Savoir CALCULER LA VALEUR EXACTE DUN COSINUS OU DUN SINUS
On sait que la valeur exacte de cos 2 5 est 5 ‒ 1 4 a) Calculer la valeur exacte de cos 7 5, cos 8 5, cos 3 5 et sin 9 10 b) Justifier le signe de sin 2 5, puis en déduire sa valeur exacte c) Calculer les valeurs exactes de sin 57 5 et sin ( ‒ 87 5) + 2 x cos x sin x sin ( x + 2) cos ( x + 2)
Trigonométrie et valeurs exactes
3) Calculer HM puis AM 4) Après avoir expliqué pourquoi BAM est un triangle rectangle, calculer MB Donner en valeurs exactes sin aABM et cos ABMa 5) La médiatrice de [AB] coupe (MB) en N Sans calculer ABMa mais en utilisant les valeurs exactes des sinus et cosinus trouvées à la question précédente, et en remarquant bien sûr que
cos = Déterminer la valeur exacte de sin
b) Calculer l’aire du triangle CHM En déduire la longueur de KH Ex 4 Déterminer le sinus, le cosinus et la tangente de l’angle ( valeur exacte ), puis en donner une valeur approchée à 0,1 degrés près Ex 5 Dans le triangle NOT, on donne : ON = 10 cm, OT = 15 cm et "#$ = 60° La hauteur issue de N coupe le côté [OT] en W 1
Valeurs remarquables des fonctions cosinus et sinus
, calculer les valeurs exactes de cos π 12 et sin π 12 2 On admet que cos π 5 = √ 5 +1 4, calculer la valeur exacte de cos 2π 5 3 En remarquant que 2× π 8 = π 4, calculer les valeurs exactes de cos π 8 et sin π 8 www emmanuelmorand net 1/1 1sti0910Chap04Activite1
NOM : TRIGONOMETRIE 1ère S
En déduire la valeur exacte de tan 9ˇ 8 2) Démontrer que pour tout x2D: 1+tan2 x= 1 cos2 x: En déduire la valeur exacte de cos ˇ 8 puis de sin ˇ 8 3) Calculer la valeur exacte de cos 5ˇ 8 D LE FUR 10/ 50
Première S - Cosinus et sinus d’un nombre réel
Les cosinus de noté cos est l’abscisse du point M Le sinus de noté sin est l’ordonnée du point M Exemples : Le nombre 6 a pour image le point J de coordonnées (0 ; 1) donc cos 6 = 1 et sin 6 = 0 Le nombre è a pour image le point K de coordonnées (-1 ; 0) donc cos = -1 et sin è = 0
1ère Exc – Fonctions Trigonométriques – Niveau 1 2020
I Calculer la valeur exacte de RN et donner une valeur approchée au cm près 2 En utilisant le triangle MNR, calculer la valeur exacte de MR et une valeur approchée au cm près 3 Calculer la longueur exacte de MU En donner une valeur approchée au cm près 4 Déduire de la question 3 une valeur approchée de cos(u) à 10-1 près 5
Formules de trigonométrie Exercices 1E Exercice 1E1 : À l
1) Calculer la valeur exacte de sin 5 S 2) En déduire les valeurs exactes du sinus et du cosinus des réels 4 5 S et 9 5 S Exercice 1E 4 : On donne 26 cos 12 4 S 1) Calculer la valeur exacte de sin 12 S 2) A l’aide du cercle trigonométrique, en déduire 11 cos 12 S et 11 sin 12 S
Activité 1 : détermination des valeurs remarquables des sinus
B) Sinus et cosinus de 3 et 6 Soit M le point du cercle trigonométrique associé au réel 3 Cf figure ci-dessous 1 Quelle est la nature du triangle ONI 2 Soit H le pied de la hauteur issue de N dans le triangle ONI Calculer la valeur exacte de OH et en déduire celle de cos 3 Indication : se souvenir d'un starter 3 Déterminer la
