LYCÉE LOUIS-LE-GRAND PCSI2
Soit F et G deux sev d’un K-ev E Montrer que F[G est un sev de E si etseulement si F ‰G ou G ‰F 2 Soit E un K-ev, u, v et w trois éléments de E, u0 ˘v ¯w, v0 ˘u¯w et w0 ˘u¯v a Démontrer que (u,v,w) est libre si etseulement si (u0,v0,w0) est libre b Démontrer que Vect(u,v,w) ˘Vect ¡ u0,v0,w0 ¢ 3 Soient a1, a2, a3
1ere Sciences BIOF - AlloSchool
Exercice 11 : Soit f et g les fonctions numériques tel que: f x x 1 et g x x x 2 2 Comparer les fonctions f et g Exercice 12 : Soit f et g les fonctions numériques tel que: f x x et 1 gx x Montrer que g admet un maximum absolue sur Comparer les fonctions f et g Exercice 13 : Soient les deux fonctions 4 4 5: 2 2 31 x fx x et 132 gx x
exercices ESPACES VECTORIELS - bagbouton
∫f t dt =0 1) Montrer que Aet Bsont des sous espaces vectoriels de E 2) Montrer que Aet Bsont supplémentaires EXERCICE 13 : Soit F et G les sous-ensembles de Kℕdéfinis par : F u K n u u= ∈ ∀∈ ={( ) n n n, 2 1 2+} ℕ ℕ, et {( )} G u K n u= ∈ ∀∈ = n n, 02 1+ ℕ ℕ 1) Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de Kℕ
Mathématiques - WordPresscom
} v ]vµ µ o[]v Àoo }µÀ , et continue à droite en a, et à gauche en b Operati ons sur les fonctions continues : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel quelconque Les fonctions : fg ; fgu; kfu sont aussi continues sur I Si on a zx I g x; ( ) 0 alors les fonctions 1 g et f g sont continues sur I
Université Paris 7 - Paris Diderot Premier semestre 2012/13
Soient f,g: [0,1] → [0,1] continues vérifiant f g = g f Montrer qu’il existe x0 ∈ [0,1] telle que f(x0) = g(x0) Exercice 19 Soit n ∈ N et f: I → R une application de classe Cns’annulant en n+1 points distincts de I a) Montrer que la dérivée nème de f s’annule au moins une fois sur I b) Soit α un réel
LYCÉE LOUIS-LE-GRAND PCSI2
Soit E et F des ensembles, f: E F et g: F E des injections L’objectif est de démontrer l’existence d’une bijection h: E F (ThéorèmedeCantor-Bernstein-Schröder) a Montrer que `: P(E) P(E) définie par `(X) :˘E\g ¡ F\ f (X) ¢ admet un point fixe b Construire une bijection de E sur F au moyen de f, g et d’un point fixe
Chapitre 9 : Exercices - WordPresscom
Chapitre 9 : Exercices Exercice 1 Soit E =C1 ([0,1],R)et on définit ϕ sur E2 par ∀(f,g)∈ E2, ϕ(f,g)=f (0)g(0)+Z1 0 f′ (t)g′ (t)dt 1 Montrer que ϕ est un produit scalaire sur E
Algèbre linéaire 1 - PSI Fabert
Algèbre linéaire 1 1 Applications linéaires : 1 1 Rang de f2: Eest un K -espace vectoriel de dimension nie n Soit f∈ L(E) 1- Montrer que rg (f2) = rg f−dim(kerf∩Im f)
ANNALES OFFICIELLES 2014 concours ecricome prepa
• Soient f et g deux fonctions de E et soit λ ∈ R Les fonctions λf + g, f et g sont prolongeables par continuit´e sur [0 , + ∞ [ donc les int´egrales qui suivent sont bien convergentes et on a :
Dérivation - Lecture graphique - Corrigé
Soit une fonction f définie et dérivable sur La courbe (C) donnée ci-après représente la fonction f dans un repère orthonormal du plan Cette courbe passe par les points A(−3 ; 1) et B(−1 ; 3) Les droites (D) et (D′) sont les tangentes à la courbe respectivement en A et en B et sont sécantes au point d’abscisse −2
[PDF] montrer que cf et cg admettent une tangente commune
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Université Paris 7 - Paris DiderotPremier semestre 2012/13
Licence deuxième année - MM3Maths Info 2
Liste d"exercices pour la semaine 2
Exercice 1.Soitf:R→Rcontinue en 0 telle que?x?R, on af(2x) =f(x).Montrer quefest une fonction constante.
