IMN428

Changement de repère I Changement de repère par translation 1°) Propriétés Le plan est muni d’un repère O, ,i j R On considère le repère ' O', , i j R où O' est le point de coordonnées x y 0 0; dans le repère R Le nouveau repère a une nouvelle origine mais les mêmes vecteurs de base que R

Chapitre III : Cinématique - Changement de repère

Chapitre III : Cinématique - Changement de repère Composition du mouvement ère III 1 Introduction III 2 Mouvement relatif de deux repères R et R’ III 2 1 Position du problème III 2 2 Vecteur-vitesse instantané de rotation III 3 Loi de composition des vecteurs-vitesses III 4 Loi de composition des vecteurs-accélérations III 5 A retenir

EXERCICE CHANGEMENT DE REPERE

CHANGEMENT DE REPERE 1 / 2 Enseignement transversal EX CHANGEMT DE REPERE 2012 docx EXERCICE CHANGEMENT DE REPERE Soit une base R(x , y , z ) orthonormée direct avec x y z cm= = =1 Soit une base R1(x1 , y 1 , z 1 ) orthonormée direct avec x y z cm 1 1 11= = = On donne : • z et z 1 colinéaires • L’angle entre x et x 1 est

Cours de mécanique du point - LPSC

7 4 changement de repère 113 p 1 s ¶ 2 s¶ 1 viii changement de repere : conclusion et resume 169 absolu f xii xii reperes non inertiels (non galileens) 171

IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques

7 Changement de repère 8 Références Transformations géométriques 28 / 104 Transformations afﬁnes 2D Toute composition de rotations, translations, changement

Modélisation 3D et Synthèse - Formations en Informatique de

1 Obtenir PEye à partir de PLocal: pour cela on indiquera comment est placé le repère Local par rapport au repère Eye avec une matrice de changement de repères appelée modelview (cf la suite du cours) 2 Puis obtenir PClipCoordinates à partir de PEye avec la matrice de projection (comme précédemment) gl_Position = projection modelview

Les transformations géométriques du plan

3 1 Changement de repère Une façon équivalente de transformer consiste à effectuer des changements de systèmes de coordonnées Utile lorsque : ☞ les objets manipulés sont déﬁnis dans des repères locaux; ☞ la modélisation des caméras (xa,ya) 1 2 1 3 4 T(xa;ya) R( ) T( xb; yb) Matrice de passage du repère 1au repère 4 : 4 1M

Transformations géométriques : rotation et translation

•Soit le repère B pivoté de q=45o par rapport à A •Soit un point P défini dans ce repère B: BP =(9,16) •Pour trouver AP, il suffit d’appliquer l’oprateur de rotation : x A y A réf A q AA B P R P B-4 9 17,7 cos(45 ) sin(45 ) sin(45 ) cos(45 4 9) 1 17 7 9 6 oo oo AP x A y A réf A équivalent à faire tourner le vecteur BP q

Cours de Géométrie - alkendyx10mx

1 1 Repère Changement de repère 1 1 1 Bases et repères Dé nition 1 1 1 On appelle aseb du plan tout ouplec (~i,~j) de vecteurs du plan linéaire-ment indépendants On appelle aseb de l'espace tout triplet (~i,~j,~k) de vecteurs de l'espace linéairement indépendants Dé nition 1 1 2 On appelle eprère du plan a ne E

Chapitre 5: Changements de référentiels

Chapitre 5: Changements de référentiels Introduction 1 La notion de vitesse est une notion relative au référentiel considéré Afin de comprendre le mouvement, il faut utiliser le principe fondamental de la dynamique qui ne s’applique que dans un référentiel galiléen

Chapitre 2 - Transformations géométriques

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

22 janvier 2014

Transformations géométriques1 / 104

Plan de la présentation

1Vecteurs et matrices

2Systèmes de coordonnées

3Transformations affines 2D

4Transformations affines 3D

5Gestion des matrices dans OpenGL

6Transformation fenêtre clôture

7Changement de repère

8Références

Transformations géométriques2 / 104

Vecteurs et matrices

1Vecteurs et matrices

2Systèmes de coordonnées

3Transformations affines 2D

4Transformations affines 3D

5Gestion des matrices dans OpenGL

6Transformation fenêtre clôture

7Changement de repère

8Références

Transformations géométriques3 / 104

Propriétés des vecteurs

Les vecteurs sont utiles pour représenter despositions(points, objets, caméra), desorientations(directions, normales), des mouvements(translation), desinformations sur les surfaces (couleur, propriétés lumineuses) etc. Dans le cours d"infographie, on rencontrera des vecteurs à2, 3 et 4 dimensions:(x;y),(a;b;c),(;; ;).Transformations géométriques4 / 104

