Anneaux - idpoissonfr
e) Montrer qu’un sous-anneau d’un anneau intègre est intègre f) Un produit d’anneaux est-il intègre? un corps? g) Soit k un corps et P ∈ k[X] Déterminer les diviseurs de 0 dans k[X]/(P) Exercice 3 Éléments inversibles Soit A un anneau a) Montrer que l’ensemble A× des éléments inversibles de A est un groupe pour la
ANNEAUX ET CORPS - {toutes les Maths}
Remarque : Dans ce cas (B;+; ) est alors un anneau En pratique, pour montrer qu™un objet est un anneau, on montre donc que c™est un sous anneau d™un anneau connu Exemple 6 (1) Z est un sous-anneau de (Q;+; ): (2) C(I;R), ensemble des fonctions continues sur l™intervalle IˆR, est un sous-anneau de (F(I;R);+; ) (3) L™ensemble des
Anneaux 1 La structure d’anneau
a)Propriété universelle de l’anneau Z Soit A un anneau unitaire Montrer qu’il existe un unique morphisme d’anneauxunitairesf: ZA Vérifierqu’ilestdonnéparf(k) = k1 A Le noyau de l’unique morphisme f : ZA est de la forme nZpour un unique n2N Cet entier nest
le produit des anneaux
Exercice 1 2 11 Soit A un anneau (unitaire) Montrer qu’il existe un et un seul homomorphisme d’anneaux Z A Inversement, soit R un anneau tel que pour tout anneau A il existe un unique homomorphisme d’anneaux R A Montrer qu’il existe un (unique) isomorphisme d’anneaux Z R Dans la suite, on ne consid erera que des anneaux
Anneaux
2 Dans un anneau commutatif, montrer que le produit ab n’est pas un diviseur de 0 si et seulement si a et b ne le sont pas 3 Montrer qu’un sous-anneau d’un anneau integre est int` egre ` 4 Soit k un corps et P 2k[X] Determiner les diviseurs de 0 dans´ k[X]/(P) Exercice 2 [Elements´ inversibles] Soit A un anneau
Idéaux - univ-toulouse
L’exercice ci-dessus indique un lien entre l’arithmétique dans A et les relations entre ses idéaux;envoiciuneconfirmation Proposition3 1 3 Supposonsquel’idéalAx 1 +···+Ax n estprincipal:
Anneaux Enonc es - DIENS
Exercice 9{ Un id eal a d’un anneau Aest premier si, etant donn es deux el ements aet bde A, la relation ab2a implique que a2a ou b2a 1 Montrer qu’un id eal a d’un anneau Aest premier si et seulement si le quotient A=a est int egre 2 Soit f : A B un homomorphisme d’anneaux Montrer que pour tout id eal
Anneaux - michelquerciafreefr
Soit A un anneau à division, B son centre et α,β les cardinaux de A,B Pour a ∈ A∗, on note C a le commutant de a et O a = {xax−1 tq x ∈ A∗} a) Montrer que C a est un anneau à division et qu’il existe des entiers m,n tels que : α = βn, card(C a) = βm et m divise n b) Montrer que card(O a) = card(A ∗)/card(C ) En déduire
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Algèbre Année 2013-2014ENS Cachan
Hugues Auvray
Anneaux
Cette longue liste d"exercices est essentiellement celle de Vincent Beck et Patrick Lemeur qui m"ont précédé
dans ce rôle, et je tiens à remercier Claire Renard qui m"a amicalement transmis les fichiers sources.
1 La structure d"anneau.
1.1 Définitions.
Aest un anneau commutatif, unitaire, d"unité notée1. Unmorphisme d"anneauxf: A!Best un morphisme de groupes tel que pour tousaetbdansA,f(ab) =f(a)f(b). On demande de plus qu"un tel morphisme conserve les éléments unité : si1A(resp.1B) sont
les éléments unités deA(resp.B), alorsf(1A) = 1B.L"ensemble des éléments deAinversibles pour la multiplication est appelé l"ensemble desunitésdeA, noté
A . C"est un groupe pour la multiplication. Par convention, nous noteronsA= Arf0g. On aA= Asi, et seulement siAest un corps.Définition 1Diviseurs de zéro et anneau intègre.L"anneauAest ditintègresi pour tousaetbdansA
tels queab= 0, alorsa= 0oub= 0. Un élémenta6= 0deAtel qu"il existeb6= 0avecab= 0est appelé un
diviseur de zéro. Un anneau intègre est donc un anneau sans diviseur de zéro. (Remarquer que si l"on travaille
avec la définition traditionnelle de divisibilité, tout élément d"un anneauAest un diviseur de0.)Unsous-anneauBdeAest un sous-ensemble deAtel que(B;+)est un sous-groupe de(A;+), stable par
produit (pour tousaetbdansB,ab2B), et contenant l"élément unité1A. A ne pas confondre avec la notion
d"idéal. Définition 2Sous-anneau premier.SoitAun anneau commutatif unitaire. On appellesous-anneau premierdeAle plus petit sous-anneau deA(contenant l"élément unité1A). Voir l"exercice 5.UnidéalIdeAest un sous-groupe de(A;+)tel que pour tousa2Aetb2I,ab2I.
