[PDF] PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques

PRODUIT SCALAIRE - maths et tiques

PRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853 I Définition et

Produit scalaire – Fiche de cours - Physique et Maths

Produit scalaire – Fiche de cours 1 Le produit scalaire a Définition Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ⃗u et ⃗v est le re el suivant : ⃗u⋅⃗v=‖u⃗‖⋅‖⃗v‖⋅cos(u⃗,⃗v) b Autres expressions du produit scalaire - projeté orthogonal ⃗AB et ⃗CD sont deux vecteurs, C et D se projettent orthogonalement en

Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel

Fiche de cours : Produit scalaire et produit vectoriel On se place dans ℝ???? un espace vectoriel, muni d’un produit scalaire (espace euclidien) Produit scalaire A - Produit scalaire dans l’espace ℝ???? 1) = 3 ???? ????=???? ???? = × × cos ( , ) 2) = 0 ⇔ ⊥

Produits scalaires, symétries et projections orthogonales

(b) Montrer que toute famille orthonormale se complète en une base orthonormale (c) Donner l’expression du produit scalaire de deux vecteurs quel-

Produit scalaire - Cours de maths en ligne, exercices de

Produit scalaire I - Définitions Définition:Soientu etv deuxvecteursduplan Leproduitscalairedeu etv estunréel,quel’onnoteu:v,définipar:

Chapitre I : Rappel sur le calcul vectoriel

La multiplication par un scalaire : I 3 2 Produit scalaire Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls représentés par les bipoints OA et OB est le nombre réel OA OB cos(θ) si l'angle θ désigne celui de AOB Si l'un des vecteurs est nul alors le produit scalaire est nul Dans le cas où aucun des vecteurs n'est nul, cette définition

I Eléments de cours à connaître

Fiche n°2 sur la projection de vecteurs I Eléments de cours à connaître I 1 Définition du produit scalaire I 2 Conséquences / propriétés I 3 Application : formule d’Al Kashi I 4 Projection d’un vecteur I 5 Expression analytique I 6 Une propriété utile pour les exercices II Exercices d’applications III Corrections des exercices

Mécanique - Université Paris-Saclay

7) Produit scalaire et produit vectoriel Propriétés du produit scalaire et du produit vectoriel Propriétés Produit scalaire Produit vectoriel Notation Produit nul (les deux vecteurs sont non nuls) ZValeur [ maximale Valeur en fonction des coordonnées B z x A B & & A B & 3 A B 0 ssi A B & && & A 0 ssi /B si A //B , A B A B & & & & & & si ,A B

Orthogonalité et distances dans l’espace – Fiche de cours

3 Produit scalaire dans l’espace a Définition Le produit scalaire de deux vecteurs non nuls ⃗u et ⃗v est le re el suivant : ⃗u⋅⃗v=‖u⃗‖⋅‖⃗v‖⋅cos(u⃗,⃗v) 1/3 Orthogonalité et distances dans l’espace – Fiche de cours Mathématiques Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021 https://physique-et-maths

Mathematiques - Niveau L1 Tout le cours en fiches

Fiche 66 Droites, plans 246 Fiche 67 Produit scalaire 249 Focus Produit scalaire, espaces fonctionnels et calcul numérique 253 Fiche 68 Produit vectoriel 254 Fiche 69 Aires et volumes 256 Focus Géométrie euclidienne – ou non? Encore des matrices 258 Transformations linéaires du plan 260 Fiche 70 Bases et transformations linéaires du

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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur

u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v

×cosu

;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

=a×a×cos60° =a 2

×0,5

a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0

est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur

u et v , on a : u .v =v .u

Démonstration : On suppose que

u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v

×cosu

;v =v ×u

×cosu

;v =v ×u

×cos-v

;u =v ×u

×cosv

;u =v .u

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2

Démonstration pour le 2) :

u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

u , on a : u .u =u ×u

×cosu

;u =u 2

×cos0=u

2 et u .u =u 2

On a ainsi :

u 2 =u .u =u 2

Propriété : Soit

u et v deux vecteurs. On a : u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 2 et u .v 1 2 u +v 2 -u 2 -v 2

Démonstration de la première formule :

u -v 2 =u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 =u 2 -2u .v +v 2 donc u .v 1 2 u 2 +v 2 -u -v 2

4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPropriété : Soit A, B et C trois points du plan. On a :

AB .AC 1 2 AB 2quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9