Correction feuille 2 - mathuniv-paris13fr

TD6 : Extensions de corps; corps finis Diego Izquierdo Nous avons traité les exercices 3, 7, 9, 11, 13, 25 et 15 endantp la séance oirV le corrigé du partiel

Devoir à la maison n 2 Un corrigé - Page de Cécile Armana

Un corrigé Exercice 1 Soit F 3 le corps ﬁni à 3 éléments et α une racine septième de l’unité (dans un corps de rupture du polynôme X7 − 1 ∈ F 3[X], il existe - au moins - une racine septième de l’unité) On pose K = F 3(α) 1) L’élément α ∈ K est algébrique sur F 3 car il vériﬁe α7 = 1 Donc le corps F 3(α

Pierre Marie Curie Feuille d’exercices no 5

UniversitéPierre etMarie Curie Licence2-Mathématiques Coursd’arithmétique Année2009-2010 Feuille d’exercices no 5 Corpsﬁnisetchiﬀrements Corps finis

Exercices de th eorie des corps nis - LAGA

X4 + 1 a une racine dans le corps F p2 2)Soit nun entier ne s’ ecrivant pas sous la forme p ou 2p avec ppremier impair On sait que le n-i eme polyn^ome cyclotomique n est irr eductible sur Z Montrer en utilisant la question (ii) de l’exercice sur la th eorie de Galois des corps nis, que n est r eductible modulo tout nombre premier

Corpsderuptureetcorpsdedécomposition:correction

Des corps de rutpure de ses facteurs respectifs sont Qet Q(i), de degré 1 et 2 respectivement Q(i)est un corps de décomposition 6 X4 +2 est irréductible sur Q (Eisenstein, p=2) Ses racines complexes sont 21=4, 21=4 1, 21=4 3 et 21=4 3 Un corps de rupture est par exemple Q(21=4)de degré 4 Un sous-corps de C corps de décomposition de

Groupes, anneaux, corps - Claude Bernard University Lyon 1

Groupes, anneaux, corps Pascal Lainé 3 Exercice 12 1 Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique), et exprimer ces solution en fonction de 2 Montrer que { } muni de la multiplication est un sous-groupe de ( ) 3

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irr¶eductible de sorte que F2[X]=(X2 + X + 1) est un corps, une extension de degr¶e 2 de F2 et donc isomorphe µa F4 qui par convention est le corps de cardinal 4 contenu dans une cl^oture alg¶ebrique „F2 de F2 ﬂx¶ee une fois pour toute Comme F£ 4 ’ Z=3Z, tout ¶el¶ement autre que 0;1 est un g¶en¶erateur de F£ 4, soit X et X +1

Corrigé de la che de TD 4 - Claude Bernard University Lyon 1

Corrigé de la che de TD 4 Exercice 1 Montrer que la décomposition en facteurs irréductibles de Xpn Xdans F p[X] est donnée par : Xpn X= Y P2Irr p(m) mjn P où Irr p(m) désigne l'ensemble des polynômes unitaires , irréductibles de degré mdans F p[X] Corrigé Soit P2Irr p(m) avec mqui divise n; K= F p[X]=hPiest un corps ni dans lequel

Exercices corrig´es de Algebra Hungerford, Thomas W

Th´eorie de Galois Exercices corrig´es de Algebra1, Hungerford, Thomas W Adem Oztur¨ k et Fabien Trihan¨ 2 avril 2004 1Reprint of the 1974 original Graduate Texts in Mathematics, 73

Corps 1 Extensiondecorps

Corps Danstoutecettefeuilled’exercicesàl’exceptiondel’exercice9,lescorpssontcommutatifs 1 Extensiondecorps Déﬁnition 1 Extension de corps Soit kun corps

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du forum (http://cours-jussieu-nombres.monforum.com/cours-et-td-2007-vf6.html) les exercices que nous aurons

Corps ¯nis

Exercice 1.

question : (i) F

4'F2[X]=(X2+X+ 1);

(ii) F

8'F2[X]=(X3+X+ 1);

(iii) F

16'F2[X]=(X4+X+ 1); donner dans cet isomorphisme l'image de

F F

2[X;Y]=(Y2+Y+ 1;X2+X+Y).