Sif: A!Best un morphisme d"anneaux, toute image réciproque d"un idéal deBest un idéal deA. Par
contre, l"image d"un idéal deAn"est pas forcément un idéal deBsauf si l"on supposefsurjectif.
Définition 3Idéal premier.SoitIun idéal deAun anneau commutatif. On dit queIest un idéal premier
si les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées (i)A=Iest intègre; (ii)I6= Aetxy2I =)x2Iouy2I.(iii)ArIest une partie multiplicative deA.Définition 4Idéal maximal.SoitIun idéal deAun anneau commutatif. On dit queIest un idéal maximal
si les propriétés équivalentes suivantes sont vérifiées (i)A=Iest un corps; (ii)I6= Aet siJest un idéal tel queIJalorsJ = AouJ = I;(iii)Iest un élément maximal (pour l"inclusion) parmi les idéaux distincts deA.1.2 Exercices.
Exercice 1Anneau de fonctions.SoitAun anneau etIun ensemble. a)Montrer que l"ensembleF(I;A)des fonctions deIdansAest un anneau (commutatif siAl"est). Quel est l"élément neutre pour l"addition, la multiplication?b)On suppose queIest un espace métrique etA =R. Montrer que les fonctions continues surIforment un
sous-anneau deF(I;A). c)Pourx2I, montrer que l"application ev x:(F(I;A)!A f7!f(x) est un morphisme d"anneaux appelémorphisme d"évaluation enx. d)Déterminer les diviseurs de0dansC(R;R). e)Déterminer les éléments inversibles deF(I;A)? deC(R;R)? f)Soitx02R. Montrer que l"ensembleff2C(R;R); f(x0) = 0gest un idéal maximal deC(R;R). Est-il principal? Que se passe-t-il si on remplaceC(R;R)parR[X],C1(R;R),F(R;R)? g)Existe-t-il des éléments nilpotents non nuls dansC(R;R)? h)SoitUun ouvert deCetHl"anneau des fonctions holomorphes surU. Montrer queHest intègre si et seulement siUest connexe.Exercice 2Diviseurs de0.Rappelons qu"undiviseur de0est un élémentanon nultel qu"il existe un autre
élémentbégalement non nul avecab= 0.
a)Déterminer les diviseurs de0dansZ;D;Q;R;C;R[X]. b)Déterminer les diviseurs de0dansZ=4Z. c)Déterminer les diviseurs de0dansZ=nZ. d)Dans un anneau commutatif, montrer que le produitabest un non-diviseur de0si et seulement siaetble sont. e)Montrer qu"un sous-anneau d"un anneau intègre est intègre. f)Un produit d"anneaux intègres est-il intègre? un corps? ATTENTION à ce piège!!!!!! g)Soitkun corps etP2k[X]. Déterminer les diviseurs de0dansk[X]=(P). Exercice 3Éléments inversibles.SoitAun anneau. a)Montrer que l"ensembleAdes éléments inversibles deAest un groupe pour la multiplication. b)Déterminer les éléments inversibles deZ;D;Q;R;C;R[X]. c)Comparer les groupesF3(X)etQ(X). d)Déterminer les éléments inversibles deZ=4Z. e)Déterminer les éléments inversibles deZ=nZ. f)Montrer que siuest inversible etxnilpotent etux=xualorsu+xest inversible. En particulier, montrer que1 +xest inversible. Quel est l"inverse?g)Montrer que sif: A!Best un morphisme d"anneaux alorsfinduit par restriction un morphisme de groupes
deAdansB. On suppose quefest surjectif, le morphisme deAdansBinduit est-il surjectif? h)Montrer queZ=nZest intègre si et seulement siZ=nZest un corps si et seulement sinest premier.i)Soitkun corps etP2k[X]. Déterminer les éléments inversibles dek[X]=(P). En déduire quek[X]=(P)est
un corps si et seulement siPest irréductible.Exercice 4Éléments nilpotents et radical.
a)Déterminer les éléments nilpotents deZ=nZ. b)Soitkun corps etP2k[X]. Déterminer les éléments nilpotents dek[X]=(P).c)On suppose queAest un anneau commutatif. Montrer que l"ensemble des éléments nilpotents deAest un
idéal deA. Le résultat s"étend-il à un anneau non commutatif? d)On suppose encore queAest commutatif. On considère un idéalIdeA. Montrer que l"ensemble pI =fx2A;9n2N; xn2Ig est un idéal contenantI. Que vautp0? CalculerppI? e)Décrire l"idéal deA=Icorrespondant àpI.f)Montrer que l"intersection des idéaux premiers deAcontenantIestpI(c"est une question difficile : on pourra
montrer que six =2pI, l"ensemble des idéaux contenantIne rencontrant pas l"ensemblefxn; n2Ngest non
vide et admet un élément maximal qui est un idéal premier deA).g)Montrer queA=p0est un anneau réduit (c"est-à-dire n"a pas d"élément nilpotent non nul).
L"exercice suivant estFONDAMENTAL.