Trigonométrie dans le triangle rectangle
peut calculer la longueur du côté [ ] en utilisant la formule de la tangente: ???? ̂ = Donc = ???? ̂ = 12 ???? 30° ???? (valeur exacte)≈20,8 ???? (valeur arrondie au dixième) Définition : Soit un triangle rectangle en On notera ???? l’angle ????=
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Cosinus et sinus d'un nombre réel
I) Définition
Soit ݔun nombre réel. On considère le cercle trigonométrique (C) et la tangente (d) en I. On
munit (d) d'un repère (I ;ଔԦ ). (voir figure ci-dessous) Par enroulement de la droite (d) sur le cercle (C), M'(1 ; ݔ) a pour image M.Définition :
Les coordonnées du point M sont : (cos࢞ ; sin࢞ ) Les cosinus de ࢞ noté cos ࢞ est l'abscisse du point M. Le sinus de ࢞noté sin࢞ est l'ordonnée du point M.Exemples :
Le nombre గ
a pour image le point J de coordonnées (0 ; 1) donc cos = 1 et sin గ ଶ = 0Le nombre ߨ
donc cosߨ = -1 et sin ߨII) Propriétés :
Pour tout nombre réel ࢞ et tout nombre entier relatif : • -1 cos ࢞ 1 -1 sin ࢞ 1• cos (࢞࣊) = cos࢞ sin (࢞࣊) = sin࢞
• cos²࢞ + sin²࢞ = 1Démonstration:
• Le périmètre du cercle étant 2ߨ ,݇ tours du cercle correspondent 2݇ߨݔ' =ݔ + 2݇ߨ ( ݇߳Ժ ). D'où cos (ݔʹ݇ߨ ) = cos ݔ et sin (ݔʹ݇ߨ
• Comme cos² ݔ + sin² ݔ = 1 alors -1 cos ݔ 1 et -1 sin ݔ 1
Autre explication : comme cos ݔ et sin ݔ sont les abscisses et les ordonnéesde tout point du cercle trigonométrique alors -1 cos ݔ 1 et -1 sin ݔ 1
Soit M (ݔ ; ݕ) . Dans le triangle OMA rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :OM² = OA² + AM²
AM = OE = sin ݔ
OA = cos ݔ
OM = 1 car sa mesure est le rayon du cercle
(C) on obtient donc :1 = cos² ݔ + sin² ݔ
III) Tableau des valeurs à connaitre
ݔ (radians) 0 ߨ
cosݔ 1 t t 0 -1 sin 0 ͳ t t 1 0 Valeurs usuelles sur le cercle trigonométrique :IV) Cosinus et sinus d'angles orientés
1) Définition :
Soit ࢛,,& et ࢜,,& deux vecteurs. Il existe un réel ࢞ tel que (࢛,,& ; ࢜,,& ) = ࢞.
cos (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = cos࢞ sin (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = sin࢞Exemples
Exemple 1 :
Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé direct (O ; ଓԦ ;ଔ ,,&) . Déterminer : a) sin (ଓԦ ;ଔሬ,&) b) cos (2ଓԦ ; 3ଔሬ,&) c) cos (െଓԦ െଔ,,& ; ଔ,,& ) et sin (െଓԦ െଔሬ,& ; ଔሬ,& )
Solutions:
ଶ (2ߨ (2ଓԦ ; 3ଔሬ ଶ (2ߨ Exemple 2 : ABC est un triangle équilatéral. Déterminer le sinus et le cosinus de l'angle (ܣܤSolution :
ସ (2ߨ cos (െଓԦ െଔሬ,& ; ଔሬ,& ) = cos (െ ଷగ 6 sin (െଓ & െ,,& ; ଔሬሬԦ ) = sin (െ ଷగ 6ABC est un triangle équilatéral donc :
ଷ (2ߨ cos (ܣܤ ) = cos (- గ sin (ܣܤ ) = sin (- గ 62) Formules trigonométriques
Propriété 1 :
• cos ( -࢞ ) = cos ࢞ • cos (࣊െ࢞) = െ cos࢞ • cos (࣊࢞) = െ cos࢞
sin ( -࢞) = -sin ࢞ sin (࣊െ࢞) = sin࢞ sin (࣊࢞) = െsin࢞
M et N ont la même M et N ont la même M et N ont les abscisse et les ordonnée et les abscisses abscisses et les ordonnées opposées. opposées. ordonnées opposées.Démonstration :
• Les angles de mesures ݔ et -ݔ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Par symétrie
on en déduit que : cos (-ݔ) = cos ݔ et sin (-ݔ) = -sin ݔ