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Pierre Ferland Louis LaurencelleɎ

Agence de la santé et des services sociauxɎUniversité du Québec à Trois-Rivières

Ɏde la Mauricie et du Centre-du-QuébecɎ

1Ɏ

¬§¯¨²"ȍɎ ¹"²µ´Ɏ ²"Ɏ ©§¹șɎ ª§´¹Ɏ ²§Ɏ ª¯¹º¸¯¨»º¯µ´Ɏ ª"¹Ɏ3Ɏ ª¯¬¬Ô¸"´©"¹Ɏ

Figure 1. Les 20 regroupements de 6 données en deux groupes (G1, G2) de 3 données chacun

Regroupements G1 - G2

1 123 - 456 8 145 - 236 15 246 - 135

2 124 - 356 9 146 - 235 16 256 - 134

3 125 - 346 10 156 - 234 17 345 - 126

4 126 - 345 11 234 - 156 18 346 - 125

5 134 - 256 12 235 - 146 19 356 - 124

6 135 - 246 13 236 - 145 20 456 - 123

7 136 - 245 14 245 - 136

2Ɏ

ŴșɎǙɎ3N´»³ɎǕɎ"Ș´ȍɎ´ŴșɎǙɎ´ɎǙɎ3 ªª¯º¯µ´Ɏ

N´»³Ɏ"ºɎ3 ªª¯º¯µ´Ɏ¹µ´ºɎª"¹Ɏª»¸Ô"¹Ɏ

§¼"©Ɏ2

2µ¯ºɎ2

²§Ɏ ¹µ³³"Ɏ 2

program Enum_Comb; var n1,n2,n: integer; p:array[1..n1] of integer; procedure comb(niveau, pos_ant:integer); var i:integer; begin for i:=pos_ant+1 to n2+i do begin p[niveau]:=i; if niveau < n1 then comb(niveau+1,i) else begin { *** Traiter ici le regroupement défini par les indices du groupe 1, p[ ] *** } end end end; begin { *** Préparer les compilations statistiques ***} comb(1,0) { *** Achever et imprimer les compilations *** } end. Figure 2. Schéma de programme Pascal pour l"énumération récursive des combinaisons ª"Ɏ ¸§´¹Ɏ "´º¸"Ɏ 2

ª"Ɏ2º»ª"´ºȌɎ

¹»¬¬¯ºɎ ªȟ"¬¬"©º»"¸Ɏ ²"Ɏ ©§²©»²Ɏ ª"Ɏ 2

ŴɎ"ºɎ2ŵɎ

0»"²Ɏ "¹ºɎ ²"Ɏ ©µėºɎ ¸Ô¹»²º§´ºɎ ª"Ɏ ©"Ɏ ©§²©»²Ɏ ¸Ô©»¸¹¯¬ȍɎ ·»¯Ɏ ÂɎ

Figure 3. Schéma de programme Basic pour l"énumération récursive des combinaisons ′ Programme BASIC d"énumération récursive des combinaisons ′ Soit N1 et N2 ′ *** Préparer les compilations statistiques ***

DIM p(N1)

p(0) = 0 : J = 0

10 : J = J + 1 : p(J) = p(J-1) + 1

20 : IF J < N1 THEN GOTO 10

′ Traiter ici le regroupement défini par les indices du groupe 1, p(1) .. p(N1)

30 : IF p(J) < N2 + I THEN p(J) = p(J) + 1 : GOTO 20

J = J - 1

IF J > 0 THEN GOTO 30

′Compléter les calculs et imprimer les compilations END

ɎɎ "µėºɎȘ2

""Ɏ ©§²©»²Ɏ ¸Ô©»¸¹¯¬Ɏ ª"Ɏ ²§Ɏ ¹µ³³"Ɏ 2

Ɏ "µėºɎȘ2

Ș3

´¯¼"§»Ɏ ¸Ô©»¸¹¯¬Ɏ³ȍɎ ²§Ɏ ¹º§º¯¹º¯·»"Ɏ 2Ș³șɎ ©µ´º¯"´ª¸§Ɏ

′ *** Section de programme BASIC ′ *** Sommation récursive de S1

DIM(N1), X(N1+N2)

p(0) = 0 : I = 0 : S1 = 0

10 : J =J+1: p(J) = p(J-1) + 1

20 : S1 = S1 + X(p(J))

IF J < N1 THEN GOTO 10

′ Traiter ici le regroupement défini par les indices du groupe 1, p(1) .. p(N1)

30 : S1 = S1 - X(p(J))

IF p(J) < N2 + J THEN p(J) = p(J) + 1: GOTO 20

J = J - 1

IF J > 0 THEN GOTO 30

Figure 4. Section de programme BASIC: calcul récursif de S1, la somme dans le groupe 1

´»²²"Ɏ Ș3

Ô´»³Ƀ3§ªª¯º¯µ´Ɏ≈Ɏ ųȍżųȍɎ ²"¹Ɏ ·»µº¯"´º¹Ɏ ª"Ɏ ©µėºɎ ¹"Ɏ

ª"Ɏ2

"¾º¸Ö³"¹ȍɎ º"²Ɏ ·»"Ɏ ²"Ɏ ²§¯¹¹"´ºɎ "´º"´ª¸"Ɏ 2¯""²Ɏ "ºɎ "§¹º"²²§´Ɏ

2

Principe d"économie 1 :

L"énumération des T combinaisons complètes peut être stoppée précocement lorsque la zone critique, constituée de αT valeurs égales ou plus extrêmes par rapport à la valeur observée, est défoncée.

