Variations d’une fonction

Chapitre 6 - Dérivtiona et applications 2 1 Nombre dérivé d'une fonction en un point Dans toute la suite de ce chapitre, f: I R désigne une fonction où Iest un intervalle et a2I C f désigne la courbe représentative de fdans le plan muni d'un repère orthonormé (O;~i;~j) 1 1 Dé nition De nition 1

Variations d’une fonction - univ-toulouse

60 CHAPITRE 7 VARIATIONS D’UNE FONCTION • L’intervalle d’étude (parfois appelé à tort domaine de déﬁnition)estludanslapremière ligne : [−2;5], • En lisant le tableau en colonne, les image de certaines valeurs sont connues : f(−2) = 1,

Variations d’une fonction - univ-toulouse

Chapitre 6 Variations d’une fonction 6 1 Introduction Nous avons abordé de nombreuses notions liées aux fonctions : • Calculer l’image d’un point par une fonction, déterminer un antécédent • Déterminer le signe d’une fonction et résoudre des inéquati ons impliquant une fonction

Chapitre M3 Algèbre 10 FONCTION DERIVEE ET ETUDE DES VARIATIONS D

Fonctions dérivées des fonctions de référence Notation f’(x) Dérivée du produit d’une fonction par une constante, de la somme de deux fonctions Etudier, sur un intervalle donné, les variations d’une d’une fonction à partir du calcul et de l’étude du signe de sa dérivée Dresser son tableau de variation Déterminer un

VARIATIONS D’UNE FONCTION - Maths & tiques

Dans le cas d’une fonction linéaire, il s’agit d’une droite passant par l’origine du repère Dans le cas d’une fonction constante, il s’agit d’une droite parallèle à l’axe des abscisses Exemple : –2 est l’ordonnée à l’origine (il se lit sur l’axe des ordonnées) Pour (d): Le coefficient directeur est 2

1ère S Cours méthodes détudes du sens de variations de suites

Pour conclure sur le sens de variation d’une suite, on est obligé de faire une phrase ; on ne fait pas de tableaux de variations pour les suites 2 II Méthode par différence 1°) Méthode u est une suite On calcule la différence u u n n 1 On étudie son signe Si n n n 1 0, alors la suite u est croissante

ETUDE DES VARIATIONS RAPIDES DE TENSION POUR LE RACCORDEMENT

Le premier chapitre expose une présentation des acteurs de l’étude à savoir, le réseau électrique, son rôle où l’on s’intéresse aux réseaux de distribution avec leurs différentes architectures ensuite les différents problèmes survenants sur ces réseaux ainsi que les réglages de tension existants

CHAPITRE Applications 4 de la dérivation

tandis que la page « Aller plus loin » permet, d’une part, de voir des exemples de problèmes d’étude de variation faisant intervenir une fonction auxiliaire, d’autre part, d’étudier des problèmes d’optimisation en rapport avec la géométrie Les notions abordées dans le chapitre 4 • Dérivée et variations d’une fonction

ETUDE DES PERTURBATIONS CIRCONFERENTIELLES ET AXIALES DE

1) Une étude mathématique de l'influence sur la température de gaine et de zone combustible: - d 1une perturbation circonférentielle de la génération de chaleur dans le combustible - d'une perturbation circonférentielle du coefficient d'échange thermique entre la gaine et le combustible (avantage d'un bonding)

TP 11 Étude pratique de cellules eucaryotes

2 Ultrastructure d’éléments du cytosquelette a Étude du centrosome animal : une structure avec des centrioles où convergent les microtubules • On trouve dans les cellules eucaryotes un centre organisateur des microtubules (COMT) composé de protéines variées et au niveau duquel s’ancrent les

Chapitre6

Variationsd'unefonction

6.1Intro duction

Nousavonsa bordédenombreu sesnotionsliéesauxf onctio ns: •Calculerl'imaged'unpoi ntparunefonction,dét erminerunantécédent. •Déterminerlesigned'unefonct ionetr ésoudredesinéq uationsimpl iquantunefonction.

•Enpart iculier,cesaspectsontétéétudi éssurlesf onctionsaffines(i.e .desfonctionsdela

formef(x)=ax+baveca,b∈R). Nousallons àprésentaborderla noti ondemonotonieetd'extremum.Ils'agitdedéterminer oumi nimums(s'ilsexistent).Il seraimportantd'obtenir unenota tionsynthétiquepourrésumer toutceci,v oyonscelaautrave rsd'unexemple. Exemple6.1.1.Soitf:R→Runef onctiondontlegrapheestdonnéc i-dessous.

