[PDF] Top Ten Summation Formulas

Some Facts about Factorials

Some Facts about Factorials By definition, n=n(n−1)(n−2) (3)(2)(1) In words, the factorial of a number n is the product of n factors, starting with n, then 1 less than n, then 2

Sur la somme de certaines séries de factorielles

La somme est finie et la formule est valable V x E C~ si n 0 ou ,~3 E ~T ~et dans ce cas x non entier négatif); elle est valable pour Rx > sinon Démonstration - Pour n = 0, c est trivialement vérifié Pour n -Ion procède par récurrence sur -n Les égalités prouvent la relation si n = -1

Some Combinatorics of Factorial Base Representations

23 11 Article 20 3 3 2 Journal of Integer Sequences, Vol 23 (2020), 3 6 1 47 Some Combinatorics of Factorial Base Representations Tyler Ball Clover Park High School

Top Ten Summation Formulas

Top Ten Summation Formulas Name Summation formula Constraints 1 Binomial theorem (x+y) n= Xn k=0 n k x − ky integer n ≥ 0 Binomial series X k α k xk = (1+x)α x < 1 if α 6=

Analyses factorielles simples et multiples - 5e édition

viii Table des matières 10 3 Première analyse : les tableaux en supplémentaire dans l’AFC de leur somme 239 10 4 Deuxième analyse : AFC de variables croisées ou de tableaux

Structures de contrôle itératives - Fiche 1 Exercice 1

writeln('La somme est ', s:5:2) ; End Exercice 2: Écrire un programme qui permet de faire le factoriel d'un entier n donné Exemples : 6= 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 Algorithme : 0) Début Factoriel 1) Ecrire('Donner un entier') , lire(n) 2) [f← 1] pour i de 2 à n faire f ← f * i FinPour 3) Ecrire(''Le factoriel est '', f) 4) Fin Factoriel

Calcul mathématique avec Sage

Calcul mathématique avec Sage 3 lien,MarcMezzarobba,ClémentPernetetNicolasThiéryd’écrireunlivresur Sage,tousontréponduprésent

wwwnormalesuporg

Created Date: 8/27/2019 3:48:00 PM

Analyse Factorielle des Correspondances

9) Pour qualifier d'importante la contribution d'un point à un axe factoriel, on calcule une valeur-repère Pour les données Régions, on pourra prendre comme valeur repère 1/22=0,046 a) Utiliser cette valeur repère pour déterminer les régions contribuant aux axes 1 et 2 b) Indiquer en quoi consiste, en résumé, l'axe 1

Les plans d’expériences Initiation à la construction et l

On ne peut donc pas prendre la somme des écarts comme mesure de la dispersion C'est pourquoi on fait disparaitre le signe négatif en prenant les écarts 3 Ces écarts à la moyenne sont donc élevés au carré et additionnés On obtient ainsi la somme des carrés des écarts à la moyenne: (-0 4)² + (1 1)² + (-1 1)² + (0 40)² = 2 74 4

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Top Ten Summation Formulas

Name Summation formula Constraints

1. Binomial theorem (x+y)n=n?

k=0? n k? x n-kykintegern≥0

Binomial series

k? k? x k= (1 +x)α|x|<1 ifα?= integern≥0.

2. Geometric sumn-1?

k=0ark=a1-rn1-rr?= 1

Geometric series

k=0ark=a

1-r|r|<1

3. Telescoping sum?

"Fundamental Theorem" of summation calculus

4. Sum of powers?

b

See related formulas.integerm?=-1

5. Vandermonde convolution?

k? r k?? s n-k? =?r+s n? integern

6. Exponential series∞?

k=0x kk!=excomplexx

7. Taylor series∞?

k=0f (k)(a)k!(x-a)k=f(x)|x-a|< R= a= 0: Maclaurin seriesradius of convergence

8. Newton"s advancing?

kΔ kf(a)k!xk=? k? x k? kf(a) =f(a+x) reala,x difference formulaf= polynomial

9. Euler"s summation?

b af(x)dx+m? k=1B formula +(-1)m+1?b aB m(x-?x?) m!f(m)(x)dxintegerm≥1 m= 1: trapezoidal rule:? b af(x)dx-(1/2)[f(b)-f(a)]

10. Inclusion-exclusionP(n?

j=1A j) =n? k=1(-1)k-1SkeventsA1,...,An

Also true if "P" = "#" whereSk=?

i=1A ji)

Other Contenders and Related Formulas

Name Summation formula Constraints

Hypergeometric seriesF?a

1,...,am

b

1,...,bn????

z? k≥0a k

1···akm

bk1···bknz kk!

Sum of powersn-1?

k=0km=1m+ 1m k=0? m+ 1 k? B knm+1-kintegern≥1 Thus n-1? k=0km=nm+1 m+ 1+ lower order terms

Formulas relating

factorial powers and ordinary powers

Stirling numbers ofxn=?

k? n k? x k integern≥0 the second kind

Stirling numbers ofx

n=? k? n k? x kintegern≥0 the first kind

Stirling numbers ofxn

k? n k? (-1)n-kxkintegern≥0 the first kind

Bernoulli numbersn0 1 2 3 4 5

Bn1-1/2 1/6 0-1/30 0

n6 7 8 9 10 11

Bn1/42 0-1/30 0 5/66 0B12=-691/2730

Implicit recursion

m? j=0? m+ 1 j? B m= [m= 0]

Generating function

z ez-1=? n≥0B nznn!

Bernoulli polynomialBm(x) =?

k? m k? B kxm-kquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18