****Exercice 5Caractéristique.a)Propriété universelle de l"anneauZ.SoitAun anneau unitaire. Montrer qu"il existe un unique morphisme
d"anneaux unitairesf:Z!A. Vérifier qu"il est donné parf(k) =k1A. Le noyau de l"unique morphismef:Z!Aest de la formenZpour un uniquen2N. Cet entiernestappelé lacaractéristique de l"anneauA. C"est le plus petit entier non nul (s"il existe) tel quen1A= 0. Il
vérifie aussina= 0pour touta2A(pourquoi?). b)Montrer que le sous-anneau premier deAest isomorphe àZ=car(A)Z(voir la définition 2). c)Montrer que siBest un sous-anneau deAalors car(B) =car(A).d)Soitf: A!Bun morphisme d"anneaux. Comparer la caractéristique deAet celle deB. En déduire que si
car(A)et car(B)sont premiers entre eux alors il n"y a pas de morphisme d"anneaux entreAetB. e)Quelle est la caractéristique deZ=nZ, deZ,Q,R,R[X]? f)Quelle est la caractéristique deZ=4ZZ=2Z? et celle deZ=8ZZ=6Z? g)Quelle est la caractéristique deQ n2NZ=nZ? h)Quelle peut être la caractéristique d"un anneau intègre? d"un corps?i)Montrer qu"il n"existe pas de morphisme de corps entre deux corps n"ayant pas la même caractéristique.
j)Montrer qu"un anneau de caractéristiquep(premier) peut être muni d"une structure d"espace vectoriel sur
le corpsFp=Z=pZ. k)Montrer que siAetBsont deux anneaux de caractéristiquepetf: A!Bun morphisme d"anneaux alors festFplinéaire pour la structure définie dans la question précédente. l)Montrer qu"il n"existe aucun morphisme d"anneaux unitaires deQ(resp.R;C;Z=nZavecn>1) dansZ.m)Montrer que l"unique morphisme d"anneaux unitairesf:Z!Qvérifie que pour tous morphismes d"anneaux
unitairesg;h:Q!Atel quegf=hf, on ah=g. En déduire que s"il existe un morphisme d"anneauxQ!A, il est unique.
Exercice 6Anneau quotient.SoitAun anneau,Iun idéal deA. On définit la relation d"équivalence surI
R Ipar xRIy()xy2I.L"ensemble quotient se noteA=I(c"est bien entendu cohérent avec la notation usuelle puisqueIest un sous-
groupe du groupe additifAetRIla relation habituelle).a)SoitRune relation d"équivalence sur un anneauA. Montrer qu"il existe surA=Rune structure d"anneau
telle que la surjection canoniquesoit un morphisme d"anneaux (cette structure étant alors unique) si et
seulement siRest compatible avec les deux lois deA. De plus, montrer que si ces conditions sont vérifiées,
il existe un idéalIdeAtel queR=RI(remarquer queIest nécessairement la classe de0). b)Décrire la classe dexpourRI.c)Montrer que la relationRIest compatible avec les lois deA. En déduire qu"il existe une unique structure
d"anneau surAtelle que la surjection canonique soit un morphisme d"anneaux.d)Montrer que tout idéal deAest le noyau d"un morphisme (qu"on peut supposer surjectif) d"anneaux.
e)Propriété universelle du quotient.SoientAun anneau,Iun idéal deAet: A!A=Ila surjection canonique.
On considère un anneauBetf: A!Bun morphisme d"anneaux. Montrer l"équivalence des trois propriétés
suivantes (i) Il existe une applicationf: A=I!Btelle quef=fc"est-à-dire telle que le diagramme suivant soit commutatif A f// B A=If >>(ii)IKerf (iii)f(I) =f0Ag.Montrer que lorsque ces conditions sont vérifiées, l"applicationfest uniquement définie et que c"est un
morphisme d"anneaux. Vérifier queImf= ImfetKerf= Kerf=Het quefest donnée parf(x) =f(x) pour toutx2A(oùx=(x)désigne la classe dexdansA=I).Morale (à retenir) : se donner un morphisme d"anneaux issu d"un quotient, c"est la même chose que de se
donner un morphisme trivial sur l"idéal par lequel on veut quotienter. Il est donc très facile de construire des
morphismes issus de quotients. f)Montrer que l"application (Homann.(A=I;B)!Homann.(A;B) '7!'est une application injective dont on déterminera l"image. Pour un élément de l"image, on décrira l"unique