2ȟ¯²Ɏ ¿Ɏ §¼§¯ºɎ ¸"³¯¹"ȍɎ µ´Ɏ §»¸§¯ºɎ »´"Ɏ ²µ¯Ɏ ª"Ɏ /§¹©§²ȍɎ "ºɎ

Ɏ $Ș3

ªÔ¬µ´©"³"´ºɎ ª"Ɏ ²§Ɏ Àµ´"Ɏ ©¸¯º¯·»"ȍɎ ¹ȟ¯²Ɏ §Ɏ ²¯"»ȌɎ /§¸³¯Ɏ ²"¹Ɏ3Ɏ

"´º¸"ɎŴɎ"ºɎ3șȌɎ ¯´¹¯ȍɎ²"¹Ɏ´µ³¨¸"¹Ɏ³¯´¯³§²ȍɎ³µ¿"´Ɏ"ºɎ³§¾¯³§²Ɏ

"αșȍɎ3ɎȝɎȌɎ 2 ·»"Ɏ ²"¹Ɏ ¹µ³³"¹Ɏ 2

¼§²"»¸¹Ɏ2

Principe d"économie 2 :

Posons que les données sont ordonnées (par valeurs décroissantes ou croissantes). Au moment d"obtenir une somme récursive non critique, on peut faire rebrousser l"algorithme à un étage récursif antérieur puisque les sommes suivantes du même étage seront forcément non critiques. L"étage récursif au delà duquel on peut revenir est celui pour lequel le sous-ensemble d"indices positionnels de la somme est semi compact.

©¸¯º¯·»"¹ȌɎ 4´"Ɏ ¬µ¯¹Ɏ ²"¹Ɏ ªµ´´Ô"¹Ɏ º¸¯Ô"¹Ɏ "´Ɏ µ¸ª¸"Ɏ ª"Ɏ¼§²"»¸¹Ɏ

2 ŴȎɎ¼§¸¯§´º"Ɏ ŴȌɎ 2µ¯ºɎ /ȍɎ »´Ɏ ǕɎ º"²¹Ɏ ·»"Ɏ 2Ș/ǕșɎ≥Ɏ 2ŴȎɎ

°ȵɎǠɎ2ŴɎ

"ºɎ22 ¼§¸¯§¨¯²¯ºÔɎ ¸Ôª»¯º"Ɏ ª"Ɏ 2

Principe d"économie 3:

L"obtention des sommes successives dans l"énumération se fait par la progression régulière des indices positionnels constituant ces sommes. Si les données destinées à composer la somme récursive sont replacées en ordre de valeurs décroissantes (ou croissantes), alors la progression des indices s"accompagnera généralement d"une diminution (augmentation) de la somme récursive. Comme seules les valeurs critiques (soit S p ≥ S1) de cette somme sont pertinentes, on peut fixer par divers moyens un plafond optimal à la progression des indices, au delà duquel l"énumération ne produirait certainement que des sommes non critiques.

¹µ³³§º¯µ´Ɏ¸Ô©»¸¹¯¼"ɎȘ1Ô©șȌɎ0»§´ºɎ§»¾Ɏ§²µ¸¯º®³"¹Ɏ/² ȍɎ/²!ȍɎ

/²"Ɏ "ºɎ 1"¨ȍɎ ¯²¹Ɏ »º¯²¯¹"´ºɎ ºµ»¹Ɏ ²§Ɏ ¹µ³³§º¯µ´Ɏ ¸Ô©»¸¹¯¼"Ɏ "ºɎ ²"Ɏ

5

Algorithme

Description sommaire

Base Énumération complète et différence de deux moyennes

Réc Énumération complète et sommation récursive dans le groupe 1, avec différences

pré-calculées D + arrêt sur défoncement de la zone critique Dop + arrêt sur défoncement avec énumération optimale

PlA + pré-plafonnement en variante 1

PlB + pré-plafonnement en variante 2

PlC + post-plafonnement

Reb

DopReb

+ rebroussement précoce + défoncement optimal avec rebroussement précoce

Figure 5. Durées d"exécution de différents algorithmes de comparaison de deux moyennes par combinatoire exhaustive

donnant lieu à une différence significative (en haut) ou non significative (en bas)

