Probabilités conditionnelles - MATHEMATIQUES
Probabilité de A sachant B Soient A et B deux événements, l’événement B étant de probabilité non nulle La probabilité de l’événement A sachant que l’événement B est réalisé est notée p B(A)(ou aussi p(A\B)) Elle est donnée par la formule p B(A)= p(A ∩B) p(B) On en déduit que p(A ∩ B)=p(B)×p B(A) Evénements
La probabilté de lévénement « B sachant que lévénement A
La probabil'té de l'événement « B sachant que l'événement A est réal'sé » (avec P(AmB) p(A) PA(B) A et B sont ndépendants si et seulement si n B) = P(A) x P(B) p(B) = n B) + pa n B) f'(a) = lim lim (eu)' = Lieu pour toute fonction u dérivable (l nu — g- pour toute fonction u dérivable strictement positive
1) Calculer des probabilités d’évènements simples
2 A sachant B est l'événement « l'objet choisi est un clou sachant que c'est un objet à tête plate » L'ensemble de référence est l'ensemble des 89 objets à tête plate, donc PB (A) Martin décide de faire du tri dans son garage Il retrouve une boite avec
2Bac SEco Chapitre9: Probabilité (Résumé)
Etant donné deux événements A et B (B ) d’un univers On appelle probabilité de B sachant A, le réel noté pA B (ou pB A / ) tel que : A AB B A p p p On a alors : pABpAPBpBpA AB 2 Formule des probabilités totales
P(BA) P(A and B) = P(A)P(BA) or P(BA) = P( A and B) P(A)
John Harrison ST-371-002 02/10/2011 Homework-0 Lecture Notes: ST-371-002 (02/03/2011) I Review from Tues Feb 1st a) Conditional Probability: What is the probability event A will happen, given that event B
Corrigé du DS n°1 Exercice 1 (6 points)
Page 2 sur 7 b) Calculer PA B , probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents fumeurs Calculer PA B , probabilité qu’un élève fume sachant qu’il a des parents non fumeurs
Chimie - s0a05578cbddcd72cjimcontentcom
b- Sur le schéma représenter le sens de l ¶intensité du courant I et par des flèches les tensions: U PE - U PA - U AB - U BE - U CD-U PA 4- Sachant que U PA = 6 V ; U AB = 6 V a- Enoncer la loi de maille b- Déterminer la valeur de la tension U BE aux bornes de la lampe L 3 c- Déduire la valeur de la tension U CD aux bornes de L 4 Justifier
CHAPITRE 10 DESCRIPTION D’UN FLUIDE AU REPOS
l’altitude zB sachant que la surpression du point B par rapport au point Aest pB pA = 3,5 bar b D’après le schéma, indiquer si la pression de l’eau au troisième étage est supérieure ou inférieure à celle au point B Justifier qua-litativement à partir de la loi fondamentale de la statique des fluides
Crux Mathematicorum - cmsmathca
that PA= a;PB= band PC= c, nd, in terms of a;b;c, the length of the line segment PD CC234 Find Bif x= log 10 16=3 log 10 B is the solution to the exponential equation 22x+4 + 33x+2 = 4x+3: CC235 Find the area of a regular octagon formed by cutting equal isosceles triangles from the corners of a square with sides of one unit
PARALLÉLOGRAMMES : CHAPITRE G3 - LeWebPédagogique
SÉRIE 1 : PROPRIÉTÉS DES PARALLÉLOGRAMMES 4 Au nom de la rose a Complète les étiquettes sachant que ROSE est un parallélogramme b Justifie tes réponses On sait que ROSE est un parallélogramme or si un
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2BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
I.Probabilité
1)Généralités
Lors d'une expérience aléatoire :
L'univers
est l'ensemble des éventualités.Un événement A est une partie de l'univers
Un événement élémentaire, est un événement ne comportant qu'un seul élément. L'événement contraire de l'événement A est l'événement noté formé de tous les éléments de n"appartenant pas à A.L'événement A ŀ B (noté aussi "A et B") est l'événement formé des éléments de
appartenant à A et à B.L'événement A
appartenant au moins à l'un des événements A ou B. Deux événements A et B sont dits incompatibles si A ŀ B = Si n ee e et si à chaque éventualité i e on associe un nombre i pe tel que: i pe et n pe pe pe, On dit que l'on a défini une loi de probabilité sur La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des événementsélémentaires qui le constituent.
