[PDF] Structures alg ebriques, Anneaux et Corps

ANNEAUX ET CORPS - univ-reunionfr

Chapitre 5: ANNEAUX et CORPS - page 1 IUFM de La Réunion – Frédéric BARÔME ANNEAUX ET CORPS I INTRODUCTION DÉFINITION PREMIÈRE L’ensemble et ses deux lois + et bénéficient d'une structure très riche permettant de « faire de l'arithmétique »

ANNEAUX ET CORPS - {toutes les Maths}

TLM1 Anneaux et corps 3 Par symØtrie des rôles on a aet b-1 qui commutent On a donc montrØ que aet bcommutent =)aet b-1 commutent et a-1et bcommutent On l™applique donc à aet b pour avoir a-1 et b-1 commutent En–n, si i2Z, i

Anneaux et corps - pagesperso-orangefr

Théorème et définition: Soit A un anneau intègre et commutatif Il existe un corps K unique (à un isomorphisme près) vérifiant : (i) K a un sous-anneau isomorphe à A; (ii) K est minimal pour la condition (i) i e : si L est un corps vérifiant (i) alors L admet un sous-corps isomorphe à K K est appelé corps des fractions de A et se

Structures alg ebriques, Anneaux et Corps

Anneaux et corps Anneaux-Corps D e nition On note par Al’ensemble A = A f 0 Ag Si A = f0 Agon dit A est nul Si la multiplication de A est commutative on dit que (A;+;) est un anneau ab elien ou commutative Si A admet un el ement neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire

ANNEAUX ET CORPS PRÉPARATION À L’AGRÉGATION EXTERNE

Exemple 2 2 — Un anneau commutatif Aest un corps si et seulement s’il n’est pas nul et que ses seuls idéaux sont f0 Aget A Un corps a donc toujours au moins deux éléments Exemple 2 3 — Les idéaux de l’anneau Z sont les nZ, avec n2N (pourquoi?); les quotients sont les anneaux Z=nZ

Structures alg´ebriques : groupes, anneaux et corps

•Les lois ∪, ∩et ∆ sur P(F) sont associatives et commutatives Elles admettent pour neutres respectifs ∅, F, et ∅ •⊕et ⊗sont associatives et commutatives sur R2 •Vue comme LCI sur N∗, + n’admet pas d’´el´ement neutre Exercice 1 Montrer que les lois ⊕et ⊕sur R2 (cf exemples 1) admettent chacune un neutre

Groupes,anneaux,corps - GitHub Pages

©LaurentGarcin MPSILycéeJean-BaptisteCorot Groupes,anneaux,corps 1 Notiondeloi 1 1 Loiinterne Définition1 1Loiinterne SoitEunensemble

Groupes, anneaux, corps

Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé 5 4 Soit définie pour tout par ( ) a) Montrer que est bien définie b) )Montrer que )est un morphisme de (( ) (sur c) Déterminer le noyau de et en déduire que est un isomorphisme (morphisme bijectif) de (( ) ) sur ( ) Allez à : Correction exercice 21

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Structures algebriques,

Anneaux et Corps

Hanan CHOULLI

Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps1 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

Soit A un ensemble

muni de deux lois de comp ositioninternes +et. On dit que(A;+;)est un anneau ou A est un anneau si les proprietes suivantes sont veriees:1(A;+)est un groupe abelien.2La multiplication de A est associative.

3La multiplication de A est distributive par rapport a l'addition de A

Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps2 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

Soit A un ensemblemuni de deux lois de composition internes+et.On dit que(A;+;)est un anneau ou A est un anneau si les proprietes

suivantes sont veriees:1(A;+)est un groupe abelien.2La multiplication de A est associative.

3La multiplication de A est distributive par rapport a l'addition de A

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Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

Soit A un ensemblemuni de deux lois de composition internes+et.On dit que(A;+;)est un anneau ou A est un anneau si les proprietes

suivantes sont veriees:1(A;+)est un groupe abelien.2La multiplication de A est associative.

3La multiplication de A est distributive par rapport a l'addition de A

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Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

Soit A un ensemblemuni de deux lois de composition internes+et.On dit que(A;+;)est un anneau ou A est un anneau si les proprietes

suivantes sont veriees:1(A;+)est un groupe abelien.2La multiplication de A est associative.

3La multiplication de A est distributive par rapport a l'addition de A

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Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

Soit A un ensemblemuni de deux lois de composition internes+et.On dit que(A;+;)est un anneau ou A est un anneau si les proprietes

suivantes sont veriees:1(A;+)est un groupe abelien.2La multiplication de A est associative.

3La multiplication de A est distributive par rapport a l'addition de A

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Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

Soit A un ensemblemuni de deux lois de composition internes+et.On dit que(A;+;)est un anneau ou A est un anneau si les proprietes

suivantes sont veriees:1(A;+)est un groupe abelien.2La multiplication de A est associative.

3La multiplication de A est distributive par rapport a l'addition de A

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Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.3(RR;+;)est un anneau.4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps3 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.3(RR;+;)est un anneau.4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps3 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.

