un algorithme permettant de visualiser la fonction exponentielle à partir de sa définition sur l’intervalle [−A; A] On fera une approche de la fonction exponentielle à l’aide d’une approximation affine : f(a +h)≈ f(a)+hf′(a)

LAFONCTION EXPONENTIELLE

Prérequis : la fonction exponentielle, notée exp, a les trois propriétés suivantes : 1 exp est une fonction dérivable sur R; 2 sa fonction dérivée, notée exp′, est telle que, pour tout nombre réel x, exp′(x) = exp(x); 3 exp(0) = 1 En n’utilisant que ces trois propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que

FONCTION EXPONENTIELLE - Maths & tiques

Propriété : La fonction exponentielle est strictement positive sur ℝ II Étude de la fonction exponentielle 1) Dérivabilité Propriété : La fonction exponentielle est dérivable sur ℝ et (exp+)=exp+ 2) Variations Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ En effet, (exp+)>0 car (exp+)=exp+>0

La fonction exponentielle - M4THEM4TIQUE

fonction exponentielle et son esquisse et translation de la valeur initiale Translation aussi notre valeur initiale a: Dans un problème écrit, c'est la quantité de départ Toutefois, il ne faut pas oublier que h et k vont translater notre courbe Ainsi, le a n'EST PLUS LA VALEUR INITIALE (0,y)

Fonctions (II) La fonction exponentielle (I)

Savoir résoudre une équation, inéquation avec la fonction exponentielle 4 p 109 Savoir utiliser sa calculatrice pour trouver la valeur de e x p 108 De nombreux phénomènes physiques, biologiques, économiques sont modélisés par une fonction f qui est

La fonction exponentielle complexe

La fonction exponentielle complexe La fonction exponentielle x → ex est d’une grande importance en analyse r´eelle Nous allons introduire ici diff´erentes g´en´eralisations de cette fonction au cas complexe et voir les analogies mais aussi les diff´erences, entre les exponentielles r´eelles et complexes Cette introduction est

Fonctions Exponentielles et Puissances en Terminale D

La fonction exponentielle peut être introduite selon plusieurs approches Notamment 1 Comme la bijection réciproque de la fonction logarithme népérienne 2 Comme solution de l’équation différentielle y0= y vérifiant la condition f(0) = 1 3 Comme la fonction x 7 lim n+1 (1 + x n)n (l’existence de cette limite mobilisant des

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DERNIÈRE IMPRESSION LE24 novembre 2015 à 11:22

La fonction exponentielle

Table des matières

1 La fonction exponentielle2

1.1 Définition et théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . 3

1.3 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Autres opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Étude de la fonction exponentielle5

2.1 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Compléments sur la fonction exponentielle10

3.1 Dérivée de la fonctioneu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Exemples types. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Fonctions d"atténuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 Chute d"un corps dans un fluide. . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.3 Fonctions gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

Le but de ce chapitre est de construire une des fonctions mathématiquesles plus importantes. Elle est en effet présente dans toutes les sciences. Sa construction à partir d"une équation différentielle est passionnante, bien qu"historiquement elle ne se soit pas construite ainsi.

1 La fonction exponentielle

1.1 Définition et théorèmes

Théorème 1 :Il existe une unique fonctionfdérivable surRtelle que : f ?=fetf(0) =1 On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp ROCDémonstration :L"existence de cette fonction est admise.

Démontrons l"unicité.

•La fonction exponentielle ne s"annule pas surR. Soit la fonction?définie surRpar :?(x) =f(x)f(-x). Montrons que la fonction?est constante. Pour cela dérivons?. ?(x) =f?(x)f(-x)-f(x)f?(-x)

Commef?=f, on a :

=f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0

Comme??=0 alors la fonction?est constante. Donc :

?x?R?(x) =?(0) =f2(0) =1 On en déduit alors :f(x)f(-x) =1, donc la fonctionfne peut s"annuler. •UnicitéOn suppose que deux fonctionsfetgvérifient les conditions du théorème, soit f=f?,g?=getf(0) =g(0) =1. La fonctiongne s"annule donc pas, on définit alors surRla fonctionhparh=f g. On dériveh: h ?=f?g-fg? g2=fg-fgg2=0

La fonctionhest donc constante eth(x) =f(0)

g(0)=1

On a donc :?x?R,f(x)

g(x)=1. On en déduit quef=g. L"unicité est ainsi prouvée. Nous noterons dans la suite cette fonction exp.