0,1110100

Base Réc D Dop Pla PlB PlC DopR Reb

Secondes

S0N 88

S0N 610Différences significatives

0,1110100

Base Réc D Dop Pla PlB PlC DopR Reb

Secondes

S0 N88

S0N 610Différences non significatives

ª"Ɏ Ÿ³ŷų¹ȌɎ $¾Ô©»º§´ºɎ ²ȟ§²µ¸¯º®³"Ɏ 1"¨Ɏ ª"Ɏ ¸"¨¸µ»¹¹"³"´ºɎ

1Ô¬Ô¸"´©"¹Ɏ

!¸§ª²"¿ȍɎ )Ȍ5ȌɎ ȘŴżŹŻșȌɎ#¯¹º¸¯¨»º¯µ´ɉ¬¸""Ɏ ¹º§º¯¹º¯©§²Ɏ º"¹º¹ȌɎ

$ª¯´ºµ´ȍɎ $Ȍ2ȌɎ ȘŴżŻųșȌɎ1§´ªµ³¯À§º¯µ´Ɏ º"¹º¹ȌɎ -"½Ɏ 8µ¸±ȍɎ

ŵɎȎɎ2"³¯´»³"¸¯©§²Ɏ§²µ¸¯º®³¹ȌɎ1"§ª¯´ɎȎɎ ªª¯¹µ´ɉ6"¹²"¿ȌɎ

" Programme BASIC de comparaison de deux moyennes indépendantes " par combinatoire exhaustive avec rebroussement précoce " Pierre Ferland & Louis Laurencelle 1993, rév. 2011 " *** Paramétrisation du problème

DEFDBL A-Z

INPUT "n1,n2 "; n1, n2

n = n1 + n2

IF n1 <= n2 THEN M = n1 ELSE M = n2

DIM X(n), D(n), P(M), PM(M)

S1 = 0: S2 = 0

PRINT "Inscrire les données du groupe 1 :"

FOR i = 1 TO n1: INPUT X(i): S1 = S1 + X(i): NEXT

PRINT "Inscrire les données du groupe 1 :"

FOR i = n1 + 1 TO n: INPUT X(i): S2 = S2 + X(i): NEXT " *** Calculs préliminaires

Dif = S1 / n1 - S2 / n2

PRINT "La différence des moyennes est "; Dif

IF Dif = 0 THEN PRINT "Salut bien!": END

PRINT "Inscrire le seuil (unilatéral) du test voulu ou 0 pour aucun test :"

10 INPUT Alpha

IF Alpha >= .5 THEN PRINT " *** attention : de 0 a 0.5 seulement...": GOTO 10

IF Alpha = 0 THEN PRINT "Salut bien!": END

" *** Préparation de l"énumération " *** Détermination de l"ordre croissant ou décroissant du tri " *** puis tri par sélection simple (peut être modifié au choix) " *** Détermination des plafonds d"indices (PM) " *** Calcul des différences successives (D) et pré-soustraction de S1 t = 1: FOR i = 0 TO M - 1: t = t * (n - i) / (M - i): NEXT

TC = Alpha * t

PRINT t; " arrangements différents"

PRINT INT(TC * 10) / 10; " arrangements critiques"

IF n1 <= n2 THEN S = -S1 ELSE S = -S2: Dif = -Dif

IF Dif > 0 THEN W = 1 ELSE W = -1

FOR i = 1 TO n - 1: C = X(i): k = i

FOR j = i + 1 TO n: IF W * (X(j) - C) > 0 THEN C = X(j): k = j

NEXT: X(k) = X(i): X(i) = C

NEXT

FOR i = 1 TO M: PM(i) = n - M + i: NEXT

FOR i = 2 TO n: D(i) = X(i) - X(i - 1): NEXT

Ɏ" *** Énumération et calcul récursif de la somme, avec rebroussement précoce

XT = 0: U = 0: M1 = M + 1

i = 1: P(0) = -9: P(1) = 1: S = S + X(1): GOTO 40

20 IF W * S < 0 THEN 55

XT = XT + 1: IF XT > TC THEN U = 1: GOTO 60

30 IF P(i) = PM(i) THEN 50

j = P(i) + 1: P(i) = j: S = S + D(j)

40 IF i = M THEN 20

i = i + 1: P(i) = P(i - 1) + 1: S = S + X(P(i)): GOTO 40

50 S = S - X(P(i)): i = i - 1: IF i > 0 GOTO 30

GOTO 60

55 S = S - X(P(i)): i = i - 1: IF P(M) - P(i) <= M1 - i GOTO 55

IF i > 0 GOTO 30

" *** Conclusion du test ( U = 1 lorsque la zone critique est défoncée )

60 t2 = TIMER

IF U = 0 THEN

PRINT USING "Difference significative (p = #.######)"; XT / t ELSE PRINT USING "Difference non significative (p > #.####)"; Alpha

END IF

ENDquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9