Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + [ par f
1 La Réunion juin 2010 Soit f la fonction définie sur l’intervalle ] – 1 ; + ∞ [ par f (x) = 1 + ln (1 + x) On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ; ,i j) On note D la droite d’équation y = x Partie A 1 a Étudier le sens de variation de la fonction f b
Nom :FONCTIONS2nde - TuxFamily
Nom :FONCTIONS2nde Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur l’intervalle [ 22 ; 5] par : f(x) = (x 1) 1) Donner un tableau de valeurs de f 2) Tracer la courbe repr´esentative de f
Chapitre 9 : Fonctions dérivées
Soit f la fonction définie sur ℝ+ dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)=√x Soit a un réel strictement positif et Ta la tangente à Cf au point d’abscisse a 1) Déterminer l’équation réduite de Ta 2) Démontrer que Ta coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (−a;0)
exercice Etudes des fonctions
Soit f la fonction définie sur R * par : x2 3x 2 f( x) x 2 − = ++ et C f sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O ;i, j) (unité 1 cm) 1°) Démontrer que la courbe C f admet deux asymptotes que l’on précisera Préciser la position de C f par rapport à la droite ∆ d’équation y = x + 2 Séries d’exercices 4ème
Correction du devoir surveill´e n˚3 - dblottiereorg
Exercice 1 : Soit f la fonction d´efinie par : f: x →xx 1 D´eterminer le domaine de d´efinition D f de la fonction f 2 Justifier que la fonction f est d´erivable sur D f Qu’en d´eduire quant a sa continuit´e? 3 Etudier les variations de´ f 4 En d´eduire que f admet un minimum, atteint en un unique point que l’on pr
Fonction exponentielle - WordPresscom
Soit f la fonction définie sur ℝ par f (x)=(x2−3)ex 1 Étudier les variations de f 2 Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d’abscisse 0 3 Mêmes questions avec g(x)=(2x+3)e−2x+4 Exercice 11 : f est la fonction définie sur l’intervalle [0;1] par f (x)=3−2e−5 x 1
Séries de Fourier - Exo7
1 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et impaire telle que 8x 2 0;p 2, f(x) = sin x 2 Déter-miner f(x) pour tout réel x 2 Soit f la fonction définie sur R, 2p-périodique et paire telle que 8x2 0;p 2, f(x)=sin x 2 Déterminer f(x) pour tout réel x Correction H [005781] Exercice 2
1 Nombre dérivé et tangente à une courbe
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, a et a +h sont deux nombres réels de I avec h 6=0 1 1 Taux de variation Définition 1 Le taux de variation de la fonction f entre a et a+h (avec h 6=0 ) est le rapport f(a+h)−f(a) h Exemple 1 Soit f la fonction x → x2 Calculer le taux de variation de f entre 2et 2+h 1 2
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1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 1 / 12
Chapitre 9 : Fonctions dérivées
Les différentes compétences visées dans ce chapitre sont : Connaître les dérivées des fonctions usuelles Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, k un réel non nul. Connaissant la dérivée de u, déterminer celle de k×u ou de u k Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u+v et de u-v Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u×v Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, v ne s'annulant pas sur I. Connaissant les dérivées de u et v, déterminer celle de u vSoit f une fonction et a et b deux réels.
Connaissant la dérivée de f, déterminer celle de f(ax+b).Exercice 1 : encore le feu d'artifice
La hauteur dans le ciel, en mètre (m), d'une fusée de feu d'artifice depuis son lancement est donnée par : f(t)=-0,6t2+21t ; où t représente le temps écoulé, en seconde (s).1) On rappelle que la vitesse (en m/s) de la fusée à un instant t est donnée par le
nombre dérivé f'(t). a) On s'intéresse au taux de variation de la fonction f entre t et t+h (h étant un réel différent de 0) c'est-à-dire à f(t+h)-f(t) h.Démontrer l'égalité : f(t+h)-f(t)
h=-1,2t-0,6h+21. b) En déduire l'égalité : f'(t)=-1,2t+21. 2)a) Déterminer à quel moment l'explosion doit se produire pour que la fusée soit à sa hauteur maximale dans le ciel ?
b) Quelle est alors la vitesse de la fusée ?3) On effectue un réglage pour que la fusée explose 6 secondes après son lancement.
a) A quelle hauteur se trouvera alors la fusée ? b) Quelle sera la vitesse de la fusée au moment de son explosion ?4) Supposons que la fusée n'explose pas. Au bout de combien de temps retombera-t-elle au sol ?
