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L2-MI20 janvier 2010

Examen final d"Analyse 2

Durée 2h. Les documents et calculatrices électroniques ne sont pas autorisés. Les réponses

devront toujours être justifiées, même succinctement.

Exercice 1.

a) Prouver la convergence et donner la limite de la suite de terme généralzn=? 1+1 n ?n b) Soita?R+?,a ?e. Discuter suivant la valeur deala nature de la série de terme général u n=nn a nn!

Exercice 2.Soitbun nombre réel.

a) Déterminer un équivalent quandntend vers l"infini deun=eb/n-ln? 1+1 n -1(on dis- cutera suivant la valeur du paramètreb). b) On pose pour toutn?N,n?2,vn=un lnn . Déduire de ce qui précède la nature de la sérieΣvn(là encore discuter selon la valeur deb). c) Justifier la convergencepour tout réelbde la sérieΣ(-1)nvn.

Exercice 3.On pose pour toutx?Ret toutn?N:un=xn

n+1⎷ a) Étudier la nature de la suite de terme généralunlorsque|x|>1. En déduire la nature de la série

Σun.

b) Montrer que si|x|<1, la sérieΣunest absolument convergente. c) Étudier la convergence et l"absolue convergence deΣunquandx=1et quandx=-1. Exercice 4.Déterminer la nature des intégrales impropres suivantes, en précisant en quel(s) point(s) elles sont impropres. I=? 01 lnt t-1 dt , J1=?

0+∞|sint|

t

2dt , J2=?

0+∞|sint|3/2

t 2dt.

Exercice 5.

a) Justifier la convergence de l"intégrale impropreI=?

1+∞dt

t(t+1) . Calculer pourx >1? 1x dt t(t+1) , puis en déduire la valeur deI. b) Justifier la convergence puis faire le calcul de l"intégrale impropreJ=?

1+∞ln(1+t)

t 2 dt. c) Justifier la convergence puis faire le calcul de l"intégrale impropreK=?

0+∞et

e 2t+1 dt (on pourra faire le changement de variableu=et).

L2-MIjanvier 2010

Corrigé de l"examen final d"Analyse 2

Exercice 1

a) On a une forme indéterminée1∞, il faut donc passer par le logarithme lnzn=nln? 1+1 n =n?1 n +o?1 n =1-o(1) ?n→∞1 par conséquentzntend verse=e1quandntend vers l"infini. b) En appliquant le critère de d"Alembert, il vient u n+1 u n =(n+1)n+1 a(n+1)nn=1 a ?n+1 n?n =1 a? 1+1 n?n ?n→∞e a d"après la question (a). Le critère s"applique cara?e: sia < ela série diverge, sia > e elle converge.

Exercice 2

a) En utilisant un développement limité en0à l"ordre 2 de exp et ln : u n=1+b n +b2

2n2+o?1

n 2 -1 n +1

2n2-1+o?1

n 2 =b-1 n +b2+1

2n2+o?1

n 2 on a donc : sib ?1,un≂b-1 net sib=1,un≂b2+1 2n2=1 n 2. b) Sib ?1,vn≂b-1 nlnn, terme général d"une série divergente, doncΣvndiverge ; tandis que si b= 1,vn≂1 n 2lnn terme général d"une série convergente, doncΣvnconverge (séries de

Bertrand).

c) La sérieΣ(-1)nvnest somme de la sérieΣ(-1)nb-1 nlnn et d"une série de terme général w n=(-1)n? v n-b-1 nlnn? . La première converge par le théorème des séries alternées,et la deuxième converge absolument car|wn|≂b2+ 1 n 2lnn

Exercice 3

a) L"exponentielle l"emportant sur la puissance den,|un| →+∞quandn→+∞(car|x|>

1). Doncundiverge, en changeant de signe six <0. La sérieΣunne peut évidement pas

converger puisque son terme général ne tend pas vers0. b) Le critère de d"Alembert s"applique à|un|: |un+1| |un| =|x|n n+1 ?|x|et|x|<1 donc la série est absolument convergente et donc convergente. c) Le casx=±1est celui où d"Alembert ne s"applique pas. Six= 1, on retrouve une série de RiemannΣ1 n+1⎷ (et1 n+1⎷≂1 n⎷), qui est divergente car l"exposant est1/2; par contre six=-1on a une sérieΣ(-1)n n+1⎷ qui est convergente par le théorème des séries alternées (puisque 1 n+ 1⎷ décroît vers zéro).

Exercice 4

Iest impropre en0; en1c"est une forme indéterminée00 ical. En zéro,lnt t-1≂ -lntor on sait que lntest intégrable en zéro. En1, on poset=1-ε, avecε→0 lnt t-1 =-ln(1-ε)

ε=--ε+o(ε)

ε?ε→01

et la forme indéterminée se révèle finalement bornée (et mêmecontinue) ; il n"y donc pas de pro-

blème ent=1et l"intégrale est convergente. J

1etJ2sont impropres en0et+∞. En+∞, les deux fonctions sont majorées par1/t2car

|sint|?1, et1/t2est convergent en+∞. En0, on prend l"équivalent sint≂t: |sint| t 2 ≂1 t(non convergent en0),|sint|3/2 t

2≂t3/2

t 2=1 t

1/2(convergent en0).

On conclut donc queJ1est divergente tandis queJ2converge.

Exercice 5

a) L"intégraleIest impropre en+∞seulement, et1 t(t+1) ≂1 t

2qui est intégrable (critère de

Riemann) doncIconverge. En décomposant en éléments simples1 t(t+1) =1 t-1 t+ 1 1x dt t(t+1) 1x ?1 t-1 t+1 dt=[lnt-ln(t+1)]1x=lnx x+1 -ln12?x→+∞ln2 par conséquent

I=limx→+∞?

1x dt t(t+1) =ln2. b) L"intégraleJest impropre en+∞et on peut majorer ainsi ln(t+1) t 2 =ln(t+1) t 1/21 t

3/2=o?1

t 3/2 carln(t+1) t 1/2 ?t→+∞0 comme1/t3/2est intégrable en+∞, on a par comparaison queJconverge. Pour la cal- culer utilisons l"intégration par parties? 1x ln(t+1) t 2 dt=? -ln(t+1) t 1x 1x dt t(t+1) =ln2-ln(x+1) x+? 1x dt t(t+1)?x→+∞ln2+I=ln4 doncJ=ln4. c) Comme et e 2t+1 ≂e-ten+∞, l"intégraleKest convergente. Posons alors le changement de variableu=et, doncdu=etdt: K=?

1+∞du

u 2+1 =[arctanu]1+∞=π

2-π

4=π

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