[PDF] Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

TS Les coordonnées dans l’espace

Repère oblique 2°) Vocabulaire • On dit que O est l’ origine du repère • On dit que le triplet i j k, , est une base de l’ensemble des vecteurs de l’espace est colinéaire à 3 Axe des ordonnées Axe des abscisses 2 O m2 1 m3 M i j k 3°) Repères particuliers O, , ,i j k

Tuto repere dynamique AutoCAD - Autodesk

Choix des objet : cliquer sur la ligne oblique et valider Spécifier les objets à faire pivoter : resélectionner la ligne oblique et valider Tuto repere

LES PRESENTATIONS IRREGULIERES

• VERSIONS (OBLIQUE): Version par Manœuvre externe = transformer une présentation oblique en longitudinale, possible si : –Bassin normal –Fœtus mobile –Membranes intactes –Absence d’obstacle prævia –Absence de souffrance –Utérus sain

1ère S Cours sur limites de fonctions 4 ; asymptotes obliques

3°) Asymptote oblique lim 0 x f x ax b * ou lim 0 x f x ax b y ax b pour asymptote oblique en + ∞ ou en ∞ N B : on peut avoir une asymptote oblique en + ∞ ou en ∞ ou les deux * Commentaires : Si le résultat n’est pas égal à 0, alors la droite n’est pas une A O

Gabarit de réglage pour lames obliques 05M09

l’oblique de la lame a) Déterminer l’angle de l’oblique en utilisant le gabarit Si l’angle de l’oblique est connu, glisser le guide du gabarit jusqu’à ce que la butée de lame longe la ligne repère oblique appropriée Voir la figure 4 Angle de biseau Remarque : Angle mesuré perpendiculairement au tranchant de la lame Angle de

Décomposition d’un vecteur suivant une base

oblique et permet aux élèves de rentrer plus rapidement dans le problème On leur demande ensuite de généraliser leur raisonnement à un triangle quelconque Ecueils et « déblocage » (questions ou difficultés des élèves en noir, réponse de l’enseignant en bleu, commentaires en orange): Je ne vois aucune conjecture à faire

Présentation du sommet

diamètre oblique gauche du bassin Amoindrissement: il est nécessaire car même orienté selon le diamètre oblique de 12 cm sur le squelette, il est sensiblement réduit in vivo par les parties molles L’amoindissement est assuré par le complément de flexion de la tête fœtale Au diamète occipito-frontal de 11 5 cm se

Mathématiques

6) Etudier la position de la courbe par rapport à l’asymptote oblique (7) Tracer (Cf) la courbe représentative de f 2004 1) Résoudre dans le système suivant 2) En déduire la résolution dans ℝ 2 : prés de l’aire du domaine A \ f) Δ) : ² les systèmes suivants vec i,\vec j) (unité

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

admet une asymptote oblique d’équation à préciser D’après la question 1), pour tout réel de , Ainsi, pour tout réel de , Nous avons en outre établi à la question 2) que : Donc [ ] Par conséquent admet une asymptote oblique d’équation au voisinage de Remarque : On a de surcroît : [ ] C’est-à-dire que

EXERCICES ET PROBLÈMES Exercice f x

asymptote oblique à au voisinage de f Et préciser la position relative de ()D et 3) Montrer que admet au voisinage de une branche parabolique de direction asymptotique l’axe des ordonnées 4) a) Montrer que pour tout réel x, on a: f x g xc( ) ( ) b) Dresser le tableau de variation de f 5) Montrer que admet un point d’inflexion I

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1 Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : détermination graphique e équation courbe (asymptote verticale et asymptote horizontale) Exercice 2 : étude de limites, asymptotes verticales et horizontales Exercice 3 : étude de limites de fonctions composées, formes indéterminées, expression conjuguée, asymptotes horizontales Exercice 4 : Exercice 5 : On a tracé ci-dessous en vert , la courbe représentative dfonction . Déterminer graphiquement , , puis une équation de chacune des asymptotes à .