Définition : soit f une fonction. Si, pour tout réel x d'un intervalle I, f' x existe, alors on dit que f est dérivable sur I. On peut ainsi définir une nouvelle fonction nommée f' qui à tout réel x de I associe son nombre dérivé f'x.La fonction
f' s'appelle la fonction dérivée de f, ou par abus de langage, la dérivée de f.Objectif n°1 : fonction dérivée
1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 2 / 12
Exercice 2
Considérons la fonction f définie par : f(x)=x3-x2-x+8. On admet qu'après calculs, on a obtenu sa dérivée f', définie pour tout réel x par : f'(x)=3x2-2x-1.1) Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :
x0-12 f (x)f'(x)2) Déterminer l'équation réduite de la tangente au point d'abscisse
-1. E xercice 3 : dérivées des fonctions usuelles Le but de cet exercice n'est pas de traiter toutes les questions mais d'en traiter le maximum1) Soit f la fonction affine définie sur par
ℝ : f(x)=5x-3. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : f(x+h)-f(x) h=5.b) En déduire que pour tout réel x, on a : f'(x)=5 (cela signifie que la dérivée de f est constante).
2) Soit g la fonction définie sur par
ℝ : g(x)=x2. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : g(x+h)-g(x) h=2x+h. b) En déduire que pour tout réel x, on a : g'(x)=2x.3) Soit k la fonction définie sur par
ℝ : k(x)=x3. a) Soit x un réel quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : (x+h)3=x3+3x2h+3xh2+h3.En déduire l'égalité : k(x+h)-k(x)
h=3x2+3xh+h2. b) En déduire l'expression de k'(x) pour tout réel x.4) Soit p la fonction définie sur
ℝ* par : p(x)=1 x.a) Soit x un réel non nul quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : p(x+h)-p(x)
h=-1 x(x+h). b) En déduire l'expression de p'(x) pour tout réel non nul x.5) Soit q la fonction définie sur
a) Soit x un réel positif quelconque. Démontrer que pour tout réel h non nul, on a : q(x+h)-q(x)
h=1 b) En déduire l'expression de q'(x) pour tout réel strictement positif x.1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 3 / 12
L'exercice précédent démontre en partie la propriété ci-dessous. Propriété : le tableau ci-dessous donne la dérivée des fonctions usuelles. FonctionDéfinie surDérivable surFonction dérivée Fonction constante : x k (k ∈ ℝ)ℝℝx 0Fonction affine : x axbℝℝx a
Fonction carré : x
x2ℝℝx 2xFonction cube : x x3ℝℝx 3x2Fonction puissance : x
xn (n ∈ ℕ*)ℝℝx nxn-1Fonction racine carrée : x
xℝ+ℝ+∗x 12x
Fonction inverse : x 1
xℝ*ℝ*x -1 x2 Remarque : la fonction racine carrée est définie sur ℝ+ mais dérivable sur ℝ+ ∗. Cela signifie que la fonction racine carrée est définie en 0 mais pas dérivable en 0.Graphiquement, cela se confirme par le fait que
la tangente au point d'abscisse 0 est verticale et que son coefficient directeur est donc infini.Exercice 4
Dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)=x2 ; ainsi que la droite (d) d'équation y=6x. Le but de cet exercice est de déterminer en quel point de la courbe Cf la tangente est parallèle à la droite (d).1) Compléter : pour tout point M d'abscisse x situé sur Cf , le
coefficient directeur de la tangente est égal à ...... Pour que la tangente soit parallèle à la droite (d), il faut que son coefficient directeur soit égal à .... On cherche donc pour quelle valeur de x on a : ......xRésoudre l'équation et conclure.
2) Déterminer l'équation réduite de la tangente à Cf parallèle à
la droite (d). Nous la nommerons T dans la suite.3) Tracer la tangente T dans le repère ci-contre pour
vérification.1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 4 / 12
Exercice 5 (uniquement pour les plus rapides
et ambitieux, sur autorisation du professeur) Soit f la fonction définie sur ℝ+ dans le repère ci-contre, on a tracé la courbe Cf de la fonction f définie par : f(x)= Soit a un réel strictement positif et Ta la tangente à Cf au point d'abscisse a.1) Déterminer l'équation réduite de Ta.
2) Démontrer que Ta coupe l'axe des abscisses au point de
coordonnées (-a;0).3) En déduire ci-contre la construction de la tangente à Cf au
point d'abscisse 5. Exercice 6 : du langage courant à une expression algébrique Considérons les trois fonctions définies ci-dessous. Compléter le tableau ci-dessous en prenant exemple sur la première ligne. f est le produit de u par wf=u×wf(x)=(3x-2) f est le produit de u par 7 f est l'inverse de v f est la somme de u et w f est le quotient de u par v f est la différence de v et w f est le carré de la somme de u et v f est la somme des carrés de u et wExercice 7
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. On rappelle que pour tout réel x de I, on a par définition : u'(x)=limh→0u(x+h)-u(x) h ; et : v'(x)=limh→0v(x+h)-v(x) h.1) Soit f la fonction définie par : f=u+v.