antécédent. g)Premier théorème d"isomorphisme.Soitf: A!Bun morphisme d"anneaux. Montrer quefinduit un iso- morphisme d"anneaux': A=Kerf!Imfdonné par'(x+ Kerf) =f(x)pour toutx2A. Qu"obtient-on lorsquefest surjectif?h)Applications.En utilisant l"exercice 5, montrer queHomann.(Z=nZ;A)a au plus un élément. À quelle condition
Hom ann.(Z=nZ;A)6=?? En déduireHomann.(Z=nZ;Z=mZ). Comparer avecHomgr.(Z=nZ;Z=mZ). Exercice 7Théorème de correspondance.SoientAetBdeux anneaux etf: A!Bun morphismesurjectif d"anneaux. On noteK = Kerf,A(resp.AK) l"ensemble des idéaux deA(resp. contenantK),Bl"ensemble des idéaux deB. a)Montrer que l"application :(A!BI7!f(I)
est bien définie. (On remarquera aussi que cette application n"est pas bien définie sifn"est pas surjectif :
f(I)n"est pas un idéal). b)Montrer que l"application :(B!AJ7!f1(J)
est bien définie et à valeurs dansAK. c)PourJ2HetI2G, calculer(J)et(I). En déduire queest injective,est surjective etet sont des bijections réciproques l"une de l"autre entreAKetB.d)Montrer que ces bijections induites paretconservent les inclusions, les intersections (attention, ce n"est
pas purement formel), les idéaux premiers, les idéaux maximaux, les radicaux.e)Deuxième théorème d"isomorphisme.SoitJ(resp.I) un idéal deB(resp.AcontenantK). Construire un
isomorphisme de groupes entreA=(J)etB=J(resp. entreA=IetB=(I)).f)Application.On considère un anneauA,Kun idéal deAetf: A!A=Kla surjection canonique. Décrire des
bijections respectant les inclusions, les intersections, les idéaux premiers et maximaux et les sous-groupes de
A=K. Déduire de la questione, l"isomorphismeA=Igr.'(A=K)=(I=K)pour tout idéalIdeAcontenantK. g)Application.Voir l"exercice 42.h)Application.Soitkun corps et06= P2k[X]. Montrer que l"anneauk[X]=Pn"a qu"un nombre fini d"idéaux.
i)Complément.On considère à présentAetBdeux anneaux etf: A!Bun morphisme d"anneau qu"onne suppose plus surjectif. Donner un exemple d"idéal deAtel quef(I)ne soit pas un idéal deB. Montrer
que l"image réciproque d"un idéal (resp. premier) est un idéal (resp. premier). Est-ce le cas pour un idéal
maximal? **Exercice 8Morphismes d"anneaux.Soitf:R!Run endomorphisme d"anneau. a)Calculerf(n)pourn2Zpuis pourr2Q. b)Montrer quef(x)>0six>0(on caractérisera la positivité d"un réel en terme algébrique). c)En déduire quefest croissante. d)En déduire quef= idR. e)Soitf:C!Cun endomorphisme d"anneau. Montrer l"équivalence (i)fest l"identité ou la conjugaison; (ii)fest continu; (iii)f(R)R; (iv)f(x) =xpour toutx2R. Exercice 9Matrice triangulaire.Soitkun corps. On considère le sous-anneau deM2(k)A =a b
0c ; a;b;c2k a)Déterminer les éléments nilpotents deA? b)Déterminer les inversibles deA?c)Un élémentad"un anneau est ditrégulier à gauche(resp. à droite) si l"application qui àx2Aassocieax
(resp.xa) est injective. Déterminer les éléments réguliers à droite, à gauche? d)Déterminer les idéaux deAet les quotients correspondants. Exercice 10Anneau produit et idéaux.On considère l"anneau produitA = A1 An.a)SoitIun idéal bilatère deA. Montrer queI = I1 InoùIjest un idéal bilatère deAj. Quel est le
quotient?b)On suppose que tous lesAisont non nuls et commutatifs. Décrire les idéaux premiers deA? les idéaux
maximaux deA?c)On suppose que lesAjsont des corps. CombienAadmet-il d"éléments maximaux? En déduire qu"un produit
de deux corps n"est jamais isomorphe à un produit de trois corps. Exercice 11Opérations sur les idéaux.SoitAun anneau.a)SoitIetJdeux idéaux à gauche (resp. à droite, bilatère). Montrer queI + J =fi+j; i2I;j2Jgest un
idéal à gauche (resp. à droite, bilatère). b)SoitIetJdeux idéaux à gauche (resp. à droite, bilatère). Montrer que IJ = nP k=0i kjk; n2N;ik2I;jk2J est un idéal à gauche (resp. à droite, bilatère). c)Montrer que(I + J) + K = I + (J + K),(IJ)K = I(JK),(I + J)K = IK + JKetI(J + K) = IJ + IK. Montrer0 + I = I + 0 = IetAI = I(siIest un idéal à gauche). A-t-onIA = I?