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION EXPONENTIELLE

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle

Algorithme :Déterminer un algorithme permettant de visualiser la fonction exponentielle à partir de sa définition sur l"intervalle[-A;A]. On fera une approche de la fonction exponentielle à l"aide d"une approximation affine :f(a+h)≈f(a) +hf?(a). L"approximation sera d"autant meilleure queh sera petit Comme la fonction exponentielle vérifief?=f, cette approximation affine de- vient alors : f(a+h)≈f(a) +hf(a)≈f(a)(1+h) On commence à tracer le point (0; 1) carf(0)=1, puis avec un pasP, on trace de proche en proche les points à droite(X;Z)et les points à gauche(-X;T)du point (0; 1) dans l"intervalle[-A;A].

On obtient la courbe suivante pour :A=2 etP=1/10.

On prendra comme fenêtre :

X?[-2 ; 2]etY?[-0,5 ; 7]

Variables:A,P: entiers

X,Z,T: réels

Entrées et initialisation

LireA,P

0→X

1→Z

1→T

Effacer dessin

Tracer le point(X;Z)

Traitement

pourIde 1 àA/Pfaire

X+P→X

Z(1+P)→Z

T(1-P)→T

Afficher le point(X;Z)

Afficher le point(-X;T)

fin

1.3 Relation fonctionnelle

Théorème 2 :Soitaetbdeux réels, on a alors : exp(a+b) =exp(a)×exp(b) Remarque :Cette relation s"appelle la relation fonctionnelle car on pourrait dé- finir l"exponentielle à partir de cette propriété pour retrouver que l"exponentielle est égale à sa dérivée. Démonstration :Posons la fonctionh(x) =exp(x+a) exp(a). Montrons alors que la fonctionhn"est autre que la fonction exponentielle. Il suffit alors de montrer queh?=heth(0) =1 :

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

h?(x) =exp?(x+a)exp(a)=exp(x+a)exp(a)=h(x) h(0) =exp(0+a) exp(a)=1 La fonctionhest donc la fonction exponentielle. On en déduit alors : exp(x+a) exp(a)=exp(x)?exp(x+a) =exp(x)×exp(a)

1.4 Autres opérations

Théorème 3 :Soitaetbdeux réels etnun entier naturel, on a alors les relations suivantes : •exp(-a) =1exp(a)•exp(a-b) =exp(a)exp(b)•exp(na) =[exp(a)]n Démonstration :Les démonstrations sont immédiates. La première se montre à l"aide de la fonction?du 1.1 et la dernière propriété se montre par récurrence.

1.5 Notation

Définition 1 :: Du fait des propriétés similaires entre la fonction exponentielle et la fonction puissance, on pose :

•e=exp(1)e≈2,718...•ex=exp(x)

On a ainsi les propriétés :

Remarque :On peut avoir une approximation du nombreeà l"aide de ce petit programme :

On trouve pour :

•P=10-2,E≈2,705

•P=10-3,E≈2,717

Variables:A,P: entiersE: réel

Entrées et initialisation

LireP

1→E

Traitement

pourIde 1 à 1/Pfaire

E(1+P)→E

fin

Sorties: AfficherE

PAULMILAN4 TERMINALES

2. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

2 Étude de la fonction exponentielle

2.1 Signe

Théorème 4 :La fonction exponentielle est strictement positive surR Démonstration :On sait que exp(x)?=0 pour tout réel. De plus la fonc- tion exponentielle est continue car dérivable surR. S"il existait un réelatel que exp(a)<0, d"après le théorème des valeurs intermédiaires il existeraitun réelquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3