Limites et comportement asymptotique Exercices corrigés

Exercice 1 (2 questions) Niveau : facile

0 PROF: ATMANI NAJIB

2 1) Ci-dessous est tracée en vert . -- -- Rappel : Soient un intervalle, une fonction définie (au moins) sur et un réel tel que . Continuité en un point : est continue en si et seulement si admet une limite en égale à : -à-dire et en particulier Continuité sur un intervalle : est continue sur si est continue en tout point de . Graphiquement, on lit : et donc -. et Ainsi, donc -.

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3 Remarque Notation : et 2) Rappel : Asymptotes à une courbe Asymptote horizontale : Soit un réel. Si Alors la courbe représentative de admet une asymptote horizontale en . Si Alors la courbe représentative de admet une asymptote horizontale en . Asymptote verticale : Si ou si ou si Alors la courbe représentative de admet une asymptote verticale . Asymptote oblique : Soit un réel non nul et un réel. Si - ou si - Alors la courbe représentative de admet une asymptote oblique . Graphiquement, on lit : Donc la droite - est asymptote verticale à .

désigne la limite à gauche de en désigne la limite à droite de en PROF: ATMANI NAJIB

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4 Par ailleurs, Donc la droite - est asymptote verticale à Enfin, Donc la droite est asymptote horizontale à en et en .

0 0 tend vers - par valeurs inférieures tend vers - par valeurs supérieures PROF: ATMANI NAJIB

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5 Déterminer les limites suivantes et . - -- (- -(- Remarque préalable : Le verbe " déduire » signifie " partir de propositions prises pour prémisses 1) Déterminons - -- , par quotient, - On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessous en bleu).

Exercice 2 (2 questions) Niveau : facile

0 - Si -, alors : PROF: ATMANI NAJIB

6 Remarque : -- - Cette étude de limite aurait également permis la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale - (représentée ci-dessus en bleu). Autre remarque : La courbe représentative de la fonction - admet également une asymptote horizontale (représentée ci-dessous en rose) - en et en . En effet, - -- - --

0 PROF: ATMANI NAJIB

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7 2) Déterminons - Et , par quotient, Donc la courbe représentative de la fonction admet une asymptote verticale . Remarque : On aurait asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction en montrant que : Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote horizontale en et en . En effet, on a : Rappel : Soient , , et . La limite en définie par : -- est égale à la limite en du quotient de ses monômes de plus haut degré .

0 PROF: ATMANI NAJIB

8 3) Déterminons - - , par quotient, Et - Donc, par somme, - On en déduit que la courbe représentative de la fonction - admet une asymptote verticale . Remarque : On pouvait également montrer en étudiant - Autre remarque : La courbe représentative de cette fonction admet également une asymptote oblique - au voisinage de et de . En effet, ----- ----- 4) Déterminons - --- Donc , la courbe représentative de la fonction -, admet une asymptote horizontale - au voisinage de . Remarques : - est une asymptote horizontale à en . . PROF: ATMANI NAJIB

9 5) Déterminons (- (-(- Il résulte de cette étude de limite que la courbe représentative de la fonction -- asymptote horizontale -. Remarque : -. 6) Déterminons -(- -(--(- Donc la courbe représentative de la fonction --- pas horizontale. Remarque : La courbe représentative de cette fonction admet en revanche deux asymptotes verticales respective - et --.

Asymptote verticale -

Asymptote verticale -

Asymptote oblique -

-- Courbe représentative de la fonction PROF: ATMANI NAJIB

10 Déterminer la limite de chacune des fonctions suivantes puis en déduire si la courbe représentative de la fonction admet une asymptote. -((- -- Rappel : Limite d fonction composée de deux fonctions Soit une fonction définie sur un intervalle , soit une fonction définie sur un intervalle , telle que . La fonction définie sur telle que (ou ) est la fonction composée de la fonction suivie de la fonction . , et désignent chacun soit un réel, soit , soit . Si Et si Alors 1) Déterminons est la composée, définie sur , de la fonction suivie de la fonction . Et

Exercice 3 (2 questions) Niveau : moyen PROF: ATMANI NAJIB

11 , par composition, Et , par composition, Donc, par différence, on aboutit à une forme indéterminée de la forme ; en effet : . Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée, afin de mettre en évidence la forme factorisée de ((. est dite " » de . Or, d , par somme, Donc, par quotient, - PROF: ATMANI NAJIB