3(RR;+;)est un anneau.4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps3 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.

3(RR;+;)est un anneau.4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps3 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.

3(RR;+;)est un anneau.

4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps3 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.

3(RR;+;)est un anneau.

4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps3 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.

3(RR;+;)est un anneau.

4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.

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Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1(R;+;),(C;+;),(Z;+;)sont des anneaux.2(R[X];+;)est un anneau, appele anneau de polyn^omes.

3(RR;+;)est un anneau.

4Z[p2] =fa+bp2=a;b2Zgest un anneau.

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Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On note par A

l'ensemble A=A f0Ag.Si A=f0Agon dit A est nul.Si la multiplication de A est commutative on dit que(A;+;)est un

anneau abelien ou commutative.Si A admet un element neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire.Si A est un anneau unitaire alors l'element neutre pour la

multiplication de A est appele l'unite de A et note1Aou1.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps4 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On note par A

l'ensemble A=A f0Ag.Si A=f0Agon dit A est nul.Si la multiplication de A est commutative on dit que(A;+;)est un

anneau abelien ou commutative.Si A admet un element neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire.Si A est un anneau unitaire alors l'element neutre pour la

multiplication de A est appele l'unite de A et note1Aou1.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps4 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On note par A

l'ensemble A=A f0Ag.Si A=f0Agon dit A est nul.Si la multiplication de A est commutative on dit que(A;+;)est un

anneau abelien ou commutative.Si A admet un element neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire.Si A est un anneau unitaire alors l'element neutre pour la

multiplication de A est appele l'unite de A et note1Aou1.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps4 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On note par A

l'ensemble A=A f0Ag.Si A=f0Agon dit A est nul.Si la multiplication de A est commutative on dit que(A;+;)est un

anneau abelien ou commutative.Si A admet un element neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire.Si A est un anneau unitaire alors l'element neutre pour la

multiplication de A est appele l'unite de A et note1Aou1.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps4 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On note par A

l'ensemble A=A f0Ag.Si A=f0Agon dit A est nul.Si la multiplication de A est commutative on dit que(A;+;)est un

anneau abelien ou commutative.Si A admet un element neutre pour la multiplication de A on dit que A est un anneau unitaire.Si A est un anneau unitaire alors l'element neutre pour la

multiplication de A est appele l'unite de A et note1Aou1.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps4 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.2Z=6Zn'est pas integre.3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.

2Z=6Zn'est pas integre.3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.

2Z=6Zn'est pas integre.3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.

2Z=6Zn'est pas integre.

3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.

2Z=6Zn'est pas integre.

3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.

2Z=6Zn'est pas integre.

3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.

2Z=6Zn'est pas integre.

3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

On dit que A est integre si :

8a;b2A:ab= 0A=)[a= 0Aou b= 0A]Exemple

1Zest integre.

2Z=6Zn'est pas integre.

3Z=nZZ=nZn'est pas integre.4(P(E);;\)n'est pas inegre sijEj 2.5(RR;+;)n'est pas integre.Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps5 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

1Si A est un anneau unitaire alors les elements inversibles de A sont

appeles les unites de A .2Si A est un anneau unitaire alors l'ensemble des unites de A est note U(A).3Si A est un anneau unitaire et si U(A) =Aon dit que A est un corps. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps6 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

1Si A est un anneau unitaire alors les elements inversibles de A sont

appeles les unites de A .2Si A est un anneau unitaire alors l'ensemble des unites de A est note U(A).3Si A est un anneau unitaire et si U(A) =Aon dit que A est un corps. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps6 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Denition

1Si A est un anneau unitaire alors les elements inversibles de A sont

appeles les unites de A .2Si A est un anneau unitaire alors l'ensemble des unites de A est note U(A).3Si A est un anneau unitaire et si U(A) =Aon dit que A est un corps. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps6 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire. 1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.Proposition Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire. 1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.Proposition Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire. 1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.Proposition Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire. 1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.Proposition Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire. 1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.Proposition Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .

3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire. 1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.Proposition Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .

3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire.1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.Proposition Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .

3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire.1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.

Proposition

Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsAnneaux-Corps

Exemple

1Zest un anneau abelien unitaire et U(Z) =f1;1g 6=Z_DoncZ

n'est pas un corps .2Q,RetCsont des corps abeliens .

3Si E est un ensemble quelconque alors(P(E);;\)est un anneau

abelien unitaire.1 P(E)=E et U(P(E)) =fEg.4(R[X];+;)n'est pas un corps.

Proposition

Si A est un corps alors A est integre. La reciproque n'est pas toujours veriee. Hanan CHOULLIStructures algebriques: Anneaux et Corps7 / 38

Anneaux et corpsSous-anneaux - Sous-corps

Denition

Soient A un anneau et B une partie de A. On dit que B est un sous-anneau de A ou A est une extention de B si les proprietes suivantes sont veriees:1B est stable pour l'addition de A.

2B est stable pour la multiplication de A.

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