****Exercice 12Anneaux finis. a)Montrer qu"un anneau intègre fini est un corps. b)Donner des exemples d"anneaux non intègres et finis. c)Déterminer les anneaux à2,3et4éléments. Exercice 13Anneaux d"idempotents.SoitAun anneau tel quea2=apour touta2A. a)Montrer queAest commutatif.b)Dans cette question (et dans cette question seulement), on suppose queAest intègre. Montrer queAest un
corps et queAa deux éléments. c)Montrer que tout idéal premier deAest maximal. Exercice 14Manipulations algébriques.SoitAun anneau tel quea3=apour touta2A. a)Déterminer les éléments nilpotents deA. b)Soite2Atel quee2=eeta2Aetb=ea(1e). Calculerb2et en déduire queea=ae. c)En déduire que pour toutx2Aalorsx22ZA. d)Montrer que2x2ZApour toutx2A. e)Montrer que3x2+ 3x= 0. En déduire que3x2ZA. f)Montrer queAest commutatif. Exercice 15Anneaux de fonctions continues sur un compact.SoitAl"anneau des fonctions continues de [0;1]dansR. a)Soitx2[0;1]. Montrer queIx=ff2A; f(x) = 0gest un idéal maximal deA. Quel est le quotientA=Ix? b)Tous les idéaux deAsont-ils maximaux? premiers? c)Ixest-il principal? d)Montrer que(Ix)2= Ix. e)Montrer que tout idéal maximal deAest de la formeIx(question difficile). *Exercice 16Idéaux premiers, idéaux maximaux.a)SoitAun anneau intègre. Montrer que siAcontient un nombre fini d"idéaux alorsAest un corps (on pourra
considérer les idéaux de la forme(an)).b)SoitAun anneau commutatif. Montrer qui siAcontient un nombre fini d"idéaux alors tout idéal premier est
maximal.c)SoitAun anneau tel que tout idéal est premier. Montrer queAest un corps (on pourra considérer les idéaux
de la forme(x2)). Exercice 17Lemme de Zorn et anneaux.SoitAun anneau commutatif. a)On suppose queA6=f0g. Montrer queAadmet un idéal maximal.b)SoitI6= Aun idéal deA. Montrer qu"il existe un idéal maximal deAcontenantI(on pourra appliquer la
questionaàA=I).c)Soitf2A. On noteS =ffn; n2Ng. À quelle condition l"ensemble des idéaux ne rencontrant pasSadmet
un élément maximal. Montrer qu"un tel idéal maximal est premier. En déduire que l"intersection des idéaux
premiers deAest formée des éléments nilpotents deA.2 Propriétés arithmétiques des anneaux.
2.1 Divisibilité.
**Exercice 18Divisibilité.SoientAun anneau commutatif (on ne suppose pasAintègre) eta;b2A. a)Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes (i) il existec2Atel queca=b; (ii)b2(a); (iii)(b)(a);Si ces conditions sont vérifiées, on dit queadivisebet on écritajb. On dit queaetbsontassociéssiajb
etbjab)Montrer queaetbsont associés si et seulement si(a) = (b). Montrer que être associés est une relation
d"équivalence surA. c)On dit queaetbsontfortement associéss"il existeu2Atel queb=ua. Montrer que être fortement associés est une relation d"équivalence. d)Montrer que des éléments fortement associés sont associés. e)Montrer que dans un anneau intègre des éléments associés sont fortement associés.Pour un exemple d"éléments associés qui ne sont pas fortement associés dans un anneau non intègre, voir
l"exercice 30. **Exercice 19Élement premier, élément irréductible.SoitAun anneau commutatif. a)Soitp2A. Montrer l"équivalence des deux propriétés suivantes (i)pest non nul non inversible et sipjabalorspjaoupjb; (ii)(p)est un idéal premier non nul. Un élément vérifiant ces propriétés est appeléélément premier deA.b)Soitp2A. On suppose queAestintègre. Montrer l"équivalence des deux propriétés suivantes
(i)pest non inversible et sip=abalorsaest inversible oubest inversible; (ii)(p)est non nul et maximal parmi les idéaux deAqui sont principaux et distincts deA. Un élément vérifiant ces propriétés est appeléélément irréductible deA. c)Déterminer les éléments premiers (resp. irréductible) d"un corps, deZ,k[T]. d)Montrer queTest un élément premier deA[T]si et seulement siAest intègre. e)Montrer qu"un élément premier est toujours irréductible (siAest intègre). f)Montrer que dans un anneau principal, un élément irréductible est premier. **Exercice 20PPCM et PGCD.[D, Chapitre VII] SoitAun anneau commutatif. On ne suppose pas pour l"instantAintègre.Définition 5Soienta1;:::;am2A. On dit qued2Aest unppcmdea1;:::;amsidvérifie les deux conditions
suivantes (i)aijdpour touti2[[1; m]](c"est-à-diredest un multiple commun desai);(ii) pour toutd02Avérifiantaijd0, on adjd0(c"est-à-diredest " le » plus petit multiple commun).Définition 6Soienta1;:::;am2A. On dit qued2Aest unpgcddea1;:::;amsidvérifie les deux conditions
suivantes (i)djaipour touti2[[1; m]](c"est-à-diredest un diviseur commun desai);(ii) pour toutd02Avérifiantd0jai, on ad0jd(c"est-à-diredest " le » plus grand diviseur commun).Des élémentsa1;:::;amdont lepgcdest1sont ditpremiers entre eux.
