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CTU, Master Enseignement des
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Statistique Inférentielle
Jean-Yves DAUXOIS
Université de Franche-Comté
Année scolaire 2011-2012
Ce polycopié contient le cours, les sujets d"exercice et leurs corrigés ainsi que les sujets des devoirs proposés.Les énoncés des exercices sont donnés en fin de chapitre auxquelles ils font référence.
Il est vivement conseillé d"essayer de faire sérieusement les exercices, sans aller trop rapidement voir leurs corrections détaillées en fin de polycopié. On sait en effet que, pour qu"une correction soit efficace, il faut qu"elle vienne après une période de recherche personnelle de la solution. Les devoirs, quant à eux, ne sont pas des exercices supplémentaires (ces derniers accompagnés de leurs corrections sont déjà assez nombreux !). Pour qu"ils apportent réellement autre chose que les exercices, ils doivent être faits dans les conditions d"un devoir surveillé ou d"un examen. En conséquence, il vous est vivement conseillé de faire les devoirs et de m"envoyer votre copie (éventuellement les unes après les autres). En retour vous recevrez votre copie corrigée et également une correction type du devoir. Lepremier des devoirs peut être résolu dès que l"on est parvenu à la fin de la seconde section
du Chapitre 5 . Le second est lui réalisable après avoir travaillé l"ensemble du Chapitre 5. Les trois autres, même s"ils peuvent être "attaqués" plus tôt, ne seront réalisables
qu"une fois assimilé l"ensemble des notions. Ils peuvent fournir de bons exercices de révision en perspective de l"examen. Enfin, ce polycopié contient certainement de nombreuses coquilles et mérite encore d"être amélioré. Merci d"avance aux lecteurs attentifs de transmettre leur remarques, suggestions ou indications sur la localisation des coquilles. Un petit mail à l"adresse jean-yves.dauxois@univ-fcomte.fr et l"amélioration est prise en compte...Bon courage !
Table des matières
Partie 1. Introduction et Modèle Statistique5
Chapitre 1. Introduction
7Chapitre 2. Modèle Statistique
111. Définition
112. Modèle d"échantillonnage
153. Vraisemblance
154. Familles Exponentielles
165. Modèle position-échelle
1 76. Exercices
18Partie 2. Estimation ponctuelle21
Chapitre 3. Statistique et Estimateur
23Chapitre 4. Construction d"estimateurs
271. Estimateurs empiriques (des moments)
272. Méthode de substitution
293. Méthode des moments
294. Maximum de vraisemblance
305. Exercices
33Chapitre 5. Qualité d"un estimateur
371. Estimateur convergent
372. Estimateur sans biais
393. Risque d"un estimateur
404. Information de Fisher
435. Borne de Cramer-Rao (ou Fréchet-Darmois-Cramer-Rao)
4 66. Exercices
48Chapitre 6. Amélioration d"estimateurs
511. Statistique exhaustive
512. Statistique exhaustive minimale
543. Théorème de Rao-Blackwell
544. Théorème de Lehmann-Scheffé
565. Cas des familles exponentielles
576. Exercices
573 Chapitre 7. Comportement asymptotique d"un estimateur59
1. Normalité asymptotique
592. Estimateurs empiriques des moments
603. Estimateur du maximum de vraisemblance
604. La-méthode ou l"étude asymptotique d"un estimateur obtenu par la
méthode de substitution 615. Estimateurs par la méthode des moments
626. Exercices
63Partie 3. Intervalles de confiance65
Chapitre 8. Intervalles de confiance exacts
67Chapitre 9. Intervalles de confiance asymptotiques 71
Chapitre 10. Exercices sur les intervalles de confiance exacts et asymptotiques 73
Partie 4. Correction des exercices75
Correction des exercices du Chapitre 2
77Correction des exercices du Chapitre 4
85Correction des exercices du Chapitre 5
99Correction des exercices du Chapitre 6
119Correction des exercices du Chapitre 8
129Partie 5. Devoirs135
Partie 1
Introduction et Modèle Statistique
CHAPITRE 1
Introduction
Considérons un problème de Fiabilité où l"on étudie la durée de vieXd"un matériel.
Il est raisonnable d"admettre que celle-ci est aléatoire etXest alors une variable aléa- toire (v.a.) de fonction de répartition (f.d.r.)F. Supposons que l"on soit précisémentintéressé par l"évaluation de la probabilité que le matériel soit en marche après un temps
t0de fonctionnement, c"est à dire évaluer
F(t0) =P(X > t0) = 1F(t0):
Pour cela on observe le fonctionnementnmatériels similaires et on relève leurs temps de panne respectifs:x1;:::;xn. On noteKn=Pn i=11lxit0le nombre de matériels tombées en panne au tempst0. Il en reste doncnKnencore en marche à cet instant. Il est assez naturel d"estimer la probabilitéF(t0)par : b F(t0) =nombre de cas favorablesnombre de cas possibles =nKnn =1n n X i=11l fxi>t0g: Posons maintenant une hypothèse supplémentaire. On suppose (on sait ou on a pu vérifier) que la loi deXest une loi exponentielleE(), mais dont on ignore le paramètreCalculons l"espérance deX. On a
E(X) =Z
+1 0 xexdx=1 Z +1 0 ueudu=(2) où () =Z +1 0 u1eudu est la fonction Gamma. On sait que(n) = (n1)!, ce qui nous donne iciE(X) = 1=. Il est assez naturel d"estimer l"espérance deXpar la moyenne empirique des temps observés, i.e. par x=1n n X i=1x i:Ainsipeut être estimé par :
=1x=nP n i=1xi: 78 Chapitre 1. Introduction
Un calcul simple montre que
F(t0) =Z
+1 t0exdx= exp(t0)
et on peut donc estimer la probabilité que le matériel fonctionne durant le tempst0 par : eF(t0) = exp(^t0): Les estimations précédentes sont appelées estimations ponctuelles. On constate en particulier que plusieurs estimateurs ont été proposés pourF(t0). Ils conduisent à des estimations différentes de la même quantité pour un seul lot de matériel testé. Mais on remarque également qu"un même estimateur peut mener à différentes estimations si on considère plusieurs lots de matériels. Les valeurs observéesx1;:::;xnn"ont en effet aucune raison d"être les mêmes. Ainsi on se pose naturellement les questions suivantes. Comment peut-on comparer différents estimateurs ? Quelle(s) définition(s) donner de la qualité d"un estimateur ? Comment mesurer l"erreur commise par un estimateur (puisqu"en particulier elle varie d"une observation à l"autre) ? Toutes ces question seront abordées dans la Partie 2 de ce cours. Ce qui précède montre que l"estimation ponctuelle a un inconvénient majeur, celui de se tromper presque toujours. Au moins dans le cas de v.a. absolument continues, cequi était le cas précédemment, il apparaît clairement que l"on est presque sûr de ne pas
"tomber" sur la valeur théorique que l"on cherche à estimer. C"est pourquoi on préfère parfois donner un intervalle plutôt qu"une valeur. On parle d"intervalle de Confiance ou parfois de fourchette d"estimation. Bien sûr il reste une erreur possible. On donnera alors l"intervalle en fonction de l"erreur que l"on s"autorise (ou que l"on nous autorise). Plus on souhaitera que la probabilité d"erreur soit petite, plus grand sera l"intervalle. Et inversement plus la probabilité d"erreur que l"on s"autorise est grande, plus on pourraquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14