2)Propriétés :
Pour tous événements A et B : P(
i pe ; pp P(A
(si A et B sont incompatibles alors p(A Pour une loi équirépartie :
nbred élèmentsde A nbredecas favorablespAnbred élèmentde nbredecas possibles3)Variable aléatoire
Définition : Une variable aléatoire
X définie sur un univers est une fonction qui
à chaque éventualité associe un réel xi. La probabilité pour que X prenne la valeur i x est alors notée i pXx ou i p . 28Définir la loi de probabilité de
X, c"est donner (sous forme d"un tableau) la
probabilité de chacun des événements i Xx .Espérance mathématique de
X : ik ii i EXpx u¦ i x x x k x i pXx p p k p2BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
Variance de X :
VX EX E X=
in ii i px E XÉcart-type de
X : XVX
Exemple :
On lance 3 fois de suite un dé. Le joueur gagne 6 dirhams s'il n'obtient aucun 1 et aucun 2 et il perd 3 dirhams dans le cas contraire.La variable aléatoire
X égale au gain du joueur, ne peut prendre que les valeurs 3 et 6.On a :
pX et pX pX EX VX et XII.Probabilités conditionnelles
1.Définition:
Etant donné deux événements A et B (
) d'un univers . On appelle probabilité de B sachant A, le réel noté p (ou pBA) tel que : pppOn a alors :
AB pABpAPBpBpA2.Formule des probabilités totales
Si n AA A forment une partition de (2 à 2 incompatibles et leur union forme),Alors pour tout événement B, on a :
n pBpABpAB pAB n AAnA pA p B pA p B pA p B3.Représentation par un arbre pondéré
Le cas le plus fréquent correspond à la partition la plus simple (A et ). Si on connaît les probabilités de B et par l'intermédiaire de A et , on a l'arbre suivant : 29Le produit des probabilités inscrites sur chaque branche d'un chemin donne la probabilité de l'intersection des
événements placés sur ce chemin.
A pApB pAB i x Total i pXx 12BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
La somme des probabilités inscrites sur les branches issues d'un même noeud estégale à 1 (loi des noeuds).
pp La probabilité d'un événement E est la somme des probabilités des chemins qui aboutissent à E. pB p p B p p BExemple :
On dispose de trois urnes
ABetC la première contient 1 boule rouge et 5 boules vertes, la deuxième contient 3 boules rouges et une boule verte, et la troisième contient 1 boule rouge et 2 boules vertes. On choisit l'une des urnes au hasard et on tire une boule de cette urne. Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge ?Soient
ABetC les événements correspondants au choix de l'urne. Ils forment une partition de l'univers et on a pA pB pC Soit R l'événement " tirer une boule rouge ». La formule des probabilités totales nous donne: pR pA R pB R pC R , Donc: ABC pRpApRpBpRpCpR . Or A pR , B pR et C pR .On a donc
pR4.Indépendance de deux événements
Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si : A pBpB pABpApBExemple :
Une association de 96 membres propose différentes activités à ses adhérents, dont l'athlétisme et le basketball. Douze membres s'inscrivent pour l'athlétisme, Trente-deux pour le basketball dont quatre pour les deux. On prend au hasard la fiche d'un adhérent. On note A et B les événements : • A " l'adhérent est inscrit pour l'athlétisme ». • B " l'adhérent est inscrit pour le basketball ». Les événements A et B sont-ils indépendants ? En est-il de même pour A et B ? On peut représenter les événements dans un tableau double entrée ci-contreOn calcule les probabilités suivantes :
PA B et PA PB
A TotalB 4 28 32
8 56 64
Total 12 84 96
2BacS.EcoChapitre9: Probabilité(Résumé)
III.Loi binomiale
On appelle épreuve de Bernoulli toute expérience aléatoire ne présentant que deux issues possibles (contraire l'une de l'autre) On appelle schéma de Bernoulli toute répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes 30Étant donné une épreuve de Bernoulli où la probabilité d'obtenir un succès S est p. Le schéma de Bernoulli consistant à répéter n fois de manière indépendante cette