Figure6.1:Graphe d'unefonctionf

Cegr aphiquepeutserésumergrâcea utableausui vant: 59

60CHAPITRE6.VARIATIONSD 'UNEFO NCTION

x f(x) -2-11 45 11 44
-2-2 66
33
Leta bleauprécédentestappeléunta bleaudevariations,voicilesinformationsqu'ilcontient: •L'intervalled'étude(parfoisappeléàtortdomainededéfinition )estludanslapremière ligne:[-2;5], •Enli santletableauencolon ne,les imagesdece rtainesvaleurssontconnues:f(-2)=1, f(4)=6,.... •Lào ùlesflèchespointentverslehaut,la fonctionestd itecroissante.Parexemple,fest croissantesurl'intervalle[1; 4](i.e.lesv aleursdef(x)augmententquandxaugmentede1

à4).

•Dema nièresimilaire,làoùle sflèchespointentverslebas,lafonctionestdécroissante.Par

exemple,festdécroi ssantesurl'intervalle[-1;1](i. e.lesvaleursdef(x)diminuentquand xaugmentede-1à1 •Leta bleaupermetd'obtenirdesencadrement s:six∈[4;5]alors,d'ap rèsladeuxième Définissonsdemanièreformelle lanoti ondefonctioncroissanteetdécroi ssantei ntroduiteci- dessus.

6.1.1Sensd evariation

Direqu'un efonctionestcroissante,surunintervalleI,revientàdirequelorsquelavaleurde xaugmentedansl'intervall eIlava leurdef(x)augmenteégalement. Unef onctioncroissantepréservel'ordre:c'est-à-dire,lesréelsdel'intervalleIetleur simages parfsontrangé sdanslemêmeordre.

6.1.INT RODUCTION61

Exemple6.1.2.•Enrep renantl'exempledel'i ntroduction,nousobservonsquefestcrois- santesurles intervall es[-2;-1]et [1;4]. •Leta bleaudevariationdel 'intr oductionpermetaussid'obtenirlacompa raison suivante: commefestcroissantesur[1; 4]. Dem anièreanalogue,unefon ctionestdécroissantesurunin terval leIlorsquelavaleurde l'imagef(x)diminuelorsquexaugmentedansl'interval leI. alors f(a)≥f(b). Unef onctiondécroissanterenve rsel'ordre:c'est-à-dire,lesréelsdel'intervalleIetleu rsimages parfsontrangés dansunordrecontra ire. Exemple6.1.3.•Enrep renantl'exempledel'i ntroduction,nousobservonsquefestdé- croissantesurlesi ntervalle s[-1;1]et[ 4;5]. •Enpart iculier,letableaudevariationpermet d'obten irlacomparaisonsuivante:puisque commefestdécroissantesur[-1;1]. Enrés umé,ilestdoncimportan tdesav oirdresseruntableaudevar iat ionàpartird'un graphiqueoud'uneséried' inf ormations.Ilfautauss iêtrecapabledecomparerl'imagederée ls àpartirdesvariations.Ilfautégalementêtrecapablededessinerlegraphiqued'unefonct ionà partirdesontableaudevariation. Rappels:letutoriel suiv antex pliquecommentafficheruneco urbe(surunec alculatric eTI ).

62CHAPITRE6.VARIATIONSD 'UNEFO NCTION

Exercicesàtraiter:16,18page240+ (20page240à lam aison );23,24p age240+(25 page241àla maison);3 1pag e241.

6.1.2Extrem um

Iles tparfois utilededéterminer,lor squ'ellesexist ent,laplu sgrandeo ulapluspetitevaleur atteinteparunefonctionfdonnée. Définition6.1.3.1.Le maximumd'unefonctionfsuruni nterva lleIest,s'ilexi ste,laplu s grandevaleurpossibledesimage s,atteintepourunréelb∈I.Ainsi,pourtoutréelx∈I nousavons

2.Le minimumd'unefonctionfsuruni nterva lleIest,s'ilexi ste,lapluspetit evaleur

possibledesimage s,atteintepourunréela∈I.Ainsi,pourtoutréelx∈Inousavons Remarque.Lemo textremumdésignesansdistinc tionleminimumoule maximumd'une fonction. Exemple6.1.4.Reprenonslacourbedonnée enintr oduction.

1.Su rl'exemp leci-dessus,observonsquesur[-2;5]lemaximumestattei ntenx=4etvaut

f(4)=6.

2.Tan disquesurl'int ervalle[-2;2],lemaximumestatt eintenx=-1etvautf(-1)= 4.

3.Le minimumsur[-2;6]estat teintenx=1etvautf(1)=-2.

Commel'exempl eprécédentlemontre,ilestim portantdepréciserl'intervalled' étude. Exercicesàtraiter:29,32page241 (33page241à lam aison);45, 47page242(46 pag e242

àlamaison).

6.1.INT RODUCTION63

Lacal culatriceestdenouveauutilepour détermin er,dema nièreapprox imative,lesextremums.

Letu torielsuivantexpliqueco mmentprocéder:

Voyonsunexempled 'étude defonction.

Exemple6.1.5.Etudionslafonctionh(x)=x

2 -2x+ 7 4

1.Traç onslafonctionsu rl'int ervalleX

min =-5,X max =5,Y min =-1etY max =10.

2.La fonction minimumdel acalcul atricenousditqueleminimumvaut0,75et estatte intpour

x=1,000008.

