Polynômes irréductibles et corps finis - uni-stuttgartde
nômes irréductibles sur un corps Z= n:=Z=nZ où n 2 est premier, dans l’objectif de construire le corps fini de cardinal nd pour d donné Les programmes sont à rédiger en C/C++, ou Java, ou tout autre langage avec accord préalable Les exemples explicités ci-dessus sont écrits en C++ Leur traduction en
Corps finis - Accueil
5– Existence de corps finis Proposition 8 Soit K un corps fini Soit a un ´el´ement primitif de K L’ensemble des polynomes qui ont a comme racine est un id´eal premier de F p[x] D´emonstration Soit f et g deux polynˆomes a coefficients dans K 0 = fg(a) ⇒ f(a) = 0 ou g(a) = 0
Corps finis - GitHub Pages
Corollaire 7 Sous-corps d’un corps fini Soit Fpm un corps à pm éléments Si K est un sous-corps de Fpm, alors K a pd éléments où d divise m Réciproquement, pour tout diviseur d de m, il existe un unique sous-corps de Fpm à pd éléments De plus, ce sous-corps est l’ensemble des racines de P = Xp d −X Preuve
Chapitre III - Corps nis
Chapitre III - Corps nis Nous admettrons que tout corps ni est commutatif Ce r esultat a et e etabli en 1905 par Wedderburn Les premiers exemples de corps nis sont les quotients de l’anneau Z F p= Z=pZ; ou pest un nombre premier D’autres exemples sont fournis par les quotients F p[X]=(F); ou F est un polyn^ome irr eductible de F p[X]
Corpsfinis - Futura
Dans la suite on ne considérera que des champs particuliers : les corps fi-nis4(bien qu’un certain nombre de résultats s’établissent à l’identique pour des champsinfinis) Un corps fini Fq est un champ qui ne contient qu’un nombre fini q d’éléments Un exemple de corps fini est l’ensemble5 F2 = {0,1}, avec la règle 1+1 = 0
TD6 : Extensions de corps; corps finis
TD6 : Extensions de corps; corps finis Diego Izquierdo Les exercices 3, 7, 9 et 11 sont à préarper avant le TD Pendant la séance de TD, les exercices seront traités dans l'ordre suivant : 3, 7, 9, 11, 13, 25 Exercice 1 : Partiel 2012 Soit Kun corps Soit Lune extension algébrique de Kcontenue dans K(X) Montrer que L= K
Arithmétique - Dunod
11 1 Caractéristique d’un corps 173 11 2 Sous-corps 174 11 3 Quotient d’un anneau de polynômes 177 11 4 Extension de corps 181 Exercices 185 Solutions 187 Chapitre 12 • Corps finis 12 1 Structure des corps finis 195 12 2 L’automorphisme de Frobenius 199 12 3 Sous-corps 200 12 4 Polynômes irréductibles et corps finis 202
François Liret Arithmétique - dunodcom
11 1 Caractéristique d’un corps 173 11 2 Sous-corps 174 11 3 Quotient d’un anneau de polynômes 177 11 4 Extension de corps 181 Exercices 185 Solutions 187 Chapitre 12• Corps finis 12 1 Structure des corps finis 195 12 2 L’automorphisme de Frobenius 199 12 3 Sous-corps 200 12 4 Polynômes irréductibles et corps finis 202
Université Clermont Auvergne
Created Date: 11/29/2010 2:38:13 PM
ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012–2013
Si un anneau Aest intègre, on définit son corps des quotients (ou corps des fractions) K A comme l’ensemble des « fractions » a b, avec a2Aet b2A f0g, modulo la relation d’équivalence a b ˘ a0 b0 ()ab0= a0b: Muni des opérations (addition et multiplication) habituelles sur les fractions, on vérifie que K Aest bien un corps
[PDF] morphisme de frobenius
[PDF] caractéristique d'un dipole actif
[PDF] dipole actif generateur
[PDF] dipole passif
[PDF] exercice dipole actif
[PDF] dipole actif exemple
[PDF] dipole actif pdf
[PDF] caractéristiques de quelques dipoles passifs exercices corrigés
[PDF] caractéristique de quelques dipoles passifs tronc commun
[PDF] source de courant source de tension
[PDF] source idéale de tension continue
[PDF] source de courant exemple
[PDF] source de courant idéale definition
[PDF] source de courant réelle
Corps finis
Olivier RIOUL
ENST/COMELEC
Version 2.0 (1996-2006)
Cadre privé} sans modifications
Par le téléchargement ou la consultation de ce document, l"utilisateur accepte la licence d"utilisation qui y est
attachée, telle que détaillée dans les dispositions suivantes, et s"engage à la respecter intégralement.