Attentionppcmetpgcdn"existent pas forcément (voir l"exercice 28). a)Montrer quea1;:::;am2Aadmet unppcmsi et seulement si l"idéal(a1)\ \(am)est principal (on a ainsi une condition simple d"existence desppcm: ce n"est pas le cas pour lespgcd).b)On suppose que l"idéal(a1;:::;am)est principal. Montrer quea1;:::;amadmettent unpgcdet qu"on a une
relation de Bézout. Montrer que dansk[X;Y],XetYont1commepgcdmais que l"idéal(X;Y)n"est pas principal. c)Montrer quea1;:::;amadmettent unpgcdsi et seulement si l"ensemble des idéauxprincipauxcontenant (a1;:::;am)admet un élément plus petit élément.d)Montrer que dans un anneau principalppcmetpgcdexistent toujours et qu"on dispose de relation de Bézout
pour lepgcd. Dans toute la suite de l"exerciceAest un anneau commutatifintègre.e)Soita6= 0. Montrer que la famille(a1;:::;an)admet unppcmsi et seulement si la famille(aa1;:::;aan)en
admet un. Donner le lien entre les deuxppcm.f)Montrer que le résultat précédent n"est pas vrai pour lespgcd. Cependant, montrer qu"on a le résultat
suivant : si lepgcdde la famille(aa1;:::;aan)existe, montrer que celui de la famille(a1;:::;an)existe et
qu"on a la relationpgcd(aa1;:::;aan) =apgcd(a1;:::;an). g)On suppose quexetyont unppcm. Montrer quemjxy. On écrit alorsxy=md. Montrer quedest un pgcdpourxetyet que, pour touta2Arf0g,pgcd(ax;ay)existe et vautad(avoir unppcmimplique avoir unpgcd). h)Montrer que six;yetdsont tel queadsoit unpgcddeaxetaypour touta2Arf0galors on peut définir mtel quemd=xyetmest unppcmdexety. En déduire que (avoir unpgcdn"implique pas avoir un ppcm). i)Montrer que si l"idéal(x;y)est principal alors(x)\(y)l"est. j)On dit quexetysontfortement premiers entre euxsixetyont unppcmqui estxy. Montrer que deséléments qui sont fortement premiers entre eux sont premiers entre eux mais que la réciproque n"est pas
vraie. k)Montrer que sixetysont fortement premiers entre eux et sixjyzalorsxjz(le lemme d"Euclide ou de Gauss est vrai dans un anneau intègre sous l"hypothèse fortement premier entre eux).l)Montrer que dans un anneau factoriel, des éléments sont fortement premiers entre eux si et seulement si ils
sont premiers entre eux. En déduire que des éléments fortement premier entre eux ne sont pas forcément
étrangers.
m)SoitAun anneau intègre. Montrer l"équivalence des propriétés suivantes (i) L"intersection de deux idéaux principaux deAest un idéal principal. (ii) Tout couple d"éléments deAadmet unppcm. (iii) Tout couple d"éléments deAadmet unpgcd.Si les conditions précédentes sont vérifiées alors les produitsxyetpgcd(x;y)ppcm(x;y)sont associés; deux
éléments sont premiers entre eux si et seulement si ils sont fortement premiers entre eux. Tout élément
irréductible est premier.n)Montrer qu"un anneau intègre est factoriel si et seulement si tout élément irréductible est premier et il n"existe
pas de suite infinie(xi)i2Ntelle que pour touti >0on axijxi1etxin"est pas associé àxi1.o)Montrer qu"un anneau intègre est factoriel si et seulement si toute suite croissante d"idéaux principaux est
stationnaire et l"intersection de deux idéaux principaux est principal.p)Montrer qu"un élémentpest irréductible si et seulement sipgcd(a;p)existe et vaut1ouppour touta2A.
q)Montrer qu"un élément irréductiblepest premier si et seulement sippcm(a;p)existe, pour touta2A.
2.2 Les différents types d"anneaux.
Définition 7Anneau factoriel.SoitAun anneau. On dit queAestfactorielsi (i)Aestintègre;(ii)(Existence de la décomposition en irréductibles)Tout élément non nul peut s"écrire comme un produit
d"irréductible : sia6= 0il existe des éléments(q1;:::;qs)irréductibles dansAtel quea=q1qs.
(iii)(Unicité de la décomposition en irréductibles)La décomposition d"un élément non nul et non inversible en
facteurs irréductibles est unique à l"ordre près et à la multiplication par des inversibles près : siq1qm=
q01q0savec lesqietq0iirréductibles alorss=met il existe2Smet des élémentsui2Atels que
q0i=uiq(i).Définition 8Anneau principal.
Un anneauprincipalest un anneauintègretel que tout idéal est principal, i.e. de la forme(a)aveca2A.Définition 9Anneau euclidien.