3.Vé rifionsceciparlecalcul :

(a)Iln 'estpa sdifficiledecalcul erh(1)= 3 4 (b)Onpe utauss ivérifier(end éveloppantlemem bredegauchepourretrou verl'expression deh(x))qu eh(x)=(x-1) 2 3 4 (c)Pour montrerqueh(1)est unminimum ,ilsuffitdemontrerque,pourtoutx∈[-5;5],

Or,d'a prèscequiprécède,h(x)-h(1)=(x-1)

2 .Enoutre,(x-1) 2 ≥0pourtout x∈Rdonc h(x)-h(1)≥0⇐⇒h(x)≥h(1)pour toutx∈R.

Autrementdit,nousavonsbi enmontréqueh(1)=

3 4 estunminimumatteinten x=1.Lesinformationstransmisesparlacalculatricen'étaientpasex actes. Exercicesàtraiter:72p age247,83page249 87page 249.

64CHAPITRE6.VARIATIONSD 'UNEFO NCTION

6.1.3Foncti onsaffinesetsens devaria tions

Revenonssurlecaspar ticulie rsdesfo nctionsaffinesetét udionslesvaria tionsde cegenrede fonctions.

Rappels:

•f(x)=ax+bestunef onctionaffine. •Lorsquel'ordonnéeàl' origineestnulle(i.e.b=0)nousretrouvonslecasdesfonctions linéaires •leco efficientaestlecoefficientdirecteur .Nousavonsdéjàobservéquecenombredéter- minantl'inclina isondeladroitereprésentativedeC f ainsiquelesign edef.

Figure6.2:Rep résentationdef(x)=-3x+2

Voiciunpremie rrésul tatpermettantdetrouv erparlecalcullav aleurducoefficientdirec- teuraàpartirdedeuxpointsAetBsetr ouvantsurC f

Proposition21.Soitf(x)=ax+betdeu xpointsA=(x

A ;f(x A ))etB=(x B ;f(x B )).Le coefficientdirecteu rvaut a= f(x B )-f(x A x B -x A Remarque.Lech oixdespointsAetBestlais sélibre,ilconvientdec hoisirceuxquientr ainentles calculslesplussimp lesposs ibles.

Voyonscelasurun exemple.

6.1.INT RODUCTION65

Exemple6.1.6.Soitf(x)=ax+bunefo nctionaffinete llequef(2)=6et f(4)=12(i .eA(2;6) etB(4;12)sontsurlac ourbeC f

1.Dé terminonslavaleurdea:

a= f(4)-f(2) 4-2 12-6 4-2 =3 doncf(x)=3x+b.

2.Dé terminonslavaleurdeb.D'aprèscequiprécède,noussavonsquef(2)=3×2+b.Or,

d'aprèsl'énoncéf(2)=6.No uso btenons alorsl'é quation

3×2+b=6⇐⇒b=0.

Encon clusion,f(x)=3x.

Exerciceàtraiter:Déterminerl'expressiondesfo nctionsaffinesdel'exe rcic e40page 242 (questionàfaireàlamais on). Voyonsàprésentco mme ntcaractériserlesvariationsd'un efonctiona ffine. Théorème22.Soitf(x)=ax+b,aveca,b∈R,unefonctionaffined éfiniesurR.Alors

1.Si a>0,lafonctionaffinees tcroissantesurR.

2.Si a<0,lafonctionaffinees tdécroissantesurR.

ellepointe versle"bas»durepère. Démonstration.Montronslepremierpoin t,ladeux ièmeassertionestl aisséeenexercice.

Soitf(x)=ax+bunefo nctionaffineav ec(a,b)∈R

2 tellequea>0.Soi entxetydeuxréel s Lepo intessentielled eladémonstrationestquelamultiplicationd'uneiné galité parunnombr est rictementpos itifnechangepaslesensdecelle-ci;l'ajoutd'unnombre réeldansch aquemembren onplus.

66CHAPITRE6.VARIATIONSD 'UNEFO NCTION

alors

Exercicesàtraiter:38et 41page242.

6.2Bila nduchapitre

Voicilescomp étencesàm aitriserdanscechapitre. •Savoirlireetéta blirunereprésent ationg raphiqued'unefonction. •Savoirlireetéta blirletableaude variat ionsd'unefonction(n otiondefonctioncroiss ante, décroissante,...). •Savoirdéterminerle sextremumsd'unefonctionàl'ai ded'untableaudevariationsoud'une représentationgraphique. •Connaitrelesreprésentati onsgraphi quesdesfonctionsaffinesetsa voirdét erminersamono- tonieenfoncti onduco efficientdirecteu r.Savoirdéterminerlavaleurdeaetde b. •Utilisationdelacalculatrice :tracer unefo nction,tableaude valeur,d éterminerlesext re- mums,trouverl espointsd'intersecti onavecune droite. •Justifierparlecalculqu' unevaleu restun maximumouunminimum.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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