Propriétés des vecteurs

Soient deux scalaires,aetbet 3 vecteurs,P,QetR. On a les propriétés suivantes : (a)P+Q=Q+P (b)(P+Q) +R=P+ (Q+R) (c)(ab)P=a(bP) (d)a(P+Q) =aP+aQ (e)(a+b)P=aP+bPTransformations géométriques5 / 104

Propriétés des vecteurs

Les vecteurs s"additionnent et se soustraientcomposante à composante, c"est-à-dire que si

P= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);

alors P+Q= (P1+Q1;P2+Q2;:::;Pn+Qn):Transformations géométriques6 / 104

Propriétés des vecteurs

On évalue l"amplitude(ou lanorme) d"un vecteurVde dimensionn avec la formule jVj=v uutn X i=1V 2i: Par exemple, dans le cas d"un vecteur de dimension 3(Vx;Vy;Vz), on aura jVj=qV

2x+V2y+V2z:

Un vecteur ayant une norme de 1 sera ditvecteur unitaire.Transformations géométriques7 / 104

Propriétés des vecteurs

Soit un scalaireaet deux vecteursPetQ. On a les propriétés suivantes : (a)jPj 0 (b)jPj=0 si et seulement siP= (0;0;:::;0) (c)jaPj=jajjPj (d)jP+Qj jPj+jQj

Cette dernière propriété porte le nom d"inégalité du triangle.Transformations géométriques8 / 104

Propriétés des vecteurs

Un vecteurVnon nul (au moins une des composantes doit être différente de 0) peut être ramené à un vecteur unitaire en le multipliant par

1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.

Attention à ne pas confondre la normalisation avec le concept de vecteur normal. Un vecteur normal est un vecteur perpendiculaire à une surface en un point donné.

Transformations géométriques9 / 104

Produit scalaire

Leproduit scalairesert à mesurer ladifférence entre deux directionsdonnées par des vecteurs. On évalue le produit scalaire de deux vecteurs de taillen,PetQ, à l"aide de la formule PQ=nX i=1P iQi Cette formule peut aussi être exprimée sous la forme d"unproduit matriciel:

PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2

6 664Q
1 Q 2... Q n3 7

775:Transformations géométriques10 / 104

Produit scalaire

SoientPetQ, deux vecteurs de

taillen. Le produit scalairePQ peut aussi être évalué avec la formule

PQ=jPjjQjcos;

oùest l"angle planaire entre les vecteursPetQ.niPQoPrthgalzP n P Q P n Q n n niPQorthghgniPQnortnhgroaltnzengQ vtQontrntPQnvc1 Qn2Qt3QQcnt3rn4Qltrgen25ntPQnQ6avtzrcn lre.n=alal 7n aozzegt8Qtn.n2QntPQnvc1 Qn2Qt3QQcntPQn4Qltrgenanvconl9nvenePr3cnzcn:z1agQn;7;7n <5ntPQn v3nr=nlrezcQen>eQQn?hhQcoz@n<9nAQltzrcn<7BC9n3QnDcr3n n ;lre.i=lialal al7n>;7EFCn iPzenQ@hvcoentrn nhg EEE ;lre nnn iii i iii

PQPQ .

i=li al7n>;7EGCn ? ntPQn i

Pnvcon

QntQgHenlvclQ 9nvcon3QnvgQn Q=tn3ztPn

n E ;;lre n ii i PQ. i=i al7n>;7EICn Jz4zozc1n2rtPnezoQen25n;in1z4QenaentPQnoQezgQongQea t7nquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44

[PDF] IMN428 - Chapitre 2 - Transformations géométriques

IMN428

Chapitre 2 - Transformations géométriques

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

22 janvier 2014

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Plan de la présentation

1Vecteurs et matrices

2Systèmes de coordonnées

3Transformations affines 2D

4Transformations affines 3D

5Gestion des matrices dans OpenGL

6Transformation fenêtre clôture

7Changement de repère

8Références

Transformations géométriques2 / 104

Vecteurs et matrices

1Vecteurs et matrices

2Systèmes de coordonnées

3Transformations affines 2D

4Transformations affines 3D

5Gestion des matrices dans OpenGL

6Transformation fenêtre clôture

7Changement de repère

8Références

Transformations géométriques3 / 104

Propriétés des vecteurs

Propriétés des vecteurs

Propriétés des vecteurs

P= (P1;P2;:::;Pn)etQ= (Q1;Q2;:::;Qn);

Propriétés des vecteurs

2x+V2y+V2z:

Propriétés des vecteurs

Propriétés des vecteurs

1jVj. Cette opération s"appelle lanormalisation.

Transformations géométriques9 / 104

Produit scalaire

PQ=PTQ=P1;P2;:::;Pn2

775:Transformations géométriques10 / 104

Produit scalaire

SoientPetQ, deux vecteurs de

PQ=jPjjQjcos;

PQPQ .

Pnvcon

QntQgHenlvclQ 9nvcon3QnvgQn Q=tn3ztPn