Un anneauAintègre est diteuclidiens"il existe une fonction appeléestathme': Arf0g !Ntelle quepour touta;b2A(Arf0g), il existeq;r2Atel quea=bq+ravecr= 0ou'(r)< '(b).***Exercice 21Anneaux factoriels.SoitAun anneau intègre.
a)Démontrer l"équivalence des propositions suivantes (i)Aest factoriel;(ii) Tout élément non nul et non inversible possède une décomposition en produit d"irréductibles. Tout
élément irréductible est premier;
(iii) Tout élément non nul et non inversible est produit d"éléments premiers.(iv) Tout élément non nul et non inversible possède une décomposition en produit d"irréductibles. L"anneau
Avérifie le lemme de Gauss : siajbcetapremier avecbalorsajc.Dans un anneau intègre, on appellesystème de représentants des éléments premiersun ensembleSd"élé-
ments premiers deAtel que tout élément premier àAsoit associé à un élément et un seul.
b)Donner des systèmes de représentants des éléments premiers deZetk[X].c)SoitAun anneau factoriel etSun système de représentants des éléments premiers deA. Montrer que tout
élémenta2Anon nuls"écrit de manière unique sous la forme a=uaQ p2Spp(a) oùua2A,p(a)2Netp(a) = 0sauf pour un nombre fini d"élémentsp2 S. De plusp(a)ne dépend pasdu choix depet deadans leur classe pour la relation " être associé ». L"entierp(a)s"appelle lamultiplicité
depdansa.d)SoitAun anneau factoriel etSun système de représentants des éléments premiers deAetK =Frac(A).
Montrer que tout élémentx2Knon nuls"écrit de manière unique sous la forme x=uaQ p2Spp(a) oùua2A,p(a)2Zetp(a) = 0sauf pour un nombre fini d"élémentsp2 S. En déduire queKgr.' AZ(S). En déduire queF3(X)etQsont isomorphes.
e)SoitAun anneau factoriel eta;b;c2Anon nuls avecaetbpremiers entre eux. Montrer que siajcetbjc alorsabjc.f)SoitAun anneau factoriel,Sun système de représentant des éléments premiers deAeta;b2Anon nuls.
Montrer que
(i)p(ab) =p(a) +p(b); (ii)ajb() 8p2 S; p(a)6p(b); (iii)Q p2Spmin(p(a);p(b))est un pgcd deaetb; (iv)Q p2Spmax(p(a);p(b))est un ppcm deaetb. ****Exercice 22Anneaux principaux. a)Montrer que dans un anneau principal, tout idéal premiernon nulest maximal. b)Montrer que dans un anneau principal,ppcmetpgcdexistent toujours. c)Montrer qu"un anneau principal est factoriel. ****Exercice 23Anneaux euclidiens.a)Dans un anneau euclidien, écrire un algorithme d"Euclide étendu permettant le calcul d"une relation de
Bézout.
b)Montrer qu"un anneau euclidien est principal. c)Montrer quek[X]etZsont euclidiens. ***Exercice 24Quelques idéaux non principaux. a)Montrer que2etXsont premiers entre eux dansZ[X]mais que1n"est pas dans l"idéal(2;X). b)Montrer que(2;X)n"est pas un idéal principal deZ[X]. c)Montrer que(X;Y)n"est pas un idéal principal deA[X;Y]. d)Montrer que(X)est un idéal premier deK[X;Y]. Quel est le quotient? e)Parmi les idéaux(2X),(X;Y)et(2;X;Y)deZ[X;Y], lesquels sont premiers? maximaux? f)Soita2A. Montrer queA[X]=(Xa)est isomorphe àA. ***Exercice 25Corps et propriétés arithmétiques.Soitkun corps. a)Montrer quekest un anneau euclidien. Déterminer un stathme et la division euclidienne. b)Montrer quekest un anneau principal. c)Montrer quekest un anneau factoriel. Quels sont les éléments irréductibles dek?**Exercice 26Anneau factorielVSanneau principal.[P, Chapitre II Exercices 3.6 et 5.2, Corollaire 3.21]
a)SoitAun anneau principal. Montrer queAest factoriel.b)SoitAun anneau factoriel tel que tout idéal de type fini est principal. Montrer queAest principal.
c)SoitAun anneau intègre et noethérien tel que tout idéal maximal est principal. Montrer queAest principal
(on pourra d"abord montrer queAest factoriel).d)Montrer queZ[X]etk[X;Y]sont factoriels mais non principaux. Donner un exemple d"anneau factoriel non
noethérien (et donc non principal).Exercice 27Anneaux principaux et intégrité.
a)Montrer que tout idéal deZ=nZest principal et que sinn"est pas premier alorsZ=nZn"est pas principal.
b)Généraliser au cas d"un quotient d"un anneau principal quelconque. c)Montrer que tout idéal deZ2est principal mais queZ2n"est pas principal. d)Généraliser à un produit d"anneaux principaux.***Exercice 28Un anneau intègre non factoriel.[P, Chapitre II Exercice 3.4] [D, Exercice 6.20] Soit
Z[ip5] =fa+ibp5; a;b2Zg C.
a)Montrer queZ[ip5]est un sous-anneau deC. Montrer qu"il est intègre (et noethérien).b)Déterminer le groupe des éléments inversibles de l"anneauZ[ip5]. On pourra introduire l"application
N :z=a+ibp52Z[ip5]7!zz=a2+ 5b22Z.
c)Montrer quep= 2 +ip5est irréductible et que(p)n"est pas premier. En déduire queZ[ip5]n"est pas
factoriel. d)Montrer que3et2 +ip5n"ont pas deppcmet que9et3(2 +ip5)n"ont pas depgcddansZ[ip5]. Exercice 29Un autre exemple d"anneau intègre non factoriel.Soitkun corps. a)Montrer que l"ensembleA =fP2k[T];P0(0) = 0gest un sous-anneau dek[T]. b)Montrer queA =k[T2;T3]et queA =k[X;Y]=X3Y2. En déduire queAest noethérien. c)Montrer queT2etT3sont irréductibles dansA. Sont-ils premiers dansA? En déduire queAn"est pas factoriel.d)Donner deux factorisations en irréductibles deT6dansA. Retrouver le fait queAn"est pas factoriel.
e)Exhiber un idéal non principal deA.Exercice 30Éléments associés et intégrité.On considère l"anneauA =Z[X;Y;Z;T]=(XZY;YXT).