Soit x un réel quelconque de I : déterminons f' x en fonction de u'x et v'x. Pour cela, compléter :Pour tout réel h non nul, on a :
f(x+h)-f(x) h=(u(x+h)+v(x+......))-(u(x)+v(......)) h =u(x+h)+v(x+......)-u(x)-v(......) h =u(x+h)-u(......)+v(x+......)-v(......) =u(x+h)-u(......) h+v(x+......)-v(......)Ainsi :
f'(x)=limh→0f(x+h)-f(x) h=limh→0 (u(x+h)-u(x) h+v(x+h)-v(x) h)=...'(x)+...'(x).Objectif n°2 : opérations sur les dérivées1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 5 / 12
Propriété : soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Si : f=u+v ; alors f est dérivable sur I et : f'=u'+v'. On dit que " la dérivée d'une somme est égale à la somme des dérivées ».2) Considérons la fonction f définie sur ℝ+ par : fx=x3
x. f est la somme des deux fonctions u et v définies par : uLa fonction u est dérivable sur ...... et :
u'(x)=...... ; la fonction v est dérivable sur ...... et : v'(x)=...... ; donc la fonction f est dérivable sur ce qui est commun aux deux, c'est à dire ℝ+ ∗ et :f'(x)=u'(x)+v'(x)=............................De la même façon, décomposer dans chacun des cas ci-dessous la fonction f en somme de deux fonctions u et v puis
déterminer l'expression de f'. f (x)=1 x+x2 f=u+v avec : u(x)=............ et v(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... v est dérivable sur ... et : v'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......f(x)=x2+5-3x f=u+v avec : u(x)=............ et v(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... v est dérivable sur ... et : v'(x)=....... f est dérivable sur ... et : x f=u+v avec : u(x)=............ et v(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... v est dérivable sur ... et : v'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=....... En procédant comme dans l'exercice 7, on démontre la propriété suivante. Propriété : soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.Si : f
=u-v ; alors f est dérivable sur I et : f'=u'-v'.On dit que " la dérivée d'une différence est égale à la différence des dérivées ».
Exemple : considérons la fonction f définie sur ℝ* par : f(x)=1 x-x5. f est la différence des deux fonctions u et v définies par : u (x)=1 x ; et : v(x)=x5.La fonction u est dérivable sur
ℝ* et : u'(x)=........La fonction v est dérivable sur et
ℝ : u'(x)=.......La fonction f est donc dérivable sur
ℝ* et : f'(x)=u'(x)-v'(x)=.......... En procédant comme dans l'exercice 7, on démontre la propriété suivante.Propriété : soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et k un réel non nul quelconque.
Si : f=k×u ; alors f est dérivable sur I et : f' =k×u'.Si : f=u k ; alors f est dérivable sur I et : f'=u' k . Exemple : considérons la fonction f définie sur par ℝ : f(x)=3x2. f peut s'écrire sous la forme f=3×u où u est la fonction définie par : u (x)=x2.La fonction u est dérivable sur et
ℝ : u'(x)=....... La fonction f est donc aussi dérivable sur et ℝ : f'(x)=3×u'(x)=............=..........1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices - p. 6 / 12
Exercice 8
Dans chacun des cas ci-dessous, décomposer la fonction f sous la forme k×u ou u k où k est un réel constant puis déterminer l'expression de f'. f (x)=7x3 f =k×u avec : k =...... et u(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......f f=............ avec : k=...... et u(x)=............u est dérivable sur ... et : u'(x)=.......f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......f(x)=x6 3 f =........... avec : k =...... et u(x)=............ u est dérivable sur ... et : u'(x)=....... f est dérivable sur ... et : f'(x)=.......Exercice 9
Soit f la fonction définie sur par
ℝ : f(x)=2x3+3x2-12x-2. On nomme Cf sa courbe représentative.1) Déterminer l'expression de f'.
2) Déterminer les abscisses de tous les points en lesquels Cf admet une tangente horizontale.
3) Déterminer l'équation réduite de la tangente T2 à Cf au point d'abscisse 2.
4) Déterminer les abscisses de tous les points en lesquels Cf admet une tangente parallèle à T2.
Exercice 10
Soit f la fonction définie sur par
ℝ : f(x)=x3-2x. On nomme Cf sa courbe représentative.1) On nomme T1 la tangente à Cf au point d'abscisse 1. Démontrer que l'équation réduite de T1 est : y=x-2.
2) Démontrer que pour tout réel x, on a : f(x)-(x-2)=(x-1)(x2+x-2).
3) Dresser le tableau de signes de f(x)-(x-2) et en déduire les positions relatives de Cf par rapport à T1.
Exercice 11 : évolution d'une épidémie
On a modélisé l'évolution d'une épidémie de grippe de la façon suivante : si t est le temps (en jours) écoulé depuis le début de
l'épidémie, le nombre de cas, en milliers, est donné par : f(t)=-1 6t3+5