La licence confère à l"utilisateur un droit d"usage sur le document consulté ou téléchargé, totalement ou en partie, dans
les conditions définies ci-après, et à l"exclusion de toute utilisation commerciale.Le droit d"usage défini par la licence est limité à un usage dans un cadre exclusivement privé. Ce droit comprend :
- le droit de reproduire le document pour stockage aux fins de représentation sur un terminal informatique unique,
- le droit de reproduire le document en un exemplaire, pour copie de sauvegarde ou impression papier.
Aucune modification du document dans son contenu, sa forme ou sa présentation, ni aucune redistribution en tout ou
partie, sous quelque forme et support que ce soit et notamment par mise en réseau, ne sont autorisées.
Les mentions relatives à la source du document et/ou à son auteur doivent être conservées dans leur intégralité.
Le droit d"usage défini par la licence est personnel, non exclusif et non transmissible. Tout autre usage que ceux pré-
vus par la licence est soumis à autorisation préalable et expresse de l"auteur :sitepedago@enst.fr
Avant-Propos
Ce fascicule décrit les principales propriétés des corps finis, avec toutes les preuves mathématiques. Ce sujet déroute souvent parce que très abstrait : j"es- père que cette petite présentation clarifira les esprits. Comprendre ces propriétés est essentiel pour l"étude des codes linéaires et cycliques, et ce document a été conçu comme annexe de cours sur le codage correcteur. Il est cependant loin d"être exhaustif; les sujets suivants ne sont pas abordés : - Sous-corps d"un corps fini : Tout ce qui est ici dans la cadre "Fq=Fpm extension deFp» peut être refait à l"identique dans le cadre plus général "Fqmextension deFq». - Ordre d"un élément quelconque, polynômes cyclotomiques. donné. - Propriétés d"espaces vectoriels des champs, bases. Norme, trace, bases duales. - Algorithme de Berlekamp de factorisation polynômiale, utilisant le théo- rème des restes chinois, l"algorithme d"Euclide pour le calcul du pgcd, et la résolution de systèmes linéaires. transformations de Rader, de Good-Thomas, de Cooley-Tukey, etc. Le lecteur intéressé pourra avec profit se référer aux références de la bibliogra- phie donnée en fin de document pour ces sujets plus avancés.Paris, septembre 2006
iii ivTable des matières
1 Domaines et champs 1
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Un peu d"artihmétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Construire un champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Propriétés des Corps Finis 7
2.1 Entiers et Caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.4 Description primitive deFq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Adjoindre un élément : Polynôme minimal . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.6 Description primitive deFq(suite) et unicité . . . . . . . . . . . . . . 14
3 Construction des Corps Finis 17
3.1 Il existe un corps fini àqéléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Construction pratique deFq. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Tables des corps finisF2m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.4 Eléments conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Transformée de Fourier 27
4.1 Séquences et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Séquences et convolution cycliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.3 Transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5 TFD et Convolution cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.6 Décimation cyclique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.7 Contraintes de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.8 Accords de conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
v viTABLE DES MATIÈRESChapitre 1
Domaines et champs
Le titre de ce chapitre pourrait s"intituler aussi " Anneaux et Corps ». Je rap- pelle ici quelques propriétés de base des structures algébriques indispensables à l"étude des corps finis. La présentation axiomatique des anneaux et des corps a été développé par l"école mathématique allemande à la fin du XIX esiècle et au début du XX du grand théorème de Fermat. Il a été traduit parField(Champ) en anglais. Le terme " Anneau » (Ring) a été inventé par Hilbert un peu plus tard1, au départ pour des entiers (Zahlring). On utilise aussi le mot " domaine » pour un anneau intègre.1.1 Définitions
En bref, undomaine2est un endroit où l"on peutadditionner, soustraire et multipliercomme on a l"habitude de le faire pour les entiers. Cela signifie qu"on avec un certain nombre de propriétés : - Ces opérations sont commutatives (a+b=b+a,ab=ba) et associatives ((a+b)+c=a+(b+c), (ab)c=a(bc)), de sorte que l"on peut manipuler des sommes? iaiet des produits? iaifinis sans tenir compte de l"ordre des termes. - Ajouter 0 ou multiplier par 1 ne change rien. Multiplier par 0 donne 0.1 Je me suis longtemps demandé (peut-être est-ce aussi votre cas) quel est le rapport avec l"anneauqu"on se passe au doigt. Une explication possible est que cela n"a aucun rapport : ce serait une (mauvaise) traduction deRing, qui, en anglais, signifie aussi uncercle(au sens d"uncercle d"amis). En effet, les noms de structures mathématiques font souvent penser à des regrou-
pements de personnes : groupe (groupe de jeunes, groupe professionnel), corps (corps de l"Etat, corps d"Armée).