On notex;yles classes deXetYdansA. Montrer quexetysont associés mais qu"il n"existe pas d"élément
inversibleutel quexu=y(voir un autre exemple dans [P, Remarque II.3.7]). ****Exercice 31Arithmétique des anneaux de polynômes.[FGN, Exercice 3.7] SoitAun anneau commutatif unitaire. a)Montrer l"équivalence des trois propriétés suivantes (i)Aest un corps; (ii)A[X]est un anneau euclidien; (iii)A[X]est un anneau principal.b)[FGN, Exercice 3.9 Question 3] On suppose queAest un anneau euclidien qui n"est pas un corps vérifiant
pour tout(a;b)2A(Arf0g)il existe ununiquecouple(q;r)tel quea=bq+retr= 0ou(r)< (b) (unicité de la division euclidienne). Montrer qu"il existe un corpsktel queA =k[X]. ****Exercice 32Le théorème des deux carrés.[P, Chapitre II.6] SoitZ[i] =fa+ib; a;b2Zg C. a)Montrer que c"est un sous-anneau deCappelé l"anneau des entiers de Gauss. b)On définit l"application norme N: (Z[i]!N z7!zz : Montrer queNest une fonction multiplicative puis déterminer les inversibles de l"anneauZ[i]. c)Montrer queZ[i]est euclidien.d)Montrer simetnsont tous deux sommes de deux carrés d"entiers, alorsmnest somme de deux carrés
également.
e)Soitpun entier premier. Montrer quepest une somme de deux carrés si et seulement sipn"est pas irréductible
dansZ[i]. f)À SAVOIR FAIRE ABSOLUMENT.Soitpun entier premier. Montrer que les anneauxZ[i]=(p)et Fp[X]=(X2+ 1)sont isomorphes. En déduire quepest irréductible dans dansZ[i]si et seulement si1n"est
pas un carré dansZ=pZ.g)Soitpun entier premier. Déduire de ce qui précède et de l"exercice 44 questionf)quepest une somme de
deux carrés si et seulement sip= 1ou2 [4]. h)Démontrer le théorème des deux carrés : soitnun entier naturel et n=Q ppvp(n)sa décomposition en facteurs premiers. Alorsnest somme de deux carrés d"entiers si et seulement sivp(n)
est pair pour tout entier premierptel quep= 3 [4].i)Montrer que les éléments irréductibles deZ[i]sont, aux éléments inversibles près, les entiers premiersp2N
congrus à3modulo4, et les entiers de Gaussa+ibdont la normea2+b2est un nombre premier.Exercice 33L"anneauZ[pn]Z[pn]Z[pn].Soitn2Zun entier qui n"est pas un carré. On notex2Cune racine du
polynômeX2n. a)Montrer queQ[x] :=fa+bx;a;b2Qgest un sous-corps deCde dimension2surQet isomorphe àQ[X]=X2nvia le morphisme d"évaluation enx. En déduire que l"écrire sous la formea+bxdétermineaetb.
b)On définit l"application :(Q[x]!Q[x] a+bx7!abx: Montrer que l"applicationest un automorphisme deQ-algèbre. Calculer son inverse. c)On désigne parZ[x] :=fa+bx;a;b2Zg. Montrer queZ[x]est un sous-anneau deQ[x]et queinduit par restriction un isomorphisme deZ[x]. d)Pourz=a+bx2Q[x], on poseN(z) =z(z) =a2b2n. Montrer queN(zz0) = N(z)N(z0)pour tous z;z02Q[x].
e)Montrer queN(z) = 0si et seulement siz= 0. f)Montrer que siz2Z[x]alorsN(z)2Z. g)Montrer que siz2Z[x]alorszest inversible dansZ[x]si et seulement siN(z)2 f1;1g. h)Montrer qu"il existe une décomposition en irréductible dansZ[x].i)Dans le cas oùn=5, montrer queZ[x]n"est pas factoriel : on pourra considérer6 = 23 = (1x)(1+x).
Déterminer les inversibles deZ[x]. Trouver un idéal non principal deZ[x]. (voir aussi l"exercice 28).
j)Dans le cas oùn=1, montrer que l"anneauZ[i]des entiers de Gauss est euclidien pour la fonctionN(pour
effectuer la division euclidienne deaparbdansZ[i], on pourra considérer le quotientab1dansQ[i]et choisir
l"élément deZ[i]le plus proche : on fera un dessin). Déterminer les inversibles deZ[i]. (voir aussi l"exercice
32).quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34