Exercice 2.Soitf:R→Rune fonction continue en 0 et en 1 telle que?x?R,f(x) =f(x2).Montrer quefest constante.
Exercice 3.Soitf:R→Rune fonction continue et prenant la valeur 1 en 0.On suppose que?x?R,f(2x) =f(x)cosx. Déterminerf(indication : se servir de sin(2x) = 2sin(x)cos(x)).
Exercice 4.Etudier la continuité surRde l"applicationf:x?→E(x) +? x-E(x). Exercice 5.Soitf:R→Rdéfinie parf(x) =?1 six?Q0 sinon.
Montrer quefest totalement discontinue.
Exercice 6.Soitf:R+?→Rune fonction telle quex?→f(x) est croissante etx?→f(x) xest décroissante.Montrer quefest continue.
Exercice 7.Soientf:I→Retg:I→Rdeux fonctions continues. Montrer que sup(f,g) est une fonction continue surI. Exercice 8.Soitf:R→Rcontinue telle que?x,y?R,f(x+y) =f(x) +f(y). a) Calculerf(0) et montrer que pour toutx?R,f(-x) =-f(x). b) Justifier que pour toutn?Zet toutx?R,f(nx) =nf(x). c) Etablir que pour toutr?Q,f(r) =araveca=f(1). d) Conclure que pour toutx?R,f(x) =ax. Exercice 9.On cherche les fonctionsf:R→Rcontinues telles que?x,y?R,f?x+y 2? =12(f(x) +f(y)). a) On supposefsolution etf(0) =f(1) = 0. Montrer quefest périodique et que?x?R, 2f(x) =f(2x). En déduire quefest nulle. b) Déterminer toutes les fonctionsfsolutions.Exercice 10.SoitI= [a;b] un intervalle deRetf:R→Rstrictement croissante. Montrer que sif(I) est un
intervalle, alorsfest continue. Etendre le résultat au cas d"une fonction strictement décroissante.
Exercice 11.Soitf: [0,1[→Runiformément continue. Montrer quefest bornée. Exercice 12.Soitf:R+→Rcontinue et tendant vers 0 à l"infini.Montrer quefest uniformément continue.
Exercice 13.Soitf:R+?→Rune fonction uniformément continue vérifiant ?x >0,f(nx)---→n→∞0Montrer quefconverge vers 0 en +∞.
1 Exercice 14.Soit f une fonction convexe de [a;b] dansR. Montrer qu"elle est continue sur ]a;b[.Exercice 15.A l"aide d"une formule de trigonométrie, montrer que tan n"est pas uniformément continue sur
]-π/2,π/2[.Exercice 16.Soitf: [0,1]→[0,1].
a) On suppose quefest continue. Montrer quefadmet un point fixe. b) On suppose quefest croissante. Montrer quefadmet un point fixe.Exercice 17.Soit (un) une suite strictement croissante de réels de [0,1] de limite 1. Déterminer les fonctions
f? C([0,1],R) vérifiant ?x?[0,1],f(x) =+∞? n=1f(unx+ 1-x) 2n Exercice 18.Soientf,g: [0,1]→[0,1] continues vérifiant f◦g=g◦f Montrer qu"il existex0?[0,1] telle quef(x0) =g(x0). Exercice 19.Soitn?Netf:I→Rune application de classeCns"annulant enn+ 1 points distincts deI. a) Montrer que la dérivéenème defs"annule au moins une fois surI.b) Soitαun réel. Montrer que la dérivée (n-1) ème def?+αfs"annule au moins une fois surI.
(indice : on pourra introduire une fonction auxiliaire.) Exercice 20.Soita >0 etf: [0,a]→Rune fonction dérivable telle quef(0) =f(a) = 0 etf?(0) = 0. a) Montrer que la dérivée dex?→f(x) xs"annule sur ]0,a[.b) En déduire qu"il existe un point autre que l"origine en lequel la tangente àfpasse par l"origine.
Exercice 21.Soitf:R→Rune fonction dérivable. Montrer que?x >0,?c >0,f(x)-f(-x) =x(f?(c) +f?(-c)). Exercice 22.Soitf:R→Rdérivable telle que lim-∞f= lim+∞f= +∞.Montrer qu"il existec?Rtel quef?(c) = 0.
Exercice 23.Soitf: [0,+∞[→Rune fonction dérivable telle que lim+∞f=f(0).Montrer qu"il existec >0 tel quef?(c) = 0.
Exercice 24.Soitf: [0,+∞[→Rune fonction dérivable. On suppose quef(0) = 0 et quef?est croissante.