(iv) F

9'F3[X]=(X2+X¡1).

X F F sur F

2de sorte queF2[X]=(X3+X+ 1) est un corps de cardinal 8 et donc isomorphe µa

8. CommeF£8'Z=7Z

X. il nous faut montrer que X

4+X+ 1 n'a pas de racines dansF4. Soit doncx2F4n'appartenant pas µa

2; on a

alorsx3= 1 de sorte quex4+x+1 =x+x+1 = 16= 0. AinsiX4+X+1 n'a pas de racines dans les extensions F

2[X]=(X4+X+1) est un corps de cardinal 16

qui est donc isomorphe µaF16.

3 ou 5.

Or dans la base 1;X;X2;X3,X3¡16= 0 etX5¡1 =X2+X+ 16= 0. X 5= X

2+X=:Â, on a alorsÂ2=X4+X2etÂ2+Â+1 = 0 etÂ3= 1 de sorte que le sous ensemble

f0;Â;Â2;Â3gde F

16correspond au sous-corpsF4. En outreX2+ÂX+1 n'a pas de racines dans

F de sorte queF16'F2[X;Y]=(Y2+Y+ 1;X2+Y X+ 1).

En outre

F X

Exercice 2.

P(x) = 0;

Pour toutndivisantn0on ¯xe une injectionFpn½Fpn0. Montrez alors que Fp:=S n>1Fpn!est une cloture

Preuve :Evidemment

S N n=1Fpn!=FpN!de sorte quek=S1 donc un corps; en e®et pour x;y2k, il existentels quex;y2Fpn!et F alors µa voir que les coe±cients de

Pet soitLun corps de rupture dePdans¹Fpsur

F pm;Lest alors une extension ¯nie deFpmet F F pnlecorps de 1 X

4¡X=

X 3+X+1 X

4+X+ 1,

X F

4qui n'est pas

2. dans F

2et donc dansF4.

4 µa coe±cient dansF2, car les coe±cients sont invariants par le groupe de Galois,

X;X¡1;X¡j;X¡j2

X X

4+X+1 = (X2+X+j)(X2+

X+j2),X4+X3+1 = (X2+jX+j)(X2+j2X+j2) et

4+X3+X2+X+1 = (X2+jX+1)(X2+j2X+1).

Exercice 4.

(a) Montrer que sidjnalors siP2A(d;q)on aPqui diviseXqn¡X. (b) Montrer que siP2A(d;n)diviseXqn¡Xalorsddivisen. (c) X djndI(d;q) =qn; puis en appliquant la formule d'inversion de Moebius

I(n;q) =1

n X djn¹(n d )qd: (d)

Preuve :(a) Soit

ddivisantnetP2A(d;q). Soit alorsK=Fq[x] un corps de rupture dePsurFq; on a X fois pour toute. CommeFqdest l'ensemble des racines de X qd¡X, on axqd=xet commeddivisenalorsxest racine de X

P(X) de sorte quePdiviseXqn¡X.

Pqui est aussi une

racine deXqn¡Xet doncx2FqnetK=Fq[x] est un sous-corps de F n= [Fqn:Fq] = [Fqn:K][K:Fq] soit doncddivisen. djnQ

P2A(d;q)Psoit

q n=P djndI(d;q). La formule d'inversion de MÄoebius donne alorsI(n;q) =1 n P djn¹(n d )qd. oµu

¹est la fonction de MÄoebius.

2 (d) On posenI(n;q) =qn+®navecj®nj ·P[n=2] n . En outre on a facilementrn< qnet donc

I(n;q)>0 et doncI(n;q)¸1 de sorte qu'il

F q.

Exercice 5.(1)

X (2) F 5[X] (P(X)) est isomorphe au corps F

25et que

Pa deux racines dansF25.

(3) a®+bavecaetb dansF5. (4) F

Preuve :

0 1 2¡2¡1

x 2

0 1¡1¡1 1

P Xquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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