12 On en déduit que la courbe représentative de la fonction admet une asymptote horizontale - au voisinage de . 2) Déterminons -((- -((--((- , par composition, -((-- Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -((- admet une asymptote horizontale - au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la courbe représentative de la fonction -((- admet une - au voisinage de . 3) Déterminons -- - , par composition, - - , par composition, - Donc on aboutit à une forme indéterminée : -- PROF: ATMANI NAJIB

13 n --. Pour cela, on la multiplie par son expression conjuguée. -------- -------- ----- - Et - , par somme, -- Donc -- Par conséquent, la courbe représentative de la fonction -- dmet pas asymptote horizontale au voisinage de . Rappel : Formes indéterminées Les cas de formes indéterminées () nécessitent une étude particulière. Ces cas sont, pour les opérations élémentaires ( ; ; ; ), au nombre de 4 et de la forme : - -- PROF: ATMANI NAJIB

14 Soit la fonction définie sur par : -( 1) Etudier les limites de aux bornes de son ensemble de définition. En déduire les asymptotes éventuelles. 2) Montrer que , la courbe représentative de comme asymptote oblique. 3) Tracer et ses asymptotes afin de contrôler les résultats obtenus aux questions précédentes. Soit la fonction définie sur par : -( 1) Etudions les limites de aux bornes de son ensemble de définition. On a : , , et . Etude en : , par composition, ((

Exercice 4 (4 questions) Niveau : facile PROF: ATMANI NAJIB

15 , par quotient, -(-- -(- Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de Etude en : - , par composition, ((- , par quotient, -(- -( Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale. PROF: ATMANI NAJIB

16 Etude en : - , par composition, ((- , par quotient, -(- -( Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet la droite comme asymptote verticale. (résultat déjà obtenu ci-dessus) Etude en : , par somme, , par composition, (( PROF: ATMANI NAJIB

17 , par quotient, -(-- -(- Donc, par somme, -( Donc , la courbe représentative de , admet pas horizontale au voisinage de 2) Montrons que comme asymptote oblique. Pour tout , --( -(- Donc - Par conséquent, la droite est asymptote oblique à au voisinage de . Remarque : On peut également montrer que la droite est asymptote oblique à au voisinage de PROF: ATMANI NAJIB

18 3) Traçons (en vert) et ses asymptotes. -dessus, on constate que les résultats obtenus aux questions précédentes sont conformes. Soit la fonction définie sur - par : (- On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal . 1) Déterminer les réels , et tels que, pour tout réel de , - 2) Déterminer les limites de aux bornes de . En déduire les éventuelles asymptotes à parallèles aux axes du repère. 3) Montrer que Soit la fonction définie sur - par : (-

Exercice 5 (5 questions) Niveau : moyen

0 PROF: ATMANI NAJIB

19 On note sa courbe représentative dans un repère orthonormal . 1) Déterminons les réels , et tels que, pour tout réel de , - Pour tout réel de , -----(----(-- (--- Ainsi, on doit obtenir : (---(- Par identification des coefficients (uniques) des monômes du numérateur, on a : -- Résolvons ce système : --------- -- Donc, pour tout réel de , - 2) Déterminons les limites de aux bornes de déduire les éventuelles asymptotes à parallèles aux axes du repère. Remarque : sont les asymptotes horizontales et verticales. Une asymptote horizontale est par des abscisses ; une asymptote verticale est des ordonnées. : - PROF: ATMANI NAJIB

20 Etudions la limite de en : - , par quotient, -- Donc, par somme, Etudions la limite de en - et en - : -- -- , par quotient, - - Donc, par somme, Par conséquent, - Etudions la limite de en : - PROF: ATMANI NAJIB

21 , par quotient, -- Donc, par somme, 3) Montrer que de , - Ainsi, pour tout réel de , -- Nous avons en outre établi à la question 2) que : -- Donc - Par conséquent au voisinage de . Remarque : On a de surcroît : -- -à-dire que au voisinage de . PROF: